大學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)課件

第一篇力學(xué)(Mechanics)1第一篇(Mechanics)1第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematicsofparticle)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀參考系物理模型物理量相對(duì)運(yùn)動(dòng)2第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematicsofpartic牛頓力學(xué)的時(shí)空觀時(shí)間與空間：機(jī)械運(yùn)動(dòng)發(fā)生于時(shí)間之中，理論力學(xué)中采用的理想時(shí)空模型是最簡(jiǎn)單的模型——假設(shè)存在絕對(duì)空間和絕對(duì)時(shí)間。絕對(duì)空間是三維均勻各向同性的固定不動(dòng)的歐幾里得空間。絕對(duì)時(shí)間是大小連續(xù)變化的，方向是從過(guò)去到未來(lái)。在空間的所有點(diǎn)，時(shí)間都是均勻的、單值的，不依賴(lài)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的。3牛頓力學(xué)的時(shí)空觀時(shí)間與空間：機(jī)械運(yùn)動(dòng)發(fā)生于時(shí)間之中，理論力學(xué)§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？5二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)6三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)6

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，指向由右手螺旋法則確定。四.矢量積(向量積、叉積、外積)bacc7積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，指向

1.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當(dāng)t0時(shí)，A的極限方向，才是的方向。特別是,當(dāng)A的大小不變而只是方向改變時(shí),就時(shí)刻保持與A垂直。81.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：五由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以就是普通函數(shù)的微商。

3.

在直角坐標(biāo)系中,考慮到是常量,有9由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒(méi)有運(yùn)動(dòng)就沒(méi)有世界。運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。一.運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性§1.1參考系和坐標(biāo)系10運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒(méi)有運(yùn)動(dòng)就沒(méi)有世界。一.運(yùn)動(dòng)坐地日行八萬(wàn)里

巡天遙看一千河運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和靜止的相對(duì)性統(tǒng)一——《送瘟神》11坐地日行八萬(wàn)里

巡天遙看一千河運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和靜止的相對(duì)性統(tǒng)一在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱(chēng)為參考系。為了作定量描述，還要取一個(gè)固定在參考系中的坐標(biāo)系。

坐標(biāo)系是參考系的代表和抽象。二.參考系坐標(biāo)系常用的坐標(biāo)系:直角坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系極坐標(biāo)系mS.12在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱(chēng)為參考系。二.§1-2典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)及理想模型質(zhì)點(diǎn)—在所研究的問(wèn)題中，形狀和大小可以忽略的物體。剛體—運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。諧振動(dòng)

—彈性回復(fù)力F=kx

13§1-2典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)及理想模型質(zhì)點(diǎn)—在所研究的問(wèn)§1.3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！一.位置矢量描述質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢或矢徑。

從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向P點(diǎn)的有向線段op=r

r質(zhì)點(diǎn)P到原點(diǎn)o的距離cos2+cos2+cos2=114§1.3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！一.位置矢量描述質(zhì)點(diǎn)在它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程，稱(chēng)為軌道方程。運(yùn)動(dòng)方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t

x2+y2=62軌道方程。二.運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程

15它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程例：x=6cos2

(1)位移是位置矢量r

在時(shí)間t內(nèi)的增量:三.位移和路程而A到B的路徑長(zhǎng)度S,稱(chēng)為路程。Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)

稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)的位移。r(t+t)

從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的有向線段AB=r

16(1)位移是位置矢量r在時(shí)間t內(nèi)的增量:三.位t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17位移=AC路程=AB+BCAB只有當(dāng)t→0時(shí),才有

|Δr|

S。(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。BAC

路程表示路徑長(zhǎng)度，是標(biāo)量，是弧長(zhǎng)AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

位移代表位置變化，是矢量，是直線段AB的長(zhǎng)度，與路徑形狀無(wú)關(guān)。18位移=AC路程=AB+BCAB只有當(dāng)t→0時(shí),才有(2)單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。

定義:

單位時(shí)間內(nèi)的位移平均速度。四.速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S19單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。定義:四.速度、速率r(如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，

即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t從A點(diǎn)到B點(diǎn)又折回C點(diǎn),顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC20如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:limt0=

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

limt0即：速度等于位置矢量r

對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);而速率等于路程S對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。21質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:limt0=質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=limt0(2)=r大小的導(dǎo)數(shù)+r方向的導(dǎo)數(shù)。22=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0速度的大小：(3)在直角坐標(biāo)系中,

速度的方向：軌道切線方向。23速度的大小：(3)在直角坐標(biāo)系中,平均加速度：五.加速度的定義OxyzA.B.

