2018江蘇奧數(shù)夏令營-平面幾何6月25日

2018年奧數(shù)夏令營講義——平面幾何目錄一、等差冪線定理 錯誤 !未定義書簽。二、共邊比例定理、分角張角 錯誤 !未定義書簽。共邊比例定理 錯誤 !未定義書簽。分角定理 錯誤 !未定義書簽。張角定理 錯誤 !未定義書簽。三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 錯誤!未定義書簽。梅涅勞斯(Menelaus)定理 錯誤!未定義書簽。賽瓦(Ceva)定理 錯誤!未定義書簽。Pascal定理 錯誤 !未定義書簽。四、三角形五心 錯誤 !未定義書簽。三角形的內(nèi)心 錯誤 !未定義書簽。三角形的外心 錯誤 !未定義書簽。三角形的重心 錯誤 !未定義書簽。三角形的垂心 錯誤 !未定義書簽。三角形的旁心 錯誤 !未定義書簽。五、等角共軛 錯誤 !未定義書簽。等角共軛 錯誤 !未定義書簽。等角共軛點 錯誤 !未定義書簽。Simson定理、托勒密、三弦定理 錯誤!未定義書簽。Simson 定理 錯誤 !未定義書簽。Ptolemy 定理 錯誤 !未定義書簽。三弦定理 錯誤 !未定義書簽。Stewart定理 錯誤!未定義書簽。八、歐拉定理、歐拉線、歐拉圓 錯誤 !未定義書簽。九、圓冪定理、根軸、根心 錯誤 !未定義書簽。十、內(nèi)外角平分線定理、線段的“分割比”、阿波羅尼斯圓 錯誤 !未定義書簽。十一、調(diào)和點列、線束 錯誤 !未定義書簽。十二、顧冬華20題 錯誤!未定義書簽。注：第81題、第104題、第124題為同一題，分別由三位老師提供，詮釋角度不同，故仍然順應(yīng)內(nèi)容重復(fù)編排在內(nèi)，方便備課 .等差事線定理.如圖，點P為4ABC內(nèi)部一點， PL、PM、PN分別垂直于BC、CAAB,且AMAN,BNBL.求證：CLCM.【證明】由定差哥線定理TOC\o"1-5"\h\z2 2 2PN AB PA PB NA NB;PL BC PB2 PC2 LB2 LC2;2 2 2 2PM CA PC PA MC MA.上述三式相加，結(jié)合AMAN及BNBL,得CLCM.DFC「.疹手/一次+理■）朋.，在正方形對角線乩上一點（不與反『.重合），厄_LBC、PF\DFC「.疹手/一次+理■）朋【證明】二〃+R盧+/則【證明】連接以，//CA-'=五猶得麻13二應(yīng)好=如J血E4.如圖，在4ABC【證明】連接以，//CA-'=五猶得麻13二應(yīng)好=如J血E4.如圖，在4ABC中，CDAB,BEE是垂足，CD與BE交于點H.證明：AHBC.證明：在凹四邊形ACBH中，在凹四邊形ABCH中，由BH由CHAC得于是，在凹四邊形ABHC中，得到ABAB得AC2 ：ABCH2 _ 2CHBH2_2BCAC2一2 2BC2AH2.2AH.2 ... _BH,貝UAHBC..在△.扳中，8產(chǎn)*Cf-5AB--求證：|灰和山邊上的中線⑼和及互相垂直.1AD1BE由此題可得△ABC垂線H的一個性質(zhì)：AB2CH2BC2AH2AC2BH2.在五邊形施出中，曲二阮^BCD=2BAE=9Q‘，/為五邊形內(nèi)一點，且爐.。二，二丁"求證： ^【證明】連接用延長交正”,由”工BE.CP_L時,得：/手暗=4Bp,慶1/廬士靖兩式相減：. ^ ： ) .即：B#式P卡=瞄4爐，由凹四邊形得：BP_L龍.如圖，在四邊形ABC珅，E和F是0口BC上的點，AB=AQDFJ_.店如_La：AD1DC求證：證明：在四邊形ADEF中，由DF，亞及定差哥線定理得由-加一①’-房,又因為AB=AD舫.L8"提_1_必所以/或-U戌*B內(nèi)=用爐脛M,即加'-W-成，由定差哥線定理知^若點P在△ABC三邊BC、CA、AB所在直線上的射影分別為X、Y、Z.證明：自YZ、ZX、XY的中點分別向BC、CA、AB所作的垂線共點.證明：由三角形中線長公式，有 m21(b 2 2 2 _2 2 2(XC2XB2YA 2 2 2 _2 2 2(XC2XB2YA2YC2ZB2ZA2).2由DX，BC,EY±CA,FZ±AB,則 XB2XC2BD2CD2TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 1 2 1—2—2 1 2(BZ2BY2) YZ2 (CY2CZ2)YZ22 4 2 41 22 2 2-(BY2BZ2CY2CZ2).2同理， YC2YA21(CZ2CX2AZ2AX2)22 _2 1 2 2_2_2ZA2ZB2-(AX2AY2BX2BY2).2以上三式相加，得2 2 2 2 2 2XB XC YC YAZA ZB設(shè)以,與E尸交于M點，則由定差塞線定理可得-MC-XEF-XC靖-比-浮-r>代入（*）得/-披/#Q，呼>2/- =o即,? ’ ；所以M在過,引AB的垂線上，所以以「、W、成'|三線共點.8.以銳角△ABCW一邊AC為直徑作圓，分別與ABBC交于點K、L,CKAL分別與△ABCW外接圓交于點F、D(FWC,DWA),E為劣弧AC上一點，BE與AC交于點N,若AF+BD)+CE=AE+CD)+BF.求證：/KNBZBNL.證明如圖，由于以AC為直徑的圓分別與AB、BC交于點K,L,則CK^AB,AL±BC.設(shè)CK與AL交于點H，則H為△ABC的垂心，故點H與F關(guān)于AB對稱，點H與D關(guān)于BC對稱.從而，AFAH，CDCH，BDBHBF.222222由AFBDCEAECDBF，有222 2AH2CE2AE2CH2.即AH2CH2AE2CE2.由定差哥線定理知， HE±AC.又注意到H為垂心，有BH±AC.故知B、H、E三點共線.因為N為邊AC與BH的交點，則BN±AC.故/KNB/BNL.二、共邊比例定理、分角張角共邊比例定理9.如圖，4ABC中，DE//BC,BE、CD交于P.求證：直線AP平分BC和DE【證明】設(shè)直線AP分別交BC、DE于M由共邊定理，得ADSaacpAE SaabpBDSABCPCE SACBP所以S^ACP SXABP,則sAcp2ABP.SABCP SACBP又由共邊定理，得BMSABAPBM,所以——CMSacapCM又易知Sabpd Sacpe,貝USadapSaeap.由共邊定理，得DHSdap1,則DHHESAEAP故直線AP平分BC和DE.、H.,而DE//BC,則處AEBDCE1,即BMCM,所以M是BC的中點.HE,所以H是DE的中點.io.過圓外一點p引圓的兩條切線和一條割線幽，pb、儂割線加交圓廣點，，在a上取一點g使/用0=/延匕求證：/用廣=^DBC【證明】設(shè)乙如6=上PBC=^QbB=上聿、dPAC=^ADC-/民由共邊比例定理，得：警二W二黑!（」￡班為金川u占陽f的高）?jj理匕jBrrWJffm心敬 AP-ACSin^ 心敬 AP-ACSin^ 丸,口扣 AC又——= =- *得-二一人￡）皿 那?砥痂q DCSinci1寸物 及連接H則3曲0~XBAC,/.嗡=J.「.77=3=?：=卷匕/必0= 龍i.:.△曲g\\BAC,，/*J=/隧.? 面pyp￡11.在改內(nèi)任取一點P,連結(jié)PA PEB PC分別交對邊于 X、Y、Z點.求證：￡+R/亓二/An T￡" ￡L證明：由共邊比例定理知:PXFFPZ_[A艇1 [薩加，0麗證明：由共邊比例定理知:萬’例*&=豆夜,[SABC].[AABC]

