離散時間信號與系統(tǒng) 課件

第1章離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號序列的表示序列的產生常用序列序列的基本運算系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)移不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程連續(xù)時間信號的抽樣1第1章離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號1x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}離散信號(序列)的表示2x[k]={1,1,2,-1,1;k=對連續(xù)信號抽樣x[k]=x(kT)信號本身是離散的計算機產生注意：離散信號:時間上都量化的信號數(shù)字信號:時間和幅度上都量化的信號離散序列的產生3對連續(xù)信號抽樣x[k]=x(kT)離散序列的產生31．單位脈沖序列2.單位階躍序列3．矩形序列常用序列41．單位脈沖序列2.單位階躍序列3．矩形序列常用序列44．指數(shù)序列有界序列：kZ|x[k]|Mx

。Mx是與k無關的常數(shù)aku[k]：右指數(shù)序列,|a|1序列有界aku[-k]：

左指數(shù)序列,|a|1序列有界5．虛指數(shù)序列(單頻序列)角頻率為w的模擬信號數(shù)字信號角頻率W=Tw54．指數(shù)序列有界序列：kZ|x[k]|Mx虛指數(shù)序列x[k]=exp(jWk)是否為周期的?如是周期序列其周期為多少？即W/2p為有理數(shù)時，信號才是周期的。如果W/2p=m

/L,L,m是不可約的整數(shù)，則信號的周期為L。6虛指數(shù)序列x[k]=exp(jWk)是否為周期的?6．正弦型序列例

試確定余弦序列x[k]=cosW0k當(a)W0=0(b)W0=0.1p(c)W0=0.2p

(d)W0=0.8p

(e)W0=0.9p

(f)W0=p時的基本周期。解：(a)

W0/2p=0/1，

N=1。(b)

W0/2p=0.1/2=1/20，N=20。(c)

W0/2p=0.2/2=1/10，N=10。(d)

W0/2p=0.8/2=2/5，N=5。(e)

W0/2p=0.9/2=9/20,N=20。(f)

W0/2p=1/2,N=2。76．正弦型序列例試確定余弦序列x[k]=cosW0kx[k]=cosW0k,W0=0.2p

x[k]=cosW0k,W0=0.8p

x[k]=cosW0k,W0=p

x[k]=cosW0k,W0=08x[k]=cosW0k,W0=0.2px[k]當W0從p增加到2p時，余弦序列幅度的變化將會逐漸變慢。即兩個余弦序列的角頻率相差2p的整數(shù)倍時，所表示的是同一個序列。cos[(2p-W0)k]=cos(W0k)W0

在p

附近的余弦序列是高頻信號。W00或2p附近的余弦序列是低頻信號。9當W0從p增加到2p時，余弦序列幅度的變化將會逐漸變慢。即兩1010序列的基本運算翻轉(timereversal)x[k]x[-k]位移(延遲)x[k]x[k-N]抽取(decimation) x[k]x[Mk]

內插(interpolation) 卷積11序列的基本運算翻轉(timereversal)例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，試求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。

結論：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范圍為N1

k

N2，

h[k]的非零范圍為N3

k

N4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范圍。結論：N1+N3

k

N4+N212例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，試求y1[實序列的偶部和奇部序列的單位脈沖序列表示13實序列的偶部和奇部13系統(tǒng)分類線性(Linearity)注意：齊次性疊加性14系統(tǒng)分類線性(Linearity)14例:設一系統(tǒng)的輸入輸出關系為

y[k]=x2[k]試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號x

[k]產生的輸出信號T{x

[k]}為

T{x

[k]}=x2[k]輸入信號ax

[k]產生的輸出信號T{ax

[k]}為

T{ax

[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情況，T{ax

[k]}aT{x

[k]}。故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。15例:設一系統(tǒng)的輸入輸出關系為15例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。計算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)16例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不時不變(Time-Invatiance)定義：如T{x[k]}=y[k]，則T{x[k-n]}=y[k-n]線性時不變系統(tǒng)簡稱為：LTI在n表示離散時間的情況下，“非移變”特性就是“非時變”特性。例

證明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移變系統(tǒng)。計算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。17例