(瞬時(shí))加速度定義為limDt0加速度a等于速度

對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量：24平均加速度：五.加速度的定義OxyzA.B.(瞬時(shí))加速(2)加速度a的大小:

(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的表示式是25(2)加速度a的大小:(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的

在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。在國(guó)際單位制中,加速度的單位為米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：當(dāng)t→0時(shí),速度增量的極限方向。應(yīng)該注意到,的方向和它的極限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向與同一時(shí)刻速度的方向一般不相一致。aaa26在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。例：任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸方向的獨(dú)立的直線運(yùn)動(dòng)的疊加,這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理。27例：任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿x,y,z三個(gè)r=xi+yj+zk求導(dǎo)積分*運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題28r=xi+yj+zk求導(dǎo)積

例題3.1

質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)?何時(shí)調(diào)頭？(2)t=0,2s時(shí)的速度;

(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。

t=1,5s前后速度改變了方向(正負(fù)號(hào)），所以t=1,5s調(diào)頭了。因t=0，

=+15m/s,所以質(zhì)點(diǎn)首先向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解(1)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？t=1,5s29例題3.1質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),x=t3–9t2考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為

s=|x(1)-x(0)|0~2s內(nèi)的位移：x=t3–9t2

+15t+1平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)

(2)t=0,2s時(shí)的速度;

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)

t=0,=15m/s

t=2,=-9m/s(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

30考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為0~2s內(nèi)的位質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題3.2質(zhì)點(diǎn)位矢：解

x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4直線質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。31質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題3.2質(zhì)點(diǎn)位矢：解x=3+2t

解(1)

x=Rcost，y=Rsint軌道方程：

x2+y2=R2圓

由于t=0時(shí),x=R,y=0,而t>0+時(shí),x>0,y>0,由此判定粒子是作逆時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)。

例題3.3粒子矢徑:r=Rcosti+Rsintj，其中R、為正值常量。(1)分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況;(2)時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移和路程。32解(1)x=Rcost，y=R其大小為

加速度a的方向-r，即沿著半徑指向圓心。綜上所述，粒子作逆時(shí)針的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。33其大小為加速度a的方向-r，即沿著半徑指向圓心。綜上(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為

注意到為角速度，在時(shí)間t=/2/內(nèi)粒子剛好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，故路程:

S=R。

34(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為注意到為角速平均速度：(2)第2s內(nèi)的平均速度：當(dāng)t=1s時(shí)，(1)位矢：當(dāng)t=2s時(shí)，

例題3.4質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2(SI),求：(1)質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)的位置；解35平均速度：(2)第2s內(nèi)的平均速度：當(dāng)t=1s時(shí)，(1)代入t=1s,得：加速度：

(3)第1s末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：36代入t=1s,得：加速度：(3)第1s末的速度和加速度：a由此得:t=0,3s(略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可見(jiàn)t=3s時(shí)最近。r有極值的必要條件是：

(5)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近?x=2t,y=19-2t2這是一條拋物線

(4)軌道方程：37由此得:t=0,3s(略去t=-3s);r有極值的必(6)第1s內(nèi)的路程:10=1.34m38(6)第1s內(nèi)的路程:1=1.34m38

例題3.5在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的速率收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為x時(shí)速度和加速度。

解

hxroxy39例題3.5在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的速

解2:船的速度:hxr40解2:船的速度:hxr40

解

取o=0位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸的正方向。

例題3.6傘兵豎直降落，o=0，a=A-B，式中A、B為常量；求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。41解取o=0位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸的正完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)方程：42完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)方程：42單位矢量:

沿軌道切向

n

沿軌道法向指向凹側(cè)p1C.六.