12.已知eO是△ABC的內(nèi)切圓，長交十點.求證：是的中點.D、E、N分別為、、上的切點，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)并延證明：如圖，聯(lián)結(jié)OD，OE,由O、D、B、N及O、N、C、E分別四點共圓有KOD=KOEC.由共邊比例定理，有DKS\ODKODOKsinDOKsinDOKsinBACKESAOKEOEOKsinKOEsinKOEsinCABB，DKSaadksinDAKKESaaeksinEAK于是BMS\ABMABsinBAMABsinDAKABDKABAC1MCS\ACMACsinCAMACsinEAKACKEACAB1故M是BC的中點.分角定理13.在等月ABC中，/A<90°,從邊AB上點D引AB的垂線，交邊AC于E,交邊BC的延長線于F.求證：AD=CF當且僅當^AD的積是^CEF面積的兩倍.【證明】連接BE,則EA外分BED.設(shè)AED,AEB,作EMBC.由分角定理得：sin ADDE 小:sin ABBE在BEF中，EC內(nèi)分BEF,由分角定理得：sin CFEF …:sin BCBEBC由①=②且ADCF,得DEBCEF.ABBC設(shè)ABC,在等腰ABC中，有EC2cos.AB???DE2EFcos，?二DE2EM,??SADE2SCEF.以上過程均可逆.14.設(shè)^ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD4DC,已知圓過點C與AC交于F,與AB相切于AB的中點G求證：ADBF.【證明】設(shè)BAD,ABF,DAC.在ABC中，AD內(nèi)分BAC,則：sin BD.AB4AC.4AC

^ABsin DC-ACAB4AC

^AB又sin sin(— )cos,：.tan2AF又在RtABF中，tan=.AB一 x ,ACAF2AGtan tan 4 z-,又AB2AGAB2???AB24AG24AFAC(切割線定理)tantan1,從而一，ADBF.2.4ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC以AB為一邊作^ABD且AD=BD若/AD(=15°,求證：△ABD^等邊三角形.證明：設(shè)/DAB=白.在&犯Z■中，在AB邊上用分角定理可得：BEBDsin^BDE(180f-2口- )sid<Sa*15Q)EA-ADsin215a~ siEQ 一sinl5a在&耳戰(zhàn)中,在AB邊上用分角定理可得：BEBCsin^BCE展i而“白十寸-43e)晤M通/-30f)EA-ACsinACE~siii^(90p-Q-250)"coslrii(a*因)所以必!他白弋15,}_JSsi同2-30^)sin]5^ 七□亞三(a/15°)解得白:6。：所以SABD^等邊三角形張角定理.已知AM是4ABC的BC邊上的中線，任作一直線順次交AB,AC,AM于P,Q,N.求證：AB,皿,改成等差數(shù)列.APANAQ【證明】令BAM,MAC,AMB.以A為視點，分別對P,N,Q及B,M,C應(yīng)用張角定理，有sin()sinsin ①ANAPAQ'sin()sinsinAM又在ABM和sin怎ABACAMC中，由正弦定理，有sinsinsinMBACMC由已知MBMC,上述兩式相除得如"ACABsin()2sinAMAB2sinAC,于是②式可變?yōu)?sinABsin()

