初中八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練奧數(shù)專題25配方法

初中八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題25配方法閱讀與思考把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方TOC\o"1-5"\h\z法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：2_221、a2abb(ab)2、a2abb(.a.b)23、a2b2c22ab2bc2ca(abc)2,2.22122z2,4、abcabbcac[(ab)(bc)(ac)]2配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用配方解題的關(guān)鍵在于：(1)具有較強(qiáng)的配方意識(shí)，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如a(Va)2能聯(lián)想起配方法.(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開又重新分配組合，得到完全平方式.例題與求解2___【例1】已知頭數(shù)x,y,z滿足xy5,zxyy9,那么x2y3z(“祖沖之杯”邀請賽試題)解題思路：對(duì)題設(shè)條件實(shí)施變形，設(shè)法確定x,y的值.【例2【例2】若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2b2c2一222…9,則代數(shù)式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是(A、最大值是(A、27B、18C、15D、12TOC\o"1-5"\h\z解題思路：運(yùn)用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項(xiàng)及完全平方式的形式^配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零^--———————1【例3】已知ab2Va14jb23jc3-c5,求a+b+c的值.2解題思路：題設(shè)條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.復(fù)合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法^【例4】證明數(shù)列49,4489,444889,44448889,…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù).解題思路：4972,4489672,4448896672,4444888966672,由此可猜想2彳4?44884弱(662L361)，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過程即可.n1n幾個(gè)有趣的結(jié)論：⑴444^4耶2^89(得2必61)2n1nn(2)112L31552L356(333L331)2n1nn這表明：只出現(xiàn)1個(gè)奇數(shù)或只出現(xiàn)1個(gè)偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個(gè).【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對(duì)于每個(gè)人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓).解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對(duì)這個(gè)代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞?，進(jìn)而求出代數(shù)式的最小值^把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法^配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具^【例6】已知自然數(shù)n使得n219n91為完全平方數(shù)，求n的值.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.能力訓(xùn)練1、計(jì)算10+8\3+221、計(jì)算10+8\3+222,2232、已知abc2(abc)30,則a（“希望杯”邀請賽試題b3c33abc.23、x,y為實(shí)數(shù)，且x2—4xy2y,則x+y的值為24、當(dāng)x〉2時(shí)，化簡代數(shù)式42.x1Vx2,x1,得,225、已知m4x12xy10y4y9,當(dāng)x=,y=時(shí)，m的值最小.（全國通訊賽試題）6、若M10a2b27a6,N6、若M10a2b27a6,N22ab5a1A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)7、計(jì)算，146痣Jl46曲的值為（）A、1B、75c、2V5D、可正可負(fù)2_-8、設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，xa2b至少有一個(gè)值（）A、大于零B、等于零129yb2cC、不大于零D、3拆（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）2一，zc2a—，則x,y,z中62D、小于零（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個(gè)自然數(shù)的平方（其中n為自然數(shù)）的是（23n3n323n3n324n4n42LLC、5n5n52rr2rrD、7n7n7E、11n211n1110、已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a22b7,b22c1,c10、已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a22b7,b22c1,c26a于()A、2B、3C、4D、517，則a+b+c的值等（河北省競賽試題）解“存在”、“不存在”“至少存在一個(gè)”等形式的問題時(shí)，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題:設(shè)X1,X2,X3,…Xn為實(shí)數(shù).(1)若X1X2LXn0則X1,X2,X3,…Xn中至少有（或存在）一個(gè)為零;(2)若XiX2LXn0,則X1,X2,X3,…Xn中至少有（或存在）一個(gè)大于零;（3）若X1X2LXn0,則X1,X2,X3,…Xn中至少有（或存在）一個(gè)小于零12、13、、解方程組y2z2n?2x212、13、、解方程組y2z2n?2x2Ix22y21y2能使2n256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少?a已知ab,且(ab)(aabb)—243,b(蘇州市競賽試題(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題a,b為自然數(shù)，求a,b的值.(天津市競賽試題13、設(shè)13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2ab)2509(4a511b)，求a,b的值.(全國初中數(shù)