證明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移變系統(tǒng)解：輸入信號x[k]產生的輸出信號y[k]為

y[k]=T{x[k]}=x[Mk]輸入信號x[k-n]產生的輸出信號T{x[k-n]}為

T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故系統(tǒng)是時變的。例:已知抽取器的輸入和輸出關系為

y[k]=x[Mk]試判斷系統(tǒng)是否為時不變的？18解：輸入信號x[k]產生的輸出信號y[k]為例:已知抽抽取器時變特性的圖示說明19抽取器時變特性的圖示說明19定義：例：累加器:單位脈沖響應（Impulseresponse）20定義：例：累加器:單位脈沖響應（ImpulseresponLTI系統(tǒng)對任意輸入的響應21LTI系統(tǒng)對任意輸入的響應21當任意輸入x(n)用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為因為系統(tǒng)是線性非移變的，所以通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：22當任意輸入x(n)用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為因為系統(tǒng)是線性非離散卷積滿足以下運算規(guī)律：(1)交換律23離散卷積滿足以下運算規(guī)律：23(2)結合律24(2)結合律24(3)分配律25(3)分配律25離散卷積的計算26離散卷積的計算26計算卷積的步驟如下：

(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。

(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。

(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘。

(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。上圖為：與的線性卷積。27計算卷積的步驟如下：上圖為：與的線性卷積。27計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。例

已知x(n)和h(n)分別為：和試求x(n)和h(n)的線性卷積。解

參看圖2.15，分段考慮如下：(1)對于n<0：(2)對于0≤n≤4：(3)對于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6時：(4)對于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10時：(5)對于(n-6)>4，即n>10時：28計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。2929綜合以上結果，y(n)可歸納如下：30綜合以上結果，y(n)可歸納如下：30卷積結果y(n)如圖2.16所示31卷積結果y(n)如圖2.16所示31因果性定義定理證明（充分性、必要性）舉例32因果性定義32穩(wěn)定性定義定理證明（充分性、必要性）舉例33穩(wěn)定性定義33線性常系數(shù)差分方程用迭代法求解差分方程－－－求單位抽樣響應差分方程的優(yōu)點：在一定條件下，可得到系統(tǒng)的輸出可直接得到系統(tǒng)的結構舉例34線性常系數(shù)差分方程用迭代法求解差分方程－－－求單位抽樣響應3信號的抽樣連續(xù)信號頻譜X(jw)與抽樣信號頻譜X(ejW)的關系時域抽樣定理抗混疊濾波信號的重建連續(xù)信號的離散處理35信號的抽樣連續(xù)信號頻譜X(jw)與抽樣信號頻譜X(ejW點抽樣抽樣間隔(周期)T(s)抽樣角頻率wsam=2p/T(rad/s)抽樣頻率fsam=1/T(Hz)抽樣過程的兩種數(shù)學模型離散時間信號與系統(tǒng)36點抽樣抽樣間隔(周期)T理想抽樣37理想抽樣37連續(xù)信號頻譜X(jw)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系38連續(xù)信號頻譜X(jw)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系3點抽樣信號頻譜X(ejW)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系39點抽樣信號頻譜X(ejW)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關連續(xù)信號頻譜X(jw)與點抽樣信號頻譜X(ejW)的關系40連續(xù)信號頻譜X(jw)與點抽樣信號頻譜X(ejW)的關系X(jw)=0|w|>wm稱為wm為信號的最高(角)頻率。ωm帶限(bandlimit)信號41X(jw)=0|w|>wm帶限(bandlimit)例:已知某帶限信號抽樣信號x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽樣時，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。解：42例:已知某帶限信號抽樣信號x(t)的頻譜如圖所示，試分43434444設x(t)是帶限實信號，則抽樣后信號頻譜不混疊的(充分)條件為：Tp/wm=1/(2fm)

時域抽樣定理fsam2fm

（或wsam

2wm）抽樣頻率fs滿足：或抽樣間隔T滿足fsam

=2fm頻譜不混疊最小抽樣頻率(Nyquistrate)T=1/(2fm)頻譜不混疊最大抽樣間隔45設x(t)是帶限實信號，則抽樣后信號頻譜不混疊的(例：已知x(t)=Sa(pf0t),試確定頻譜不混疊最大抽樣間隔T及抽樣后的序列x[k]。解：所以wsam=2pf0，即T=1/f0。若信號x(t)以T為抽樣間隔抽樣后的序列為d[k]，則稱該信號Nyquist-T信號。在所有的Nyquist-T信號中，只有x(t)=Sa(pf0t)是帶限的。46例：已知x(t)=Sa(pf0t),試確定頻譜不混疊最大抽例：已知連續(xù)帶通信號x(t)的頻譜如下圖所示,試分別畫出wsam1=0.5wm及wsam2=0.8wm時，抽樣后離散序列的頻譜。解：wsam1=0.5wm,