2AMsinACsin(2AM代入①得,AM1/AB(AN2AP空)AQ+，ABAM故——,-APANAQACAC成等差數(shù)列.如圖，在線段AB上取內(nèi)分點M,使，分別以MA,MB為邊，在AB的同側(cè)作正方形和MBEF,和分別是這兩個正方形的外接圓，兩圓交于 M,.求證：B,,三點共線.證明連MD,ME,NE,ND,NM,貝U/DNM/ENM90,貝UD,N,E三點共線，注意/DME45 45 90.設(shè)/DMN/NEM,eP,eQ的半徑分別為r1,r2,則MC缶,MB@2,MN2rlcos2r2sin.對視點M,考察點B,C,N所在的三角形△MBN.由sin/CMBsin/CMNsin90sin(45)172sinsin(45)MN MB 2r2sin 2r2 2r2sin1sincossincos2sincos2r1cos 2r1coscossin2cos(45)cos(45)2r1 2「1 .2rlsin90 45sin/NMB2r1 MC.由張角定理可知B,C,N三點共線.三、Menelaus、Ceva、Pascal定理梅涅勞斯（Menelaus）定理 BDCEAF設(shè)直線l與ABC三邊所在直線 BC, CA AB分別交于點D, E, F,則空CE 2F 1DCEAFB反之，若三角形三邊所在直線上三點使得上述等式成立，則該三點共線 ^利用面積轉(zhuǎn)換，可得出如下兩個角元形式：第一角元形式：sinBADsinCBEsinACF,1sinDACsinEBAsinFCB第二角元形式：sinBODsinCOEsinAOF,1sinDOCsinEOAsinFOB（O為不再三邊所在直線上的任意一點）18.AD為銳角三角形ABC18.AD為銳角三角形ABC勺一條高，K為AD上任一點,BKCK的延長線分別交ACAB于點EF.求證：/EDK=/FDK證明：過點A作MNBC與DEDF的延長線分別交于點MN…AFBD由于后DCANAMT1AN=AM即ANAMT1AN=AM即DA是等腰三角形DMN勺底邊上的高,從而/EDA=/FDA19.在^ABC中，AMAT分別為BC邊上的中線與角平分線.TK//AC19.在^ABC中，AMAT分別為BC邊上的中線與角平分線A股空1故CMKA.? iBTC設(shè)AB=C,BC=a,CA=bA股空1故CMKA.? iBTC設(shè)AB=C,BC=a,CA=b，則喬bAD1DBAKKMacBT=不abCT=節(jié).aaba(c—b)MT=CM-CT=2-市=昌., AKCT2b但TK//AC—=—=一-KMTMc-bADDBc—bADADbADb—= =-即一=-ABANDBcccAD=b=AC故證.20.如圖，四邊形20.如圖，四邊形ABC珅，A*CD所在直線交于點E,AD與BC所在直線交于點F,BD與EF所在直線交于點H,AC與EF所在直線交于點直線交于點H,AC與EF所在直線交于點G求證：HEFGHFEG.【解析】考慮AEF被直線HBCO,應(yīng)用梅涅勞斯定理可知ABBE考慮AEG被直線BCFB,同理可得地受BEFGGC1CA考慮AGF被直線ECDB,AC同理可得JACCGGEEFFD1DA②x③+①可得GEHFFGEH1 ABBE考慮AEG被直線BCFB,同理可得地受BEFGGC1CA考慮AGF被直線ECDB,AC同理可得JACCGGEEFFD1DA②x③+①可得GEHFFGEH1 所以原命題成立21.如圖，已知于點P,QABC的內(nèi)切圓分別切BCCAAB于點D若直線FE與BC交于圓外一點R,證明：P,E、Q,F,線段BE、CF分別與該內(nèi)切圓交R三點共線.【析】考慮ABC被直線EFRB,應(yīng)用梅涅勞斯定理可知AFBRFBRCCE1,因為EABRFBAF=AE所以/金，如圖，設(shè)BE與CF交于點S,則RCCEEFC~QEC,FEB~PFB,SEQ~SFPEHFD/1HFDACQCEFPFESPFP所以，————, ,-EQEFPBFBSQEQ考慮SBC及三個點P,QRSPBRCQ SPCQBR FPCQBR FPCQBR FECEFB d1PBRCQS SQPBRC EQPBRC PBQERC FBEFCE由梅涅勞斯定理的逆定理可知， P,QR三點共線.22.已知△ABC的內(nèi)心為I,外接圓圓心為QBC中點為N,NI與AC交于點P,B點相對的旁切圓圓心為MMI與圓O交于點E,過M點的直線l與AC平行且與BC所在直線交于點F.求證：P,E,F三點共線.【析】如圖，連結(jié)BI,設(shè)MI與AC交于點D,易知,【析】如圖，連結(jié)BI,設(shè)MI與AC交于點D,易知,B,I,D,E,M五點共線.BF因為MC平分ACF,所以Mf=CF,且BFFCBFBCMFDC考慮BCD考慮BCD被NIP截，應(yīng)用梅涅勞斯定理知BNCPDI彳——————1NCPDIB又因為DLCD,所以BIBCBNCPCDNCPDBC1.所以SPPD又因為又因為DLCD,所以BIBCBNCPCDNCPDBC1.所以SPPD又因為BCD~AED所以BCAECDeD，BFCP所以 FCPDBC［、［ 所以CDAE2DE2.BFCPFCPDBC2CD2.而ABEAE而ABEAE~DAE,則生BEDE_, 2f——，所以AE2DEBE.AE所以BFFCCPDEBEPDDE2所以BFFCCPDEBEPDDE2所以由梅涅勞斯定理逆定理知,BEDEP,BFCPDEd所以 1.FCPDBEE,F三點共線.賽瓦（Ceva）定理設(shè)點P不在ABC三邊所在直線上，直線AP,BP,CP分別與BCCAAB交于點D,E,F,則1,反之，若三角形三邊所在直線上的點使得上述等式成立，則ADBECF1,反之，若三角形三邊所在直線上的點使得上述等式成立，則ADBECF交于DCEA?B一點或互相平行Ceva定理角元形式：為了方便，我們可以從某個角開始， 把六個角順時針（或逆時針）標記為1至日…sin1sin3sin5,TOC\o"1-5"\h\z6,則 1.sin2sin4sin6或者改為判斷過 ABC的頂點的三條直線AX,BYCZ是否共點,生人工sin BAX sin ACZ sinCBY 彳等價于 1sin XAC sin ZCB sinYBA23.在△23.在△ABC中，已知BAC40°,ABC60°,D,E分別為邊AC,AB上的點，且使CBDBCE70°,F是BD與CE的交點，連結(jié)AF,證明：AFBC.【析】設(shè)BAF，則CAF40 ，如圖用角元sinsin10sin40sin(40)sin70sin20sinsin102sin20c°s20彳sin(40)sin70 12sin10c°s10sinsin201sin(40)2sinsin(40)c°s10sin(40)c°s(10)c°s(10)sin(40)sin(100)sin(80)sin(80)sin(100)sin(40)2cos(70)sin30sin(20)所以802030Ceva定理可知:sin1024.在銳角^ABC中，AD是A的內(nèi)角平分線，D在邊BC上，過D作DEAC,DFAB,垂足分別為E,F,連結(jié)BECF,它們相交于點H,求證：AHBC.【析】過A作AKBC于K【析】過A作AKFBKCEABK由題意知A,F,D,K四點共圓，則BFBABDBKA,E,D,K四點共圓，則CKCDCECABDBKBFBA,所以 又因為AD平分BACCDCKCECABDAB

