相似三角形經(jīng)典例題解析

初三（下）相似三角形總結(jié)第7頁共7頁一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則△AGD∽∽。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點，DM⊥BC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：∠AEF=∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF（答案）例1分析：關鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（對頂角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。例2分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，則∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知條件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且所以△EAF∽△ECA例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進行證明：證明：過D點作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC，∴DFAC=BCFE例6證明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中點，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴評注：命題1如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）（1）∵D為BC的中點，且DG∥BF∴G為FC的中點則DG為△CBF的中位線，（2）將（2）代入（1）得：例8分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關鍵是構造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關鍵的一點就是要明確目標，選擇適當?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中?！摺螪AR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例10分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關的比例線段，圖中與FC、FG相關的比例式較多，則應選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明：∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF則有而FC∥DE∴△AED∽△AFC則有∴又∵BE=DE（正方形的邊長相等）∴，即GF=CF。例12證明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即∴AE=BF。一、選擇題1．（2009年濱州）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中單獨能夠判定的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【關鍵詞】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009年上海市)如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【關鍵詞】平行線分線段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：1【關鍵詞】【答案】B4.(2009年安順)如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【關鍵詞】等邊三角形，三角形中位線，相似三角形【答案】D5.（2009重慶綦江）若△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為１∶2，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶【關鍵詞】【答案】B6.（2009年杭州市）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個B．可以有2個C．有2個以上但有限D(zhuǎn)．有無數(shù)個【關鍵詞】相似三角形有關的計算和證明【答案】B7.2009年寧波市）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是邊AB、AD的中點，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（）A．△AOM和△AON都是等邊三角形B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C．四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D．四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形DDBCANMO【關鍵詞】位似【答案】C8.（2009年江蘇省）如圖，在方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置，與三角形乙拼成一個矩形，那么，下面的平移方法中，正確的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格【關鍵詞】平移【答案】D9.(2009年義烏)在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為20cm，則它的寬約為A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm【關鍵詞】黃金比【答案】A10.（2009年婁底）小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓練，在用槍瞄準目標點B時，要使眼睛O、準星A、目標B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，則小明射擊到的點B′偏離目標點B的長度BB′為（）A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米【關鍵詞】相似三角形【答案】B11.（2009恩施市）如圖，在中，是上一點，于，且，則的長為（）A．2B．C．D．【關鍵詞】解直角三角形、相似【答案】B12.（2009年甘肅白銀）如圖3，小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8m、與旗桿相距22mA．12m B．10m C．8m D．7m【關鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)【答案】A13.（2009年孝感）如圖，將放置于平面直角坐標系中的三角板AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，則B′點的坐標為A． B． C． D．【關鍵詞】旋轉(zhuǎn)【答案】A14.（2009年孝感）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為A．4cm B．6cm C．8cm D．10