高三一輪數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)-第3課時(shí) 2項(xiàng)式定理【系列四】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺(tái)——教育因你我而變好教育云平臺(tái)——教育因你我而變第3課時(shí)二項(xiàng)式定理1．(2017·衡水中學(xué)調(diào)研卷)若(eq\r(x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展開式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n＝()A．4 B．5C．6 D．7答案B解析依題意，T4＝Cn3·(－eq\f(1,2))3·xeq\f(n－3,2)－1，∵其展開式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴eq\f(n－3,2)－1＝0，∴n＝5.故選B.2．(2017·長沙一模)(x2－eq\f(1,x))6的展開式中()A．不含x9項(xiàng) B．含x4項(xiàng)C．含x2項(xiàng) D．不含x項(xiàng)答案D解析Tr＋1＝(－1)rC6rx12－2rx－r＝(－1)rC6rx12－3r，故x的次數(shù)為12，9，6，3，0，－3，－6.選D.3．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展開式中一次項(xiàng)系數(shù)為()A．Cn2 B．Cn＋12C．Cnn－1 D.eq\f(1,2)Cn＋13答案B解析1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n·（n＋1）,2)＝Cn＋12.4．(1－eq\r(x))4(1＋eq\r(x))4的展開式中x的系數(shù)是()A．－4 B．－3C．3 D．4答案A解析原式＝(1－eq\r(x))4(1＋eq\r(x))4＝(1－x)4，于是x的系數(shù)是C41·(－1)＝－4.5．(x2－x＋1)10展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為()A．－210 B．210C．30 D．－30答案A解析(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C100(x2)10－C101(x2)9(x－1)＋…－C109x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為－C109C98＋C1010(－C107)＝－210，故選A.6．(2018·杭州學(xué)軍中學(xué))二項(xiàng)式(ax＋eq\f(\r(3),6))6的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為－eq\r(3)，則eq\i\in(－2,a,)x2dx的值為()A.eq\f(7,3) B．3C．3或eq\f(7,3) D．3或－eq\f(10,3)答案A解析二項(xiàng)展開式的第二項(xiàng)為T2＝C61(ax)5×eq\f(\r(3),6)，則由題意有eq\f(\r(3),6)×C61a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，所以eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\s\up12(－1)－2＝－eq\f(1,3)－(－eq\f(8,3))＝eq\f(7,3).7．(2017·山東師大附中月考)設(shè)復(fù)數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i為虛數(shù)單位)，則C20171x＋C20172x2＋C20173x3＋…＋C20172017x2017＝()A．i B．－iC．－1＋i D．1＋i答案C解析x＝eq\f(2i,1－i)＝－1＋i，C20171x＋C20172x2＋…＋C20172017x2017＝(1＋x)2017－1＝i2017－1＝i－1，故選C.8．(2018·湖北宜昌一中模擬)二項(xiàng)式(eq\f(1,x)－xeq\r(x))n的展開式中含有x2項(xiàng)，則n可能的取值是()A．5 B．6C．7 D．8答案D解析展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cnk(eq\f(1,x))n－k(－xeq\r(x))k＝(－1)kCnkxeq\f(5k,2)－n，由eq\f(5k,2)－n＝2，得n＝eq\f(5k,2)－2.k＝4時(shí)，n＝8，選D.9．若(x＋eq\f(a,x))(2x－eq\f(1,x))5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．－40 B．－20C．20 D．40答案D解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∴(2x－eq\f(1,x))5的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5r·(2x)5－r·(－eq\f(1,x))r＝(－1)r·25－r·C5r·x5－2r.令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為(－1)2×23·C52＋(－1)3·22·C53＝80－40＝40.10．(2017·湖北四校聯(lián)考)(eq\f(1,x2)＋4x2＋4)3展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．120 B．160C．200 D．240答案B解析(eq\f(1,x2)＋4x2＋4)3＝(eq\f(1,x)＋2x)6，展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C6r·(eq\f(1,x))6－r·(2x)r＝C6r2rx2r－6，令2r－6＝0，可得r＝3，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為160.另解：展開式的常數(shù)項(xiàng)為：43＋C31·4·C21·4＝64＋96＝160.11．(2018·廣東普寧一中期末)若(x6＋eq\f(1,x\r(x)))n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析(x6＋eq\f(1,x\r(x)))n展開式的通項(xiàng)為Cnr(x6)n－r(x－eq\f(3,2))r＝Cnrx6n－eq\f(15,2)r，r＝0，1，2，…，n，則依題設(shè)，由6n－eq\f(15,2)r＝0，得n＝eq\f(5,4)r，∴n的最小值等于5.12．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為()A．9 B．8C．7 D．