所以————所以

CDACBKCKBFCE又因為AF=AE所以BKCEAF1.CKBFEA所以由賽瓦定理逆定理知原命題成立 .25.四邊形BCE吶接于圓Q其邊CE與BF的延長線交于點A,由點A作圓O的兩條切線AP和AQ切點分別為P,QBE與CF的交點為H,求證：P,H,Q三點共線.【析】考慮連結(jié)FQQB只須說明H是FBQ的賽瓦點即可設(shè)BFPQK,FQBEL,BQCFMnttFK Sfpq PFFQ BM SFBC FBBC則 ； ；KB SPBQ PBBQ MQ Sfqc FQCQQLSeqb EQQBLFSefb EFFBFKBMQLPFEQBC所以 （*）KBMQLFPBCQEF因為APF~ABP,AQE~ACQ,AFE~ACB2PFAPEQAQBCAC AP所以————,————,————所以（*）可化為 1（圓帚7E理）PBABCQACEFAF ABAF所以由賽瓦定理逆定理可知 H在PQ上，所以P,H,Q三點共線..如圖，在^ABC中，/BAC=90。，G為AB上給定的一點（G不是線段AB的中點）.設(shè)D為直線GC上與C G都不相同的任意一點，并且直線 AD BC交于E,直線BDAC交于F,直線EEAB交于H試證明交點H與D在直線CG^的位置無關(guān).證明：設(shè)G分線段AB為定比入1,H分線段AB為定比入2.下面證明入2由入i確定，即當AB給定后，點H的位置由點C唯一確定.在△ABC中，由AEBRCG交于一點D,應(yīng)用塞瓦定理，有AGBECF口.BECFGb'Ec'fA=1，即11.EC，F(xiàn)AT1. ⑴對^ABCM截線EFH應(yīng)用梅涅勞斯定理，有AHBEHBEC(1)+(2)(2)CF口口AHBEHBEC(1)+(2)(2)FA=1,即12?氏?*=t,BECF八，得(入1+入2)ec-fa=0.從而入1+入2=0,即入2=一入1,故入2由入1唯一確定.因此，點H與D在直線CG上的位置無關(guān)Pascal定理圓0上六點Ai,A2,A3,A4,A5,A6,則A)A2,A4A5,A2A3,A5A6,A3Ai,A6A|的交點X,Y,Z共線.考慮A3ZA6三頂點引出的直線AA2,ZX,A6A5與兩邊所成角的正弦值sin A2A3Z sin A5A6A3 sin XZA6 sin A2AA4 sin A5A4Z sin XZAiTOC\o"1-5"\h\zsin A2A3A6 sin A5A6Z sin XZA3 sin A2AA6 sin A5A4A sin XZA4 （*）在AA4Z中，對點X運用Cev獨理（角元形式）sinXA1A4sinXZA1sinXA4Z 1sinXA1ZsinXZA4sinXA4A所以（*）為1,由Ceva定理（角元形式）逆定理知原命題成立 .【注】結(jié)論與六個點在圓上的次序無關(guān) .六個點中相鄰兩個點若重合，則對應(yīng)兩點連線變?yōu)樵擖c的切線，從而六邊形可以變?yōu)槲暹呅位蛘咚倪呅紊踔寥切?^. 4ABC內(nèi)接于圓O, P為BC弧上一點，點 K在線段AP上，使得BK平分 ABC,過K, P, C三點的圓與邊AC交于點D,連結(jié)BD交圓于點E,連結(jié)PE并延長與邊AB交于點F,證明：ABC2FCB.【析】設(shè)CF與圓交于點S,考慮圓上六點形KPEDCS由Pascal定理可知B,K,S三點共線.設(shè)圓與BC交于點T,連結(jié)KT,則KTCKPCAPCABC2KBC.所以KBCBKTSCBFCB，所以ABC2FCB.28.如圖，六點 A, B, D, E, F, C在圓周上順次排列， ABAC AD與BE交于點P, CD與BF交于點QAF與CE交于點R,SKQACE.求證:AD與BF交于點S,SKPQ.TKRQAF與CD交于點T,在線段TS上取一點K,使得【析】由Pascal定理可知,P,QR三點共線.因為DBSFCT,BDSAFBCFT,所以BDS~CFT.所以BSCTBDQB————，所以CFQCBCTQKSKQSTQACEBCQABDE APB,同理，SQKARC,所以SKTK2

SQsinSQKSQsinARCTQsinTQKTQsinAPB又因為輸ARCsinAPBsinARCsinABPACAPAPsinARPsinACRsinAPBARABARsinAPRSK所以SKSQsinARPPQsinRTQPQSTsinAPRTQsinPSQRQRQ.如圖，4ABC的外心為QCD為高線，M為邊AC的中點，射線DM與以AD為直徑的圓的另一個交點為Y,圓與。O的另一個交點為X,直線DO與AC交于點Z證明：X,Y,Z三點共線.【析】設(shè)Z是XYAC的交點，下面證明： Z,O,D共線即可.設(shè)直線XYZ′交圓O于點L,連結(jié)X印延長交圓O于點P,那么AXPAXD90,從而__ —-',.…A,O,P三點共線，所以連結(jié)AOP因為Z是XYAC的交點，即XL與AC的交點，而延長CD交圓O于點G則D點就是XP和CGW交點，此時考慮六點形CAPXLG只要能證明O是AP和LG的交點即可由Pascal定理證得.所以下面證明：L,O,G三點共線.要證L,O,G三點共線，只要證：LBBG因為LBALXAYXAYDA，所以 LBMDBGMDCMCDDBG證畢..如圖，過4ABC的頂點ABC各作一直線使之交于一點P,而分另1］交4ABC勺外接圓于點A、B、C.又在△ABC勺外接圓上任取一點Q,證明：QA、QB、QC與BCCAAB對應(yīng)的交點X、Z、Y三點共線 .證明：在圓內(nèi)接六邊形BCAAQB中，其三組對邊BC與AQCA與QB、AA與BB的交點分別為X、Z、P.由帕斯卡定理可知， P、X、Z三點共線.在圓內(nèi)接六邊形CBAAQC'中，其三組對邊CB與A'QBA與QC'、AA與C'C的交點分別為X、Y、P.由帕斯卡定理可知， P、Y、X三點共線.故X、Z、Y三點共線 ..如圖，點P在△ABC勺內(nèi)部，P在邊BCCAAB上的射影分別為DE、F,過點A分別作直線BRCP的垂線，垂足分別為MN求證：MENRBC三線共點.證明：由題設(shè)有/AEP=/AFP=/AMP=/ANP=90o.從而，點AN、F、P、E、M都在以AP為直徑白^圓上.于是，對于圓內(nèi)接六邊形 AFNPM，E它的三組對邊AF與PMFN與MENP與EA的交點分別為RQC由帕斯卡定理可知， B、QC三點共線.則點Q在直線BC上.故MENRBC三線共點.四、三角形五心三角形的內(nèi)心TOC\o"1-5"\h\z三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心 ^性質(zhì)1:三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點 ^性質(zhì)2：設(shè)I為ABC內(nèi)一點，AI所在直線交ABC的外接圓于D,I為ABC內(nèi)心的充要條件是：ID=DB=DC（雞爪定理）1 _ _ __【證明】如圖，必要性：連 BI,由DIB- A- B CBDIBC DBI\o"CurrentDocument"2知ID=BD=DC充分性：由DB=DC即知AD平分BAC.由DI=DB有DIBDBI即DBCCBIIABABI,而IABIACDBC從而CBIIBA,即BI平分ABC故I為ABC的內(nèi)心.性質(zhì)3：設(shè)I為ABC內(nèi)一點，IABC的內(nèi)心的充要條件是： EC,ICA,IAB的外心均在ABC的外接圓上..已知，如圖I為4ABC的內(nèi)心，過I的BC的垂線交4ABC的外接圓于P、QPAQA交BC于E、F,求證：A,I,E,F四點共圓.【析】如圖，連結(jié)AI并延長交外接圓于S,1一一因為SCB-ASAC