T1=2p/wsam1=4p/wmwsam2=0.8wm,T2=2p/wsam2=2.5p/wm47例：已知連續(xù)帶通信號x(t)的頻譜如下圖所示,試分別畫出w抗混疊濾波許多實際工程信號不滿足帶限條件抗混疊低通濾波器48抗混疊濾波許多實際工程信號不滿足帶限條件抗混疊48信號的重建理想D/A模型框圖理想D/A輸入和輸出49信號的重建理想D/A模型框圖理想D/A輸入和輸出49A/T)(wjeXwmTw-mTwpp-p2p2-A/T)(wjXswmw-mw2samw2samw-samwsamw-50A/T)(wjeXwmTw-mTwpp-p2p2-A/T)(5151零階保持D/A零階保持D/A模型框圖52零階保持D/A零階保持D/A模型框圖52零階保持D/A輸出信號的頻譜為Xz(jw)=Hz(jw)Xs(jw)53零階保持D/A輸出信號的頻譜為53離散域進行補償?shù)腇IR和IIR濾波器54離散域進行補償?shù)腇IR和IIR濾波器54第1章離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號序列的表示序列的產生常用序列序列的基本運算系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)移不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程連續(xù)時間信號的抽樣55第1章離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號1x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}離散信號(序列)的表示56x[k]={1,1,2,-1,1;k=對連續(xù)信號抽樣x[k]=x(kT)信號本身是離散的計算機產生注意：離散信號:時間上都量化的信號數(shù)字信號:時間和幅度上都量化的信號離散序列的產生57對連續(xù)信號抽樣x[k]=x(kT)離散序列的產生31．單位脈沖序列2.單位階躍序列3．矩形序列常用序列581．單位脈沖序列2.單位階躍序列3．矩形序列常用序列44．指數(shù)序列有界序列：kZ|x[k]|Mx

。Mx是與k無關的常數(shù)aku[k]：右指數(shù)序列,|a|1序列有界aku[-k]：

左指數(shù)序列,|a|1序列有界5．虛指數(shù)序列(單頻序列)角頻率為w的模擬信號數(shù)字信號角頻率W=Tw594．指數(shù)序列有界序列：kZ|x[k]|Mx虛指數(shù)序列x[k]=exp(jWk)是否為周期的?如是周期序列其周期為多少？即W/2p為有理數(shù)時，信號才是周期的。如果W/2p=m

/L,L,m是不可約的整數(shù)，則信號的周期為L。60虛指數(shù)序列x[k]=exp(jWk)是否為周期的?6．正弦型序列例

試確定余弦序列x[k]=cosW0k當(a)W0=0(b)W0=0.1p(c)W0=0.2p

(d)W0=0.8p

(e)W0=0.9p

(f)W0=p時的基本周期。解：(a)

W0/2p=0/1，

N=1。(b)

W0/2p=0.1/2=1/20，N=20。(c)

W0/2p=0.2/2=1/10，N=10。(d)

W0/2p=0.8/2=2/5，N=5。(e)

W0/2p=0.9/2=9/20,N=20。(f)

W0/2p=1/2,N=2。616．正弦型序列例試確定余弦序列x[k]=cosW0kx[k]=cosW0k,W0=0.2p

x[k]=cosW0k,W0=0.8p

x[k]=cosW0k,W0=p

x[k]=cosW0k,W0=062x[k]=cosW0k,W0=0.2px[k]當W0從p增加到2p時，余弦序列幅度的變化將會逐漸變慢。即兩個余弦序列的角頻率相差2p的整數(shù)倍時，所表示的是同一個序列。cos[(2p-W0)k]=cos(W0k)W0

在p

附近的余弦序列是高頻信號。W00或2p附近的余弦序列是低頻信號。63當W0從p增加到2p時，余弦序列幅度的變化將會逐漸變慢。即兩6410序列的基本運算翻轉(timereversal)x[k]x[-k]位移(延遲)x[k]x[k-N]抽取(decimation) x[k]x[Mk]

內插(interpolation) 卷積65序列的基本運算翻轉(timereversal)例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，試求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。

