相似三角形經(jīng)典例題解析

初三（下）相似三角形總結(jié)第7頁(yè)共7頁(yè)一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則△AGD∽∽。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長(zhǎng)線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過(guò)O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF（答案）例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（對(duì)頂角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，則∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知條件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問(wèn)題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且所以△EAF∽△ECA例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過(guò)D點(diǎn)作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而B(niǎo)K：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC，∴DFAC=BCFE例6證明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴評(píng)注：命題1如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。與結(jié)論相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證。證明：過(guò)D點(diǎn)作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似）（1）∵D為BC的中點(diǎn)，且DG∥BF∴G為FC的中點(diǎn)則DG為△CBF的中位線，（2）將（2）代入（1）得：例8分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中?！摺螪AR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例10分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來(lái)證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明：∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF則有而FC∥DE∴△AED∽△AFC則有∴又∵BE=DE（正方形的邊長(zhǎng)相等）∴，即GF=CF。例12證明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽R(shí)t△CDO，∴又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，∴，即∴AE=BF。一、選擇題1．（2009年濱州）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中單獨(dú)能夠判定的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009年上海市)如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】平行線分線段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：1【關(guān)鍵詞】【答案】B4.(2009年安順)如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【關(guān)鍵詞】等邊三角形，三角形中位線，相似三角形【答案】D5.（2009重慶綦江）若△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為１∶2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為（）A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶【關(guān)鍵詞】【答案】B6.（2009年杭州市）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個(gè)B．可以有2個(gè)C．有2個(gè)以上但有限D(zhuǎn)．有無(wú)數(shù)個(gè)【關(guān)鍵詞】相似三角形有關(guān)的計(jì)算和證明【答案】B7.2009年寧波市）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（）A．△AOM和△AON都是等邊三角形B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C．四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D．四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形DDBCANMO【關(guān)鍵詞】位似【答案】C8.（2009年江蘇?。┤鐖D，在方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置，與三角形乙拼成一個(gè)矩形，那么，下面的平移方法中，正確的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格【關(guān)鍵詞】平移【答案】D9.(2009年義烏)在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比。已知這本書(shū)的長(zhǎng)為20cm，則它的寬約為A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm【關(guān)鍵詞】黃金比【答案】A10.（2009年婁底）小明在一次軍事夏令營(yíng)活動(dòng)中，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，在用槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)B時(shí)，要使眼睛O、準(zhǔn)星A、目標(biāo)B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時(shí)，小明有輕微的抖動(dòng)，致使準(zhǔn)星A偏離到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，則小明射擊到的點(diǎn)B′偏離目標(biāo)點(diǎn)B的長(zhǎng)度BB′為（）A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米【關(guān)鍵詞】相似三角形【答案】B11.（2009恩施市）如圖，在中，是上一點(diǎn)，于，且，則的長(zhǎng)為（）A．2B．C．D．【關(guān)鍵詞】解直角三角形、相似【答案】B12.（2009年甘肅白銀）如圖3，小東用長(zhǎng)為3.2m的竹竿做測(cè)量工具測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8m、與旗桿相距22mA．12m B．10m C．8m D．7m【關(guān)鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)【答案】A13.（2009年孝感）如圖，將放置于平面直角坐標(biāo)系中的三角板AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，則B′點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)【答案】A14.（2009年孝感）美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長(zhǎng)x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為A．4cm B．6cm C．8cm D．10