2那么易知SCP~SJC,所以共圓.又因為SI2SC2SPSJ又因為SAPKJP1一一因為SCB-ASAC

2那么易知SCP~SJC,所以共圓.又因為SI2SC2SPSJ又因為SAPKJP,所以CPJ,所以SCJ180SCB180CPJSPC.KJSSCPSAP且SC2SPSJ,所以A,K,P,J四點SIP~SJISIPSJI,IJBIJSKJSSIPSCPSIPIAPIPE.IPBCIJAP,所以E為IPJ的垂心，則IEBIPJ180QPS180QASIAF所以A,I,E,F四點共圓..已知：如圖，QI分別為4ABC的外心和內(nèi)心，點B為點B關(guān)于OI的對稱點.求證：過點I,B#ABIB外接圓的切線，交點在AC上.' ' '【析】設(shè)O為BIB外接圓圓心，則O在OI上,一_、一_ ,___延長BI交圓O于M設(shè)MB交AC于E,由例1知MEIMIB2IBBIOB'_一，所以，I,O,E,B四點共圓，注意到OIBB,MCE?MBC,于是OECOEMCEMOIBMCBOIBIBB90設(shè)過點I,B的圓O切線交點為D,則O,B,D,I四點共圓，從而O,E,B,D,I五點共圓.從而OEDOBD90OEC所以，D在EC上.34.已知圓O內(nèi)切圓O于點D,A為大圓O上任意一點，圓O的弦ARAC分別切圓O于點E,F,EF交AO于點I,求證：I為AABC的內(nèi)心.【析】延長AO交圓O于點M設(shè)BAC2,圓O,O的半徑依次為R,r,由性質(zhì)2(雞爪定理)知，只要證明MIMB2Rsin即可.由圓哥定理知：2Rrr2R2(Rr)2R2OO’22r oAOOMAO(IMIO)AOIMAOIOAOIMOE2—MIr2sin整理得MI2Rsin三角形的外心三角形的外接圓的圓心簡稱為三角形的外心 .性質(zhì)1：三角形的外心是三角形三條邊的中垂線的交點 .性質(zhì)2：三角形所在平面內(nèi)的一點是其外心的充要條件是：該點到三頂點的距離相等性質(zhì)3：設(shè)O為ABC所在平面內(nèi)的一點，則 O為ABC的外心的充要條件是下述條件之一成立:1)BOC2A,AOC2B,AOB2COBOC,且BOC2A35.設(shè)O為4ABC的外心，連結(jié)AO并延長交△ABC35.設(shè)O為4ABC的外心，連結(jié)AO并延長交切線l交于P,直線PO交AB于N,交AC于M求證：OMONBC【析】過B作PO平行線交AD于F,交AC于G,彳OEBC于E,則O,E,P,D于E,則O,E,P,D四點共圓FDEOPEPM//PCOPEF,E,D,B四點共圓，F(xiàn)BE,FDEFBEFEBBDACFE//CG因為E為BC中點，所以F為BG中點,所以O(shè)為MNf點.36.設(shè)4ABC的外接圓O上的劣弧？C的中點為K,優(yōu)弧BC的中點為S,線段AK與BC邊交于點D,點E,F分別為/\ACD,4ABD的外心.求證：A,E,QF,S五點共圓.【析】如圖，由題意知S,Q,K三點共線，下面證明S,E,C三點共線.易知SCCK,DCKECDKSCECDKACECD1802KACKAC KAC90KAC902所以S,E,C三點共線，同理S,F,B三點共線.設(shè)ADB,那么由F是ABD的外心可知BFA360 2在AQK中，AQK1802QKA1802( 90)3602在AEC中，AEC2ADC3602所以AFB AQK AEC所以AFS AOS AES所以結(jié)論得證.37.過B,C作^ABC的外接圓的切線交于D,B、B關(guān)于AC對稱，C、C關(guān)于37.過B,C作^ABC的外接圓的切線交于的外心，求證：AOBC.DBC360DBC2ABC360A2ABC2CA..… ,__'同理可得DCB2CA所以DBCDCB..__一.'''' 1'—' 又因為DB=DC且CBCBBC所以DBCDCB,DCDB,CBDBDC-一^ t t -一^ _ tt所以CDBBDC所以DBC~DCB取DBC的外心F,則DFB~DOBTOC\o"1-5"\h\z由于CAC2A2DBC2DBC COD所以CAC~COD ACCOCD, ACO CCD(AO,CD)OCDFBDFDC「ACOC z…(AO,CD)OCDFBDFDC且一T——T所以CAO~CCD,所以CCDC所以AODFBCAOBC三角形的重心三角形三條中線的交點稱為三角形的重心性質(zhì)1:設(shè)G是AD2-(AB2

2性質(zhì)2：設(shè)G性質(zhì)1:設(shè)G是AD2-(AB2

2性質(zhì)2：設(shè)G為AGGD=2:1且AC2)-BC24ABC的重心，P為ABC內(nèi)任一點，則(1)AP2BP2CP2AG2BG2CG23PG2__2_2__21.2 _2_2⑵GA2GB2GC23SB2BC2CA2)證明：(1)設(shè)D為BC邊上的中點，則對APG和DPG分別應(yīng)用余弦定理可得_2 _2 23PG2APAGPG2AGPGcosAGP,PD2DG2PG22DGPGcosDGP而AG2DG,cosAGPcosDGP,于是，AP22PD2AG22DG又因為PDDG分別是BPC的BC邊，BGC的BC邊上的中線，有2PD2PB2PC21BC2,2DG2BG2CG2-BC23PG2從而AP2BP2CP2AG2BG2CG23PG2TOC\o"1-5"\h\z“、9_2 1 2 7 1-29” 1 2 -2 1”(3)-AG2 (AB2AC2) BC2,BG2(AB2 BC2)AC24 2 4 4 2 49o1oo1o-CG2-(BC2AC2)-AB2,此三式相加整理得4 2 4_2 _2 2 1 2 _2 _2GA2 GB2 GC2 -(AB2 BC2 CA2)38.證明：以銳角三角形各邊為直徑作圓，從相對的頂點作切線，得到的六個切點共圓【析】如圖，設(shè)ABC的三邊分別為a,b,c,圓O是以BC為直徑的圓，AT切圓O于T點.(由AO垂直平分ST可知目標圓圓心在AO上，同理其他兩組也在對應(yīng)中線上，所以探究重心是可行的了)1c CC連AO在AO上取點G使得A62GO則G為ABC的重心，連結(jié)OTGT由AO-v'2b22c2a2,2 2 2 2 TG OTOG2OTOGcosTOA「 一 OT__1__1一及cosTOA,OT-a,OG-OA,OA2 3,o1,0.0o. 1.0.0o.有TG2—(a2b2c2)為定值，同理其他五個切點到G的距離的平方均為一(a2b2c2),證18 18畢..證明：任意三角形的垂心H重心G和外心O三點共線，且H32GO法1:如圖1,設(shè)M為AB中點，連結(jié)CM則G在CM上，且CG2GM連結(jié)OM則OMg直平分AB延長OGiUH，使得HG2GO,連ZCH,因為CGHMGO，所以CHG?MOG,

從而CH//OM,即CHAB,同理，AHBC,即H為垂心，命題得證法2：如圖2,作出圓O,連結(jié)AO并延長交圓O于點N,連結(jié)NBNCBHHGGO因為NBAB,CHAB,所以NB//CH,同理，NC//BH所以四邊形HBNC是平行四邊形.所以C件NB,又因為OM是ABN的中位線，所以O(shè)M:NB1:2,所以O(shè)M:CH1:2HCGOMG,GM:GC1:2CHG?MOGCGHMGO所以QG,H三點共線且HG2GO.已知^ABC的三邊BC=a,CA=b,AB=c,ADEF是△ABC的任意內(nèi)接三角形，試以a,b,c表示ADEF的三邊平方和的最小值.【析】首先，證明一個結(jié)論：若G【析】首先，證明一個結(jié)論：若G為ABC內(nèi)的任意一點,G到三邊BCCAAB的距離分別為x,y,z,則當x:y:za:b:c時,2 2 2 2 2 2、2 2 2 2 2 2、(xyz)(abc)2 2(axbycz)4Sabc所以x22，一，?，z的最小值為所以x22，一，?，z的最小值為24SABC~~2 2abc設(shè)G為DEF的重心，則由中線長公式可知GD21[2(DE2DF2)EF2],GE2-[2(DE2EF2)DF2]9 9 2 1 2 2 2GF[2(EFDF)DE]9三式相加得DE2EF2FD23(GD2GE2GF2)從G點向ABC的三邊BCACAB引垂線，垂足分別為D0,E0,F0,則DE2EF2FD23(GD02DD02GE02 2 2 2EEoGFoFFo 2 2 23(GDoGEo GFo)12sABC~ 7-2 2abc三角形的垂心三角形三邊上的高線的交點稱為三角形的垂心 ^性質(zhì)1：設(shè)H為ABC的垂心，則BHC180A,CHA180三角形的垂心三角形三邊上的高線的交點稱為三角形的垂心 ^性質(zhì)1：設(shè)H為ABC的垂心，則BHC180A,CHA180B,AHB180C性質(zhì)2：設(shè)H為ABC的垂心，則H,AB,C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心（這樣的四點組為一垂心組，且一個垂心組的四個外接圓的圓心組成另一垂心組）性質(zhì)3：設(shè)H為ABC的垂心，則①H關(guān)于三邊的對稱點均在 ABC的外接圓上②ABC,ABH,BCH,ACH的外接圓是等圓③H關(guān)于三邊中點的對稱點均在 ABC的外接圓上性質(zhì)4：在ABC中，H是垂心，L,MN分別為BCCAAB的中點，D,E,F分別為三高之垂足，P,Q,R分別是AHBHCH的中點，則L,MN,DE,F,P,QR九點共圓，稱為ABC的九點圓.41. △ABC勺外心O與垂心H的連線段的中點恰是九點圓圓心.證明：九點圓半徑是其外接圓半徑的一半.【分析】如圖，連結(jié)NPLRPRNL,PL因為NP是△ABH勺中位線，所以NP如圖，由四邊形HCXB是平行四邊形可知，A,QX三點共線1 .且Y,H,L,X四點共線，由歐拉線性質(zhì)可知PH-AHOL21_且因為PHHPTOLT,PHTLOTPHTLOTHAXTPOAABC242.設(shè)^ABC的內(nèi)切圓與邊BCCAAB分別相切于點△DEF的垂心H三點共線.D,E,F.求證：^ABC的外心Q內(nèi)心I、【析】連結(jié)AI并延長交圓O于點M連結(jié)OMdhIDOI,IH,要證O,I,H三點共線，因為IDDHIMOMOIMihdOMIIDH2rsinFEDcosFDE八 DH2rcosFDE-sinFED IDDHOIMIHD所以原命題成立.IDIMBMOMOM2cosFDEIMOIHIHD而A2RsinA 22sinAR22cosAFE2sinA243.如圖，設(shè)H為^ABC的垂心，L為BC邊的中點，P為AH的中點，過L作PL的垂線交AB于G交AC的延長線于S求證：G,B,S,C四點共圓.ACBACB.OM，OA，【析】如圖，要證 G，B，S，C四點共圓，只要證： BGS BCS，即要證： AGL由題意知PL是ABC的九點圓的直徑，考慮作出 ABC的外心Q取AB的中點M連結(jié)那么AOMACB，由九點圓性質(zhì)知： H，O，N三點共線，且N為OH中點，所以PNPNGLAOGLAGLAOMACB證畢.44.如圖，AD, BE分別是銳角 4ABC邊BC AC上的高，M是AB中點，AD, BE交于H,圓ABH使圓MDEFP,Q求證：MQEDPH^點，且交點在△ABC外接圓上.【析】分析：考慮用同一法，結(jié)合九點圓性質(zhì)延長MQ分別交圓O圓ABHT點X,U連結(jié)M所雙向延長交圓Q圓ABHT點Y,V.可以觀察出X,Y地位等同，故只需證明D,E,Y三點共線便可完成第一步： MQF口DE交點在圓O上.由垂心的性質(zhì)知圓O和圓ABH^等圓，所以MXMUMVMP所以MD2=M/?MB：MVM￥MF?MY所以^MDPAMYD所以/DPM/YDIM又因為/DPIMZDEM/DEH+ZMEH/DCH/ABH/MAH/ABH/MDHkECH/MDHZEDH/MDE所以/MDY/MDE所以D,E,Y三點共線；同理，X,D,E三點共線，所以MOTDE交點X在圓O上.設(shè)XH交圓MDEF點T,P,由九點圓的性質(zhì)知XFTH而由圓哥定理知XT?XP=XQXM則2XT?XP=XCP2XM即XH?XP=XQXU,所以點P也在圓ABHLk所以P，P'重合，證畢 .三角形的旁心與三角形的一邊外側(cè)相切，又與另兩邊的延長線相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為三角形的旁心.…一 _ 1 _ _ 1 _ 性質(zhì)1： B1AC 90 - A,BIbC BIcC - A(對于頂角B,C也有類似的式子)2 2性質(zhì)- 1 _ 1C), |a|b|c2(AC)， |a|c|- 1 _ 1C), |a|b|c2(AC)， |a|c|b-(AB).以331c「c「a1(其中，p-(abc))BC CA AB性質(zhì)3： rA rcot—cot—,rB rcot—cot—,rC rcot—cot—(其中，「a表小BC外側(cè)相切的2 2 22 22旁切圓的半徑，"Jc類推，r表示ABC的內(nèi)切圓半徑)【析】性質(zhì)：2 ：易知ADAEp, SaD|aE prA ,而SADIaESABC SBDIaFSCEIaF SABCarA，1性質(zhì)4: |bIaI1性質(zhì)4: |bIaIc(B245.如圖，OOi與。O2和△ABC的三邊所在的直線都相切， 45.如圖，OOi與。O2和△ABC的三邊所在的直線都相切， E、F、GH為切點，直線EG與FH交于點P,求證：PABC.【析】易知Q,A,O2三點共線，設(shè)。1。2交EF于點D,連QE,OiB,BD,DHQ2HQ2F, _ 1… 1一由題意知CE=CGCEG90-C,BH=BF, BHF90-B2 2OiDE180ADE180 (360DAB1(90 -A)(180…90 -BO1BE又因為180ABEBED)1_B)(90 -C)所以O(shè)1,E,B,D四點共圓， O1DB90一—_ 1_又因為PDA O1DE90-B2BHF所以A,H,P,D四點共圓所以APHADH又因為02HBO2FB O2DB90所以B,D,H,O2,F五點共圓,即有ADH O2FH,所以PA//O2F所以PABC46.如圖，QI分別為^ABC的外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段ODk.求證：△ABC勺外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑.AO彳IEBC于E,4WFBC于F,設(shè)求證：△ABC勺外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑.AO彳IEBC于E,4WFBC于F,設(shè)BCa,CAb,ABc,外接圓、旁切圓半徑分別為R「A,再作ONAB于N,由三角形外心性質(zhì)AONABD,BADOAN所以AI平分DAO,那么ROIADIDEFDEBFBEBEBD(bc)a2ac2ac2s