向心加速度和切向加速度曲率圓

=

大小的變化率+方向的變化率43單位矢量:沿軌道切向p1C.六.向心加速度和=p1C.p2so加速度:當(dāng)t0時(shí)，0的極限方向?yàn)榈姆较?，所以limt044=p1C.p2so加速度:當(dāng)t因ds=d(為曲率半徑)p1C.p2so45因ds=d(為曲率半徑)p1C.p2so大小：方向：沿半徑指向圓心。大?。悍较颍貉剀壍狼芯€方向。作用：描述速度方向的變化。作用：描述速度大小的變化。加速度小結(jié)：名稱(chēng)：向心(法向)加速度。名稱(chēng)：切向加速度。46大?。悍较颍貉匕霃街赶驁A心。大?。悍较颍貉剀壍狼芯€方向。作用加速度的大小:a與速度的夾角是:aan47加速度的大小:a與速度的夾角是:aan47由an=|at|得:解得解(1)

例題3.7質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng),半徑R，(b,c為常數(shù),且b2>Rc);求:何時(shí)an=a?a=c?(2)由=a+naa2248由an=|at|得:解得解(1)例題3.7

解

an

、a是總加速度g沿軌道法向和切向的分量：

例題3.8求斜拋體在時(shí)刻t的an、a和(設(shè)初速o，仰角)。axyuogoaaqnuxuuyq49解an、a是總加速度g沿軌道法向和切向的分

討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該點(diǎn)：an=g,a=0axyuogoaaqnuxuuyq50討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該(2)

解法之二gaxyuo51(2)解法之二gaxyuo51

例題3.9質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2(SI);求時(shí)刻t的an、a、及a與的夾角。解52例題3.9質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2a與的夾角：t=0aan何時(shí)a?53a與的夾角：t=0aan何時(shí)a?53=3t,

3t2=3,求出t=1s

例題3.10

圓運(yùn)動(dòng)，r=3m，開(kāi)始靜止,a=3ms-2；求：(1)第1s末加速度的大??；(2)經(jīng)多少時(shí)間a與成45?這段時(shí)間內(nèi)的路程是多少？

解(1)由有又

(2)a與成45，即表示：an=a，于是有=a+naa2254=3t,3t2=3,求出t=1s

角加速度：七.

圓周運(yùn)動(dòng)中角量和線量的關(guān)系角速度：角角坐標(biāo)(角位置)。yxoAR55角加速度：七.圓周運(yùn)動(dòng)中角量和線量的關(guān)系角速度：角

的方向：垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面,其指向由右手螺旋定則確定。角速度矢量56的方向：垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面,其指向由右手螺旋定則

圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)

x角坐標(biāo)

q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，則若=恒量,則57圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x角坐標(biāo)

例題3.11

飛輪半徑R=1m，=2+12t-t3(SI)，求：(1)輪邊上一點(diǎn)第1s末的an=？

a=？(2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

an=R2=(12-3t2)2,

a=R=-6t代入t=1s,an=812,a=-6(SI)(2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=2s,2=18，解(1)

t=0,o=2,所以轉(zhuǎn)過(guò)角度：=2-o=16=8圈。58例題3.11飛輪半徑R=1m，=2+1

解

例題3.12質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，R，=A+Bt

(A、B為正的常量)。求：質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，an=？

a=？a=？解得59解例題3.12質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，R，=A+Btan=？

a=？a=？=A+Bt60an=？a=？a=？=A+Bt60§1.4相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)空間P點(diǎn),有rps=rps+

rssyxyoSSzzO’rpsrps.

prssps=ps+ssaps=aps+ass

假定：參考系S和S之間，只有相對(duì)平移而無(wú)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸始終保持平行。61§1.4相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)空間P點(diǎn),有rps=ps=-spps=p

+sss人對(duì)水=人+水對(duì)船

船對(duì)它表示：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度等于質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度與S系對(duì)S系的速度的矢量和。

注意：(1).速度合成定理是矢量關(guān)系式。(2).雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào),即：ps=ps+ss速度合成定理62ps=-spps=p+ss45

解首先寫(xiě)出速度合成定理：

（1）矢量三角形法

風(fēng)對(duì)人=風(fēng)對(duì)地

+

地對(duì)人

例題4.1一人騎自行車(chē)以速率向正西行駛，風(fēng)以相同速率由北向南方向吹來(lái)，試問(wèn)：人感到的風(fēng)速大小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來(lái)？=風(fēng)對(duì)地-人對(duì)地

由于人對(duì)地=風(fēng)對(duì)地=,風(fēng)對(duì)人=人感到風(fēng)從西北方向吹來(lái)。xy風(fēng)對(duì)地u人對(duì)地u風(fēng)對(duì)人6345解首先寫(xiě)出速度合成定理：

(2)單位矢量法風(fēng)對(duì)人=風(fēng)對(duì)地

+

地對(duì)人=風(fēng)對(duì)地-人對(duì)地

大?。猴L(fēng)對(duì)人=方向：與x軸正方向的夾角：xyo風(fēng)對(duì)地u人對(duì)地

(由于人對(duì)地=風(fēng)對(duì)地=)64(2)單位矢量法風(fēng)對(duì)人=風(fēng)對(duì)地+解

雨對(duì)地=雨對(duì)車(chē)+車(chē)對(duì)地30o雨對(duì)地車(chē)對(duì)地=35xy得：雨對(duì)地=25.6m/s

例題4.2火車(chē)靜止時(shí)，雨滴方向偏向車(chē)頭30；當(dāng)火車(chē)以35m/s的速率沿水平直路行駛時(shí)，發(fā)現(xiàn)雨滴方向偏向車(chē)尾45，求雨滴相對(duì)地速度的大小。

4545o雨對(duì)車(chē)65解雨對(duì)地=雨對(duì)車(chē)+車(chē)對(duì)地30o雨對(duì)地車(chē)對(duì)地=

例題4.3河水由西向東,速度10km/h。輪船相對(duì)河水的航速20km/h，航向?yàn)楸逼?0°。此時(shí)風(fēng)向?yàn)檎鳎L(fēng)速為10km/h。求在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的方向(設(shè)煙離開(kāi)煙囪后很快獲得與風(fēng)相同的速度)。

解xyo船對(duì)水=2030°66例題4.3河水由西向東,速度10km/h。輪得大小:方向與x軸正向的夾角為(南偏西30°)xyo船對(duì)水=2030°3067得大小:方向與x軸正向的夾角為(南偏西30°)xyo船對(duì)水第一篇力學(xué)(Mechanics)68第一篇(Mechanics)1第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematicsofparticle)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀參考系物理模型物理量相對(duì)運(yùn)動(dòng)69第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematicsofpartic牛頓力學(xué)的時(shí)空觀時(shí)間與空間：機(jī)械運(yùn)動(dòng)發(fā)生于時(shí)間之中，理論力學(xué)中采用的理想時(shí)空模型是最簡(jiǎn)單的模型——假設(shè)存在絕對(duì)空間和絕對(duì)時(shí)間。絕對(duì)空間是三維均勻各向同性的固定不動(dòng)的歐幾里得空間。絕對(duì)時(shí)間是大小連續(xù)變化的，方向是從過(guò)去到未來(lái)。在空間的所有點(diǎn)，時(shí)間都是均勻的、單值的，不依賴(lài)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的。70牛頓力學(xué)的時(shí)空觀時(shí)間與空間：機(jī)械運(yùn)動(dòng)發(fā)生于時(shí)間之中，理論力學(xué)§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa71§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？多邊形法aca+b+cbbac=?-ab=？72二.矢量的加、減法aba+b三角形法aba-bab+=？三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)73三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)6

積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，指向由右手螺旋法則確定。四.矢量積(向量積、叉積、外積)bacc74積C的方向垂直于矢量a和b組成的平面，指向

1.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：

矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函數(shù)A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有當(dāng)t0時(shí)，A的極限方向，才是的方向。特別是,當(dāng)A的大小不變而只是方向改變時(shí),就時(shí)刻保持與A垂直。751.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同：五由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以就是普通函數(shù)的微商。

3.

在直角坐標(biāo)系中,考慮到是常量,有76由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函數(shù)，所以運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒(méi)有運(yùn)動(dòng)就沒(méi)有世界。運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。一.運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性§1.1參考系和坐標(biāo)系77運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒(méi)有運(yùn)動(dòng)就沒(méi)有世界。一.運(yùn)動(dòng)坐地日行八萬(wàn)里

巡天遙看一千河運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和靜止的相對(duì)性統(tǒng)一——《送瘟神》78坐地日行八萬(wàn)里

巡天遙看一千河運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和靜止的相對(duì)性統(tǒng)一在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱(chēng)為參考系。為了作定量描述，還要取一個(gè)固定在參考系中的坐標(biāo)系。

坐標(biāo)系是參考系的代表和抽象。二.參考系坐標(biāo)系常用的坐標(biāo)系:直角坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系極坐標(biāo)系mS.79在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱(chēng)為參考系。二.§1-2典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)及理想模型質(zhì)點(diǎn)—在所研究的問(wèn)題中，形狀和大小可以忽略的物體。剛體—運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。諧振動(dòng)

