新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題

新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題資料僅供參考文件編號：2022年4月新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：新人教版初一下冊數(shù)學(xué)實際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題經(jīng)典例題透析類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米

總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度＝靜水中的速度＋水速船逆流速度＝靜水中的速度－水速類型二：列二元一次方程組解決——工程問題

2．一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元(2)已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少

思路點撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元。設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.舉一反三：

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

3．有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元

思路點撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤＝進價×利潤率舉一反三：

【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價—進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題

4．小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為％的教育儲蓄，另一種是年利率為％的一年定期存款，一年后可取出元，問這兩種儲蓄各存了多少錢（

利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）總結(jié)升華:我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：

【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息元.已知兩種儲蓄年利率的和為%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾（

注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）

思路點撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息

金額×20%）.不扣稅時：利息=本金×年利率×年數(shù).類型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問題

5．某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三：

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子

思路點撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：①制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；②制盒身個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù).【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題

6.某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

思路點撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加%，農(nóng)村人口增加%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

思路點撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：

（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬；

（2）城鎮(zhèn)人口×(1+%)+農(nóng)村人口×（1+%）=42×（1+1%）類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題

7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達到了原來的倍、倍，恰好按時完成了這項任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？

思路點撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。

舉一反三：【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議．號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動．【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

思路點撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點語句，第一句：每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。

類型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題

8.兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。

思路點撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x＋y問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y＋x舉一反三：

【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？

【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？

類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題

9．現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？

思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和＝混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。

總結(jié)升華：此題的第（1）個相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)。

舉一反三：

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

思路點撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。

【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成%的農(nóng)藥800千克？

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

10．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。

總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

思路點撥：此題隱含兩個可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？

類型十一：列二元一次方程組解決——年齡問題

11．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。

總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）。

舉一反三：

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

思路點撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。類型十二：列二元一次方程組解決——優(yōu)化方案問題：

12．某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上