bca, 2 ,2acabcb2所以R aADbca證畢

.已知4ABC的內(nèi)心為I,內(nèi)切圓與BC邊的切點為D, A所對的旁心為Ia,IaD所在直線與圓I交于另一點KsH是線段IaD的中點，求證：K,B,C,H四點共圓.【析】過1A作BC邊的垂線，垂足為D',連結(jié)IK,ID,tanIDKtanD'IAK巴W「A所以cosKIDcos2IDK(bc)2—'J(bc) 'a所以KDv2r22r2cosKID型公S，即KDDHrrA.DIADH又因為——cotBD圓.證畢.aBD又因為——cotBD圓.證畢.aBDBDaD,所以BDCDr「AKDDH所以KB,C,H四點共.如圖，已知/AC屋ZCDB90，點B在CE上，且CA=CB=CQ過A、CD三點的圓交AB于點F.求證：F為^CDE勺內(nèi)心.A證明：連CRDFBD.AC=CB/ACB=90/BAC=ZCAB=45,，ZCDF=ZCAF=45，但/CDE=90,，DF是/CDE勺角平分線.CB=CDZCBD=/CDB但/CBF=ZCDF=45,?.ZFBD=/FDBBF=DR又.CB=CDCF=CF,BF=DF,?.ACBF^△CDF/BCF=/DCF即CF是/ECM平分線.F是4CDE勺內(nèi)心..△ABC勺外心為O,AB=ACD是AB中點，E是△ACM重心.證明：OE±CD證明：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F,E必在DF上且DEEF=2：1.設(shè)CD交AM于G,G必為△ABC1心.連GEMFMF交DC于K.…__ 1__.1 1易證：DGGK=-DC(——)DC=2：1...DGGK=DEEFGE/MF3 23OD±ABMF//AB,，OD1MFOD±GE但OG±DEG又是△OD叱垂心.易證OELCD. 4ABO一個銳角三角形， 過頂點B與外心O的一個圓分別與 BC BA交于點P, QPwB, gB).求證：？OPQ勺垂心在直線AC上.證明：作ODLPQ交PQT點D,交直線AC于點H連PH延長QO^PH于點E,連OAOBOCB,P,O,Q共圓 POE=QBP=ABC.OQP=OBP=90—BAC1OPQ=OBQ=90—qAOB=90—ACBPO屋ACBP,QH,C共圓.OPH=OCH=OCA=90—ABCOPE-POE=90 PHLQE即PH是OCfe上白^高.從而H為？OPQ勺垂心.Q分別是51.在平行四邊形ABCDAv90）的邊BC上取點T使得？ATD是銳角三角形.令Q分別是?ABT?DAT?CDT勺外心.求證：三角形OQQ的垂心位于直線AD上.證明：作OHI±QO,交AD于點H,連QHOH連OAOT,OD,OA,ODO,Q都在AT的中垂線上，故OQ是AT的中垂線.同理，QQ是DT的中垂線.如圖位置有OOQ=180—ATDQOQ+OQQ=180—OQQ=ATD①又OH//TD（都與QQ垂直），AHO=ADT又，AOO=ADT=AHOA,H,O,O共圓.AOQ=TOQ=B.AHO=180—AOQ=180-B=C=OOD.H,Q,O,D共圓.??.HOQ=HDO=90—ATD②由①②，QOO+HOO=OOO+OQO+HQC2=90QHLOQ.