6答案B解析(x－1)4＝1＋C41x(－1)3＋C42x2(－1)2＋C43x3·(－1)＋x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，∴a0＝1，a2＝C42＝6，a4＝1.∴a0＋a2＋a4＝8.13．(2018·西安五校聯(lián)考)從(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的展開式中任取一項(xiàng)，則取到有理項(xiàng)的概率為()A.eq\f(5,21) B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,10) D.eq\f(3,7)答案B解析(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C20k(eq\r(4,x))20－k(eq\f(1,\r(x)))k＝C20kx5－eq\f(3,4)k，其中k＝0，1，2，…，20.而當(dāng)k＝0，4，8，12，16，20時(shí)，5－eq\f(3,4)k為整數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以從(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的展開式中任取一項(xiàng)，則取到有理項(xiàng)的概率為P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).14．(2017·衡水中學(xué)調(diào)研卷)設(shè)a，b，m為整數(shù)(m>0)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為a≡b(modm)．若a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220，a≡b(mod10)，則b的值可以是()A．2018 B．2019C．2020 D．2021答案D解析a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余數(shù)為1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2021.15．(2018·廣東湛江調(diào)研)若(2x－1)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018(x∈R)，記S2018＝eq\o(∑,\s\up6(2018),\s\do4(i＝1))eq\f(ai,2i)，則S2018的值為________．答案－1解析令x＝0，則a0＝1.令x＝eq\f(1,2)，則(2×eq\f(1,2)－1)2018＝a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2018,22018)＝1＋eq\o(∑,\s\up6(2018),\s\do4(i＝1))eq\f(ai,2i)＝0，∴S2018＝eq\o(∑,\s\up6(2018),\s\do4(i＝1))eq\f(ai,2i)＝－1.16．(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)為________．答案179解析(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本題求x10的系數(shù)，只要求(x＋2)10展開式中x8及x10的系數(shù)Tr＋1＝C10rx10－r·2r.取r＝2，r＝0得x8的系數(shù)為C102×22＝180，x10的系數(shù)為C100＝1，∴所求系數(shù)為180－1＝179.17．在(ax－1)6的二項(xiàng)展開式中，若中間項(xiàng)的系數(shù)是160，則實(shí)數(shù)a＝________．答案－2解析∵在(ax－1)6的二項(xiàng)展開式中共有7項(xiàng)，展開式的中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，此時(shí)T4＝C63(ax)3(－1)3，∴中間項(xiàng)的系數(shù)為－a3C63＝－20a3＝160，∴a＝－2.18．若(x－eq\f(a2,x))8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為________．答案1解析(x－eq\f(a2,x))8的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C8rx8－r(－a2)rx－r＝C8r(－a2)rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C84(－a2)4＝1120，所以a2＝2，故(x－eq\f(a2,x))8＝(x－eq\f(2,x))8.令x＝1，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1－2)8＝1.19．設(shè)函數(shù)f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．(1)求f(x，6)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)若f(i，n)＝32i(i為虛數(shù)單位)，求Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9.答案(1)20x3(2)32解析(1)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)T4＝C63x3＝20x3.(2)由已知(1＋i)n＝32i，兩邊取模，得(eq\r(2))n＝32，所以n＝10.所以Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9＝C101－C103＋C105－C107＋C109，而(1＋i)10＝C100＋C101i＋C102i2＋…＋C109i9＋C1010i10＝(C100－C102＋C104－C106＋C108－C1010)＋(C101－C103＋C105－C107＋C109)i＝32i，所以C101－C103＋C105－C107＋C109＝32.1．(2018·四川綿陽模擬)在(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))8的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是()A．－28 B．－7C．7 D．28答案C解析∵展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C8r(eq\f(x,2))8－r(－x－eq\f(1,3))r＝C8r(eq\f(1,2))8－r(－1)rx8－eq\f(4,3)r，當(dāng)8－eq\f(4,3)r＝0時(shí)，r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)是C86×(eq\f(1,2))2×(－1)6＝7.2．(2017·保定模擬)(eq\f(1,\r(x))－2x2)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A．