結論：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范圍為N1

k

N2，

h[k]的非零范圍為N3

k

N4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范圍。結論：N1+N3

k

N4+N266例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，試求y1[實序列的偶部和奇部序列的單位脈沖序列表示67實序列的偶部和奇部13系統(tǒng)分類線性(Linearity)注意：齊次性疊加性68系統(tǒng)分類線性(Linearity)14例:設一系統(tǒng)的輸入輸出關系為

y[k]=x2[k]試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號x

[k]產生的輸出信號T{x

[k]}為

T{x

[k]}=x2[k]輸入信號ax

[k]產生的輸出信號T{ax

[k]}為

T{ax

[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情況，T{ax

[k]}aT{x

[k]}。故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。69例:設一系統(tǒng)的輸入輸出關系為15例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。計算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)70例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不時不變(Time-Invatiance)定義：如T{x[k]}=y[k]，則T{x[k-n]}=y[k-n]線性時不變系統(tǒng)簡稱為：LTI在n表示離散時間的情況下，“非移變”特性就是“非時變”特性。例

證明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移變系統(tǒng)。計算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。71例

證明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移變系統(tǒng)解：輸入信號x[k]產生的輸出信號y[k]為

y[k]=T{x[k]}=x[Mk]輸入信號x[k-n]產生的輸出信號T{x[k-n]}為

T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故系統(tǒng)是時變的。例:已知抽取器的輸入和輸出關系為

y[k]=x[Mk]試判斷系統(tǒng)是否為時不變的？72解：輸入信號x[k]產生的輸出信號y[k]為例:已知抽抽取器時變特性的圖示說明73抽取器時變特性的圖示說明19定義：例：累加器:單位脈沖響應（Impulseresponse）74定義：例：累加器:單位脈沖響應（ImpulseresponLTI系統(tǒng)對任意輸入的響應75LTI系統(tǒng)對任意輸入的響應21當任意輸入x(n)用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為因為系統(tǒng)是線性非移變的，所以通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：76當任意輸入x(n)用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為因為系統(tǒng)是線性非離散卷積滿足以下運算規(guī)律：(1)交換律77離散卷積滿足以下運算規(guī)律：23(2)結合律78(2)結合律24(3)分配律79(3)分配律25離散卷積的計算80離散卷積的計算26計算卷積的步驟如下：

(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。

(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。

(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘。

(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。上圖為：與的線性卷積。81計算卷積的步驟如下：上圖為：與的線性卷積。27計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。例

已知x(n)和h(n)分別為：和試求x(n)和h(n)的線性卷積。解

參看圖2.15，分段考慮如下：(1)對于n<0：(2)對于0≤n≤4：(3)對于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6時：(4)對于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10時：(5)對于(n-6)>4，即n>10時：82計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。8329綜合以上結果，y(n)可歸納如下：84綜合以上結果，y(n)可歸納如下：30卷積結果y(n)如圖2.16所示85卷積結果y(n)如圖2.16所示31因果性定義定理證明（充分性、必要性）舉例86因果性定義32穩(wěn)定性定義定理證明（充分性、必要性）舉例87穩(wěn)定性定義33線性常系數(shù)差分方程用迭代法求解差分方程－－－求單位抽樣響應差分方程的優(yōu)點：在一定條件下，可得到系統(tǒng)的輸出可直接得到系統(tǒng)的結構舉例88線性常系數(shù)差分方程用迭代法求解差分方程－－－求單位抽樣響應3信號的抽樣連續(xù)信號頻譜X(jw)與抽樣信號頻譜X(ejW)的關系時域抽樣定理抗混疊濾波信號的重建連續(xù)信號的離散處理89信號的抽樣連續(xù)信號頻譜X(jw)與抽樣信號頻譜X(ejW點抽樣抽樣間隔(周期)T(s)抽樣角頻率wsam=2p/T(rad/s)抽樣頻率fsam=1/T(Hz)抽樣過程的兩種數(shù)學模型離散時間信號與系統(tǒng)90點抽樣抽樣間隔(周期)T理想抽樣91理想抽樣37連續(xù)信號頻譜X(jw)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系92連續(xù)信號頻譜X(jw)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系3點抽樣信號頻譜X(ejW)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關系93點抽樣信號頻譜X(ejW)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關連續(xù)信號頻譜X(jw)與點抽樣信號頻譜X(ejW)的關系94連續(xù)信號頻譜X(jw)與點抽樣信號頻譜X(ejW)的關系X(jw)=0|w|>wm稱為wm為信號的最高(角)頻率。ωm帶限(bandlimit)信號95X(jw)=0|w|>wm帶限(bandlimit)例:已知某帶限信號抽樣信號x(t)的頻譜如圖所示，試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm