與球有關(guān)的高考試題

2016年高考數(shù)學(xué)微專題：與球體有關(guān)的問題一、高考趨勢分析：立體幾何章節(jié)在傳統(tǒng)的高考中分值占22分左右，以兩小一大的形式出現(xiàn)較多。與球相關(guān)的問題也時有考題出現(xiàn)，現(xiàn)針對近年高考考題形式總結(jié)如下，也是每年高考熱點(diǎn)，每年高考中主要考查選擇、填空題目、解答題。二、基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥：.長方體、正方體的外接球其體對角線長為該球的直徑..正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑..正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線.4,正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.方法主要是“補(bǔ)體”和“找球心”考試核心：性質(zhì)的應(yīng)用d2OO12R2r2,構(gòu)造直角三角形建立三者之間的關(guān)系。三、高考試題精練（2015高考新課標(biāo)2,理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-AB平積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36兀B.64兀C.144兀D.256?！敬鸢浮緾【解析】如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面T0E的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O-4EC的缽和最大，設(shè)球。的半徑詢E,此時了二延.二二「后二五五二［產(chǎn)=36,故近二8,則球。的表面視為j165=，.加二口47，故選C,【考點(diǎn)定位】外接球表面積和椎體的體積.（2015?遼寧高考）已知直三棱柱ABGABC的6個頂點(diǎn)都在球O的TOC\o"1-5"\h\z球面上，若AB=3,AO4,AB^ACAA=12,則球O的半徑為（）A.3217B.2513C.萬D.310解析：選C如圖，由球心作平面ABC勺垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M又AMk；BOI，O陣1AA=6,所以球O的半徑R=OA=y|2+62=^.222.22（2016?長春模擬）若一個正四面體的表面積為S,其內(nèi)切球的表面積為S,則|1=.S2解析：設(shè)正四面體棱長為a,則正四面體表面積為S=4，、4-b=\[3a2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的1,即「=；?港2=H6a，因此內(nèi)切球表44312c2兀a2wS、/3a24面積為S=4兀r則曰==.6S2兀2兀"6a-63答案：一兀4.四棱錐P-ABCD勺五個頂點(diǎn)都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E,F分別是棱ARCD勺中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2啦，則該球的表面積為（）A.9兀B.3兀C.22兀D.12兀解析：選D該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為PC由直線EF被球面所截得的線段長為2山，可知正方形ABCD寸角線AC的長為2啦，可得a=2,在△PABPC=#22+?2，2?2=2欣，球的半徑R=小,??S表=4兀R=4兀X（^3）2=12兀.四、典型例題精析類型一：有公共底邊的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（兩題互換條件形成不同的題）1.15.如圖球O的半徑為2,圓Oi是一小圓，O1O及，A、B是圓Oi上兩點(diǎn)，若A,B兩點(diǎn)間的球面距離為則AOiB=.（2015年理3科）2.15.如圖球O的半徑為2,圓Q是一小圓，OOA、B是圓Q上兩點(diǎn)，若AO1B=—,則A,B兩點(diǎn)間的球面距離為（2014年文2科）類型二：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑—2r,從而解決問題。sinC直三棱柱ABCABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120,則此球的表面積等于。（2014年理科）析：欲求球的表面積，歸根結(jié)底求球半徑R,與R相關(guān)的是重要性質(zhì)R2r2d2。1?AA=2,-dOO1OO2-AA11。2現(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化到。Q的半徑之上。因為△ABC是。Q的內(nèi)接三角形，又知AB=AC=2/BAC=120,三角形可解。由余弦定理有BCJab2AC22ABACcosBAC-44420由正弦定理有BC2rr—BC—2sinBAC2sinBACR2r2d2415.「.S4R220。4.14.正三棱柱ABCAB1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為,則正三棱柱的體積為8.(2013年理科)已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=收，ascbsc30,則棱錐S—ABC勺體積為C(2014年理科)A33B.23c..3D.16.(11)已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC,ABBC,SAAB1,BC五，則球。表面積等于A(2015年文科)(A)4(B)3(C)2(D)類型三：通過線線角、線面角、面面角之間的平面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造勾股定理處理問題。7.15.設(shè)OA是球。的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于彳，則球O的表面積等于——(2015年文科)析：問題的解決根本——求球半徑ROB。TOC\o"1-5"\h\z與R相關(guān)的重要性質(zhì)R2r2d2中，r2可求(:r2乙.?卡7)44問題轉(zhuǎn)化到求dOC上充分運(yùn)用題目中未用的條件，om艮，/OMC=45,「.dR22.22于是R27區(qū)求得R22,「.S4R2848

.(11)已知平面％截一球面得圓M過圓心M且與％成二面角的平面B截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4，則圓N的面積為D(2014年理科)(A)7(B)9(C)11(D)13.(5)如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯60°緯線長和赤道長的比值為C(2015文科)(A)0.8(B)0.75(C)0.5(D)0.25類型四：球內(nèi)接多面體的相關(guān)元素之間的聯(lián)系。10.13.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為81cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是4cm.(2010年理科)11.16.長方體ABCDAB1C1D1的頂點(diǎn)均在同一個球面上，ABAA11,BC四，則A,B兩點(diǎn)間的球面距離為-——(2015年文科)12.14.體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于4有(2009年文科)13.16.已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的則這兩個圓錐中，體積較小者的16高與體積較大者的高的比值為—1/3.(2015年文科).如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是2R2.類型五：平面幾何性質(zhì)在球中的綜合應(yīng)用

(16)已知球O的半徑為4,圓M與圓N為該球的兩個小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB4.若OMON3,則兩圓圓心的距離MN.(2015年理科)析：由OM=O即，OM與。No為等圓，根據(jù)球中的重要性質(zhì)r2R2d21697又MKAB得H為AB中點(diǎn)，..BH=AH=2..MHNHJr2BH2V3.「/OMH=ONH=90「?/MON=一/MHN由余弦定理有MN=OM+ON-20MONcos/MN2=MH+NH—2MH?NH-cos（兀解得cos/MON=，即/MON=23三角形OMNI等邊三角形，?..MN=3.類型六：性質(zhì)的簡單應(yīng)用(15)已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M,若圓M的面積為3,則球O的表面積等于16兀.(2009年文科)(15)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB6,BC273,則棱錐OABCD的體積為240(2011年理科)(9)高為逅的四棱錐S-ABCD勺底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、4B、CD均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD勺中心與頂點(diǎn)S之間的距離為C(2011年理科)(A)叵(B)左(C)1(D)尤42五、模擬試題精練1.（2015高考新課標(biāo)2,理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-AB平積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36兀B.64兀C.144兀D.256冗【答案】C2.（2015?遼寧高考）已知直三棱柱ABCABC的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3,AG=4,AB±ACAA=12,則球O的半徑為()A"**.2B.21013c萬D.310答案：選C3.（2016?長春模擬）若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S,則4.四棱錐P-ABCD勺五個頂點(diǎn)都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E,F分別是棱ABCD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2v2,則該球的表面積為A.9九B.3九C.2：12九D.12幾答案：選D5.如圖所示，已知E,F分別是棱長為a的正方體ABCD-ABGD的棱AA,CC的中點(diǎn)，則四棱錐C—BEDF的體積為…13答案（1）晨36.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形,SC為