5 B．－5C．10 D．－10答案D解析常數(shù)項(xiàng)為C51(eq\f(1,\r(x)))4(－2x2)＝－10.3．(2015·湖南，理)已知(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))5的展開式中含xeq\s\up6(\f(3,2))的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．6 D．－6答案D解析由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得Tr＋1＝C5r(eq\r(x))5－r(－eq\f(a,\r(x)))r＝(－a)rC5rxeq\f(5－r,2)－eq\f(r,2)＝(－a)rC5rxeq\f(5,2)－r，令eq\f(5,2)－r＝eq\f(3,2)，得r＝1，所以(－a)rC5r＝(－a)×C51＝30，則a＝－6，故選D.4．(2018·四川成都七中月考)化簡2n－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＝()A．1 B．(－1)nC．1＋(－1)n D．1－(－1)n答案D解析2n－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＝Cn0×2n×(－1)0－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＋(－1)nCnn×20－(－1)nCnn×20＝(2－1)n－(－1)n＝1－(－1)n.5．已知(xcosθ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)與(x＋eq\f(5,4))4的展開式中x3的系數(shù)相等，且θ∈(0，π)，則θ＝()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)答案B解析由二項(xiàng)式定理知(xcosθ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)為C53cos2θ，(x＋eq\f(5,4))4的展開式中x3的系數(shù)為C41×eq\f(5,4)，所以C53cos2θ＝C41×eq\f(5,4)，解得cos2θ＝eq\f(1,2)，解得cosθ＝±eq\f(\r(2),2)，又θ∈(0，π)，所以θ＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，故選B.6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1答案D解析方法一：(1＋x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5rxr(0≤r≤5，r∈Z)，則(1＋ax)(1＋x)5的展開式中含x2的項(xiàng)為C52x2＋ax·C51x＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，解得a＝－1.故選D.方法二：(1＋ax)(1＋x)5是6個(gè)因式之積，所以展開式中x2的系數(shù)為C52＋aC51＝10＋5a，所以10＋5a＝5，解得a＝－1.故選D.7．已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，設(shè)(3x－1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，則()A．Sn>Tn B．Sn<TnC．n為奇數(shù)時(shí)，Sn<Tn；n為偶數(shù)時(shí)，Sn>Tn D．Sn＝Tn答案C解析由題意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－(－1)n，故選C.8．設(shè)(5x－eq\r(x))n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，M－N＝240，則展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為()A．500 B．－500C．150 D．－150答案C解析N＝2n，令x＝1，則M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2，∴(2n)2－2n＝240，2n＝16，n＝4.展開式中第r＋1項(xiàng)Tr＋1＝C4r·(5x)4－r·(－eq\r(x))r＝(－1)r·C4r·54－r·x4－eq\f(r,2).令4－eq\f(r,2)＝3，即r＝2，此時(shí)C42·52·(－1)2＝150.9．已知在(eq\r(3,x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開式中所有的有理項(xiàng)分別是________．答案eq\f(45,4)x2，－eq\f(63,8)，eq\f(45,256)x－2解析(eq\r(3,x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展開式中的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnr(－eq\f(1,2))rxeq\s\up6(\f(n－2r,3))，因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r＝5時(shí)，有eq\f(n－2r,3)＝0，即n＝10.根據(jù)通項(xiàng)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z，))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k，所以0≤5－eq\f(3,2)k≤10，解得－eq\f(10,3)≤k≤eq\f(10,3)，又k∈Z，r∈Z，所以k可取2，0，－2，即r可取2，5，8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為eq\f(45,4)x2，－eq\f(63,8)，eq\f(45,256)x－2.10．在(1＋x＋eq\f(1,x2017))10的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)．答案45解析因?yàn)?1＋x＋eq\f(1,x2017))10＝[(1＋x)＋eq\f(1,x2017)]10＝(1＋x)10＋C101(1＋x)9eq\f(1,x2017)＋…＋C1010(eq\f(1,x2017))10，所以x2項(xiàng)只能在(1＋x)10的展開式中，即C102x2，系數(shù)為C102＝45.11．(2016·北京)在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)答案60解析二項(xiàng)式(1－2x)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C6r(－2x)r