—彈性回復(fù)力F=kx

80§1-2典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)及理想模型質(zhì)點(diǎn)—在所研究的問(wèn)§1.3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！一.位置矢量描述質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢或矢徑。

從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向P點(diǎn)的有向線段op=r

r質(zhì)點(diǎn)P到原點(diǎn)o的距離cos2+cos2+cos2=181§1.3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！一.位置矢量描述質(zhì)點(diǎn)在它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程，稱(chēng)為軌道方程。運(yùn)動(dòng)方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t

x2+y2=62軌道方程。二.運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程

82它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程例：x=6cos2

(1)位移是位置矢量r

在時(shí)間t內(nèi)的增量:三.位移和路程而A到B的路徑長(zhǎng)度S,稱(chēng)為路程。Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)

稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)的位移。r(t+t)

從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的有向線段AB=r

83(1)位移是位置矢量r在時(shí)間t內(nèi)的增量:三.位t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移84t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17位移=AC路程=AB+BCAB只有當(dāng)t→0時(shí),才有

|Δr|

S。(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。BAC

路程表示路徑長(zhǎng)度，是標(biāo)量，是弧長(zhǎng)AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

位移代表位置變化，是矢量，是直線段AB的長(zhǎng)度，與路徑形狀無(wú)關(guān)。85位移=AC路程=AB+BCAB只有當(dāng)t→0時(shí),才有(2)單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。

定義:

單位時(shí)間內(nèi)的位移平均速度。四.速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S86單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。定義:四.速度、速率r(如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，

即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t從A點(diǎn)到B點(diǎn)又折回C點(diǎn),顯然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率為則平均速度為BAC87如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:limt0=

質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

limt0即：速度等于位置矢量r

對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);而速率等于路程S對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。88質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:limt0=質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=limt0(2)=r大小的導(dǎo)數(shù)+r方向的導(dǎo)數(shù)。89=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0速度的大?。?3)在直角坐標(biāo)系中,

速度的方向：軌道切線方向。90速度的大?。?3)在直角坐標(biāo)系中,平均加速度：五.加速度的定義OxyzA.B.

(瞬時(shí))加速度定義為limDt0加速度a等于速度

對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量：91平均加速度：五.加速度的定義OxyzA.B.(瞬時(shí))加速(2)加速度a的大小:

(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的表示式是92(2)加速度a的大小:(1)在直角坐標(biāo)系中,加速度的

在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。在國(guó)際單位制中,加速度的單位為米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：當(dāng)t→0時(shí),速度增量的極限方向。應(yīng)該注意到,的方向和它的極限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向與同一時(shí)刻速度的方向一般不相一致。aaa93在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。例：任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸方向的獨(dú)立的直線運(yùn)動(dòng)的疊加,這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理。94例：任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿x,y,z三個(gè)r=xi+yj+zk求導(dǎo)積分*運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題95r=xi+yj+zk求導(dǎo)積

例題3.1

質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)?何時(shí)調(diào)頭？(2)t=0,2s時(shí)的速度;

(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。

t=1,5s前后速度改變了方向(正負(fù)號(hào)），所以t=1,5s調(diào)頭了。因t=0，

=+15m/s,所以質(zhì)點(diǎn)首先向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解(1)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？t=1,5s96例題3.1質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),x=t3–9t2考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為

s=|x(1)-x(0)|0~2s內(nèi)的位移：x=t3–9t2

+15t+1平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)

(2)t=0,2s時(shí)的速度;

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)

t=0,=15m/s

t=2,=-9m/s(3)02s內(nèi)的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

97考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故0~2s內(nèi)的路程應(yīng)為0~2s內(nèi)的位質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題3.2質(zhì)點(diǎn)位矢：解

x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4直線質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。98質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題3.2質(zhì)點(diǎn)位矢：解x=3+2t

解(1)

x=Rcost，y=Rsint軌道方程：

x2+y2=R2圓

由于t=0時(shí),x=R,y=0,而t>0+時(shí),x>0,y>0,由此判定粒子是作逆時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)。

例題3.3粒子矢徑:r=Rcosti+Rsintj，其中R、為正值常量。(1)分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況;(2)時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移和路程。99解(1)x=Rcost，y=R其大小為

加速度a的方向-r，即沿著半徑指向圓心。綜上所述，粒子作逆時(shí)針的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。100其大小為加速度a的方向-r，即沿著半徑指向圓心。綜上(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為