五、等角共輾等角共鈍AD的垂52.已知EF是圓內(nèi)接四邊形ABCD寸邊ARCD勺中點，M是EF的中點，自E點分別作BC線，垂足記為P、Q證明：M展AD的垂先證明一個引理：l“光設(shè)P、Q是l真心同側(cè)的兩點，點A在直線l上，則稱PA+PQ的最小值為P、Q兩點關(guān)于直線路和”，即P與Q關(guān)于直線l的對稱點Q洞的距離l“光設(shè)ARAQ是/AOB勺一對等角共軻線，則P、Q關(guān)于OAOB光路和相等.證明：如圖分別作出P關(guān)于OAQ關(guān)于OB的對稱點P。Q。則P、Q關(guān)于OA光路和為PQ,P、Q關(guān)于OB光路和PQ。易證△POQ陛△POQ,則PQ=PQ.即P、Q關(guān)于OAO班路和相等證明：點F、E關(guān)于BCAD兩邊的X搟^點PCQ￡延長ADBC交于點K,由△KAEB^△KCD是KEKF是相似三角形的對應(yīng)中線，KEKF關(guān)于/K的等角共軻線， FP黑F、E關(guān)于BC

“光路和"， FQ或F、E關(guān)于BC“光路和”，由引理知FP0FQCMF1FQC MQ=1FPC，Mf=MQ2 2等角共鈍點53.如圖，P、Q是△ABC勺等角共軻點(/PAB/QAC/PBB/QBA/PCB/QCA證明：AP?AQ?BGBP?BQ?AGC?CQAB=AB-BC*CA證明：設(shè)D是射線AQ上的點，且使得/AC?/APB又因為/APB>ZACB,則點D必在△ABC7卜部,/PAB/CAD???△AP%△ACD故兀二不二不(1)AB蛙A//aHL-AB蛙.由/QABZPAC而二不可知△AB5△APCAS四抑,則 1./CDA/PBA：/QBCB、QCD四點共圓，心A&留（4）由托勒密(Ptolemy)定理，有BCDRBQ*CD-BDCQ心A&留（4）Bf'ACCP'AS由式（1）、式（2）,CD=f—、即4?將（4）中各式代入式（3）,得Aff■AC)丁一川即AP*AQ*BGBP*BQ*AGCPCQAB=AB?BCCA

.設(shè)P是△ABS任一點，O、Oa、Ob、Oc分別是△ABCAPBCAPCA^PAB的外心.證明：QP關(guān)于△OaObOc是一對等角共軻點證明：如圖，聯(lián)結(jié)0A0、ObO、OcO,0AB、0AP、oacABC AAA則OaB=OaP=OaC.因為Oa、0均在BC的中垂線上，所以O(shè)aO平分DBOaC,令？POaOca,?POaObb,?OOaOba￡則？BOaOca,?COaObb,故2a+(b-a)=a+b,2a=2a。??a=a德表明0AP、0A0關(guān)于DObOaOc是等角線，同理，另兩角也如此，即OP關(guān)于V0A0B0C是一對等角共軻點..點P在AABB卜角平分線上的射影分別為S、S、S3,在內(nèi)角平分線上白寸影分別是工、T2、飛.證明： S1T1、S2T2、S3T3三線共點 .證明：過點A作SI的平行線AQ因為四邊形PGA］是矩形，所以DQAT1=DPS1T1=DPAT1,這表明，此平行線即為AP的等角線.記矩形PSA1的中心為Oi,并取點P關(guān)于△ABC勺等角共軻點Q則由中位線性質(zhì)，知S1T1平分線段PQ即ST1經(jīng)過PQ的中點M同理S2T2、S3T3也經(jīng)過點M因此M即為這三線所共的點..設(shè)O是4ABC的外心，K是^BOC的外心，直線AB,AC分別交^BOC的外接圓于另一點M,N,L是K關(guān)于直線MN的對稱點.求證：ALBC.【析】易知 MOAC,NOAB，所以。為4AMN垂心，ZXOMN與4AMN外接圓為關(guān)于MN對稱的等圓.由K為△OMN的外心，知 L為△AMN的外心，于是 AO,AL為等角線.。為4ABC外心，故ALBC..△ABC的內(nèi)切圓eI與三邊相切于D,E,F,AD交el于點L,DE的中點為N,N關(guān)于AD的對稱點為M.求證：LMC90o.【析】延長MN及LE交于點P,由EPN90PLD90 DEC ECN知E,P,C,N共圓，從而 CPE90.又LC為△LDE的陪位中線，M,N關(guān)于LD對稱，故 CLE NLDMLD，MLCDLEDECMPC，于是M,L,P,C四點共圓，LMC180CPE90..設(shè)A是4ABC的BC邊上的中點，A是BC邊上另一點（異于端點），令BAAiAAA2 ,A2AC ，則 的充要條件是分別過B,C點的△ABC的外接圓的兩切線的交點P及4、A三點共線.證明則由充分性.如圖，當證明則由充分性.如圖，當P,a,A三點共線時，設(shè)直線AP與eABC交于點△PBDs^pab,△PCDs^pac,有BDPBPCCD ,一一一一，即有ABCDBDAC.ABPAPAAC對四邊形ABDC應(yīng)用托勒密定理，有ABCDBDACBCAD,即有2ABCD2BAAD,亦即-AB-竺.BAiCD注意到ABA, ADC,則知^AB^s△ADC,從而BAA1 A2AC,故必要性.如圖，當時，設(shè)直線AA2交4ABC的外接圓于D,聯(lián)結(jié)BD,DC,則由△ABAis-ABAD△ADC,有————，必要性.如圖，當時，設(shè)直線AA2交4ABC的外接圓于D,聯(lián)結(jié)BD,DC,則由△ABAis-ABAD△ADC,有————，即2ABDC' BA1DC2BAADBCAD,亦即ABDCABDCBCAD.又對四邊形ABDC應(yīng)用托勒密定理，有ABD于是，ABDCBDAC.運用三角形正弦定理，有sinADBsinDBC延長BD交PC于點E,延長CD交BP于點F從而，有sinADBsinDCEsinDBFsin由于CBDACBCAD.sinBCDsinADC,貝UBCD DBF,ADC.CA2BFPESADCA2SABDCS\PDBA2BFPECSADA2BSACDPSABDCDCsinADCBPBDsinDBFBDsinADBCDCPsinDCEDCEDBC.(*)注意到（*）式及PBPC,則CA2BFFE1.A2BFPEC由塞瓦定理的逆定理，知A2P、BE、CF三線共點于D,即知直線A2P與AA2重合.故P、A2、A三點共線.注：其必要性也可這樣來證：如圖，由BAAi CAA2及A為BC中點，直線AA2交圓于D,由充分性中證明，知四邊形滿足條*AB件——BDACDC(**)設(shè)過B的切線與直線AD交于P,過C的切線與直線AD交于F2.由△ABPs△BDPi,有ABBDBP1空DP1BP于是同理AB2BRAPAPBD2DRBRDRAC2AP2DC2DP2.注意到（**）式有APAP2從而即注意到（**）式有APAP2從而即DP1APDP1DPAP2DP2DP2ADADDPDP2從而P與P2重合，亦與P重合.故A、A2、P三點共線..設(shè)A” A2是4ABC的BC邊上（異于端點） 的兩點，令 BAAi , AAA2 , A2AC ,則的充要條件是4AAA2的外接圓與^ABC的外接圓內(nèi)切于點A.證明充分性.如圖，當兩個外接圓內(nèi)切于點A時.過A作兩圓的公切線AT,設(shè)△AA1A2的外接圓分別與A