注意到為角速度，在時(shí)間t=/2/內(nèi)粒子剛好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，故路程:

S=R。

101(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為注意到為角速平均速度：(2)第2s內(nèi)的平均速度：當(dāng)t=1s時(shí)，(1)位矢：當(dāng)t=2s時(shí)，

例題3.4質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2(SI),求：(1)質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)的位置；解102平均速度：(2)第2s內(nèi)的平均速度：當(dāng)t=1s時(shí)，(1)代入t=1s,得：加速度：

(3)第1s末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：103代入t=1s,得：加速度：(3)第1s末的速度和加速度：a由此得:t=0,3s(略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可見(jiàn)t=3s時(shí)最近。r有極值的必要條件是：

(5)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近?x=2t,y=19-2t2這是一條拋物線

(4)軌道方程：104由此得:t=0,3s(略去t=-3s);r有極值的必(6)第1s內(nèi)的路程:10=1.34m105(6)第1s內(nèi)的路程:1=1.34m38

例題3.5在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的速率收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為x時(shí)速度和加速度。

解

hxroxy106例題3.5在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的速

解2:船的速度:hxr107解2:船的速度:hxr40

解

取o=0位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸的正方向。

例題3.6傘兵豎直降落，o=0，a=A-B，式中A、B為常量；求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。108解取o=0位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸的正完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)方程：109完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)方程：42單位矢量:

沿軌道切向

n

沿軌道法向指向凹側(cè)p1C.六.

向心加速度和切向加速度曲率圓

=

大小的變化率+方向的變化率110單位矢量:沿軌道切向p1C.六.向心加速度和=p1C.p2so加速度:當(dāng)t0時(shí)，0的極限方向?yàn)榈姆较?，所以limt0111=p1C.p2so加速度:當(dāng)t因ds=d(為曲率半徑)p1C.p2so112因ds=d(為曲率半徑)p1C.p2so大小：方向：沿半徑指向圓心。大?。悍较颍貉剀壍狼芯€方向。作用：描述速度方向的變化。作用：描述速度大小的變化。加速度小結(jié)：名稱(chēng)：向心(法向)加速度。名稱(chēng)：切向加速度。113大?。悍较颍貉匕霃街赶驁A心。大?。悍较颍貉剀壍狼芯€方向。作用加速度的大小:a與速度的夾角是:aan114加速度的大小:a與速度的夾角是:aan47由an=|at|得:解得解(1)

例題3.7質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng),半徑R，(b,c為常數(shù),且b2>Rc);求:何時(shí)an=a?a=c?(2)由=a+naa22115由an=|at|得:解得解(1)例題3.7

解

an

、a是總加速度g沿軌道法向和切向的分量：

例題3.8求斜拋體在時(shí)刻t的an、a和(設(shè)初速o，仰角)。axyuogoaaqnuxuuyq116解an、a是總加速度g沿軌道法向和切向的分

討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該點(diǎn)：an=g,a=0axyuogoaaqnuxuuyq117討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該(2)

解法之二gaxyuo118(2)解法之二gaxyuo51

例題3.9質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2(SI);求時(shí)刻t的an、a、及a與的夾角。解119例題3.9質(zhì)點(diǎn):x=2t,y=19-2t2a與的夾角：t=0aan何時(shí)a?120a與的夾角：t=0aan何時(shí)a?53=3t,

3t2=3,求出t=1s

例題3.10

圓運(yùn)動(dòng)，r=3m，開(kāi)始靜止,a=3ms-2；求：(1)第1s末加速度的大??；(2)經(jīng)多少時(shí)間a與成45?這段時(shí)間內(nèi)的路程是多少？

解(1)由有又

(2)a與成45，即表示：an=a，于是有=a+naa22121=3t,3t2=3,求出t=1s

角加速度：七.

圓周運(yùn)動(dòng)中角量和線量的關(guān)系角速度：角角坐標(biāo)(角位置)。yxoAR122角加速度：七.圓周運(yùn)動(dòng)中角量和線量的關(guān)系角速度：角

的方向：垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面,其指向由右手螺旋定則確定。角速度矢量123的方向：垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面,其指向由右手螺旋定則

圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)

x角坐標(biāo)

q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，則若=恒量,則124圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x角坐標(biāo)

例題3.11

飛輪半徑R=1m，=2+12t-t3(SI)，求：(1)輪邊上一點(diǎn)第1s末的an=？