河北省衡水市安平中學(xué)2023屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)相等的是A. B.C. D.2．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝()A. B.－C. D.3．命題“任意，都有”的否定為（）A.存在，使得B.不存在，使得C.存在，使得D.對(duì)任意，都有4．已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.55．若點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，則（）A. B.C. D.6．已知向量，，則A. B.C. D.7．角的終邊落在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．2019年7月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿(mǎn)足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約（）年到5730年之間？（參考數(shù)據(jù)：，）A.4011 B.3438C.2865 D.22929．已知：，：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．對(duì)于函數(shù)，有以下幾個(gè)命題①的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，②在區(qū)間遞增③的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，④最小正周期是則上述命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.311．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角等于A. B.C. D.12．如下圖所示，在正方體中，下列結(jié)論正確的是A.直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角是 B.直線(xiàn)與平面所成的角是C.二面角的大小是 D.直線(xiàn)與平面所成的角是二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則__________14．已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍15．某班有39名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參見(jiàn)數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有多少人__________.16．在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑(bienao).已知在鱉臑中,平面,,則該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為_(kāi)___三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的取值；（2）方程在上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.18．已知函數(shù)（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）令，若對(duì)，，都有成立，求實(shí)數(shù)取值范圍19．已知函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，相鄰的兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為求的解析式若，且，求a的值20．已知函數(shù).（1）若在上的最大值為，求的值；（2）若為的零點(diǎn)，求證：.21．已知向量=(3，2)，=(-1，2)，=(4，1)（1）若=m+n，求m，n的值；（2）若向量滿(mǎn)足(-)(+)，|-|=2，求的坐標(biāo).22．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，求的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】分別化簡(jiǎn)每個(gè)選項(xiàng)的解析式并求出定義域，再判斷是否與相等.【詳解】A選項(xiàng)：解析式為，定義域?yàn)镽，解析式不相同；B選項(xiàng)：解析式為，定義域?yàn)?，定義域不相同；C選項(xiàng)：解析式為，定義域?yàn)椋x域不相同；D選項(xiàng)：解析式為，定義域?yàn)镽，符合條件，答案為D.【點(diǎn)睛】函數(shù)相等主要看：（1）解析式相同；（2）定義域相同.屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】因?yàn)閏os＝－，即cos＝－，所以sin＝－，則sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故選B.3、A【解析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題，改量詞，否結(jié)論，即得答案.【詳解】命題“任意，都有”的否定為“存在，使得”，故選：A4、B【解析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.5、A【解析】利用結(jié)合斜率公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?、、在同一直線(xiàn)上，則，即，解得.故選：A.6、A【解析】因?yàn)椋蔬xA.7、A【解析】根據(jù)角的定義判斷即可【詳解】，故為第一象限角，故選A【點(diǎn)睛】判斷角的象限，將大角轉(zhuǎn)化為一個(gè)周期內(nèi)的角即可8、A【解析】由已知條件可得，兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得答案【詳解】因?yàn)樘?4的質(zhì)量是原來(lái)的至，所以，兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)得，所以，所以，則推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間.故選：A.9、C【解析】求解不等式化簡(jiǎn)集合，，再由題意可得，由此可得的取值范圍【詳解】解：由，即，解得或，所以或，，命題是命題的必要不充分條件，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C10、C【解析】先通過(guò)輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，函數(shù)周期，④正確；，①錯(cuò)誤；，③錯(cuò)誤；由，②正確.故選：C.11、B【解析】取的中點(diǎn)，則由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可得平行且等于的一半，故或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，故為等邊三角形，故∠EGH=60°考點(diǎn)：空間幾何體中異面直線(xiàn)所成角．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線(xiàn)所成的角的定義和求法，找出兩異面直線(xiàn)所成的角，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．取的中點(diǎn)，由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可得或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成的角．判斷為等邊三角形，從而求得異面直線(xiàn)與所成的角的大小12、D【解析】選項(xiàng)，連接，，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，故錯(cuò)；選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?故為直線(xiàn)與平面所成的角，根據(jù)題意；選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?所以，故二面角的平面角為，故錯(cuò)；用排除法，選故選：D二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13、【解析】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=故答案為14、（1）30（2）或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得中元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)，可分和兩種情況討論，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，共有5個(gè)元素，所以的非空真子集的個(gè)數(shù)為【小問(wèn)2詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得：或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是或15、【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，根據(jù)容斥原理可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為，因?yàn)槊棵瑢W(xué)至多參加兩個(gè)小組，所以同時(shí)參加三個(gè)小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：.16、【解析】M﹣ABC四個(gè)面都為直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，從而可得MC=2，那么ABC內(nèi)接球的半徑r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2解得：r=2-∵△ABC時(shí)等腰直角三角形，∴外接圓半徑為AC=外接球的球心到平面ABC的距離為=1可得外接球的半徑R=故得：外接球表面積為.由已知，設(shè)內(nèi)切球半徑為，，，內(nèi)切球表面積為，外接球與內(nèi)切球的表面積之和為故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線(xiàn)上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(xiàn)，這樣兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，就是其外接球的球心.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17、（1）2，（2）或（3）存在，【解析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可求得答案；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在上只有一個(gè)交點(diǎn).由函數(shù)的單調(diào)性和最值可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其對(duì)稱(chēng)軸，分，，討論函數(shù)的最小值，建立不等式，求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由得.令，解得，∴函數(shù)的最大值為2，此時(shí)；【小問(wèn)2詳解】解：方程在上有且有一個(gè)解，即函數(shù)與函數(shù)在上只有一個(gè)交點(diǎn).∵，∴.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，.∴或；【小問(wèn)3詳解】解：由（1）可知，∴.實(shí)數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都存在，使得成立，即成立，令，其對(duì)稱(chēng)軸，∵，∴①當(dāng)時(shí)，即，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴；③當(dāng)，即時(shí)，，∴.綜上可得，存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)，的取值范圍是.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由單調(diào)性定義證明；（2）換元，設(shè)，，由（1）求得的范圍，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值和最小值，由最大值減去最小值不大于可得的范圍【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，，且，則，當(dāng)時(shí)，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】解：由題意知，令，，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以，，又∵對(duì)，，都有恒成立，∴，即，解得,又∵，∴k的取值范圍是19、（1）；（2）或【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)稱(chēng)中心的距離求出周期和和的值即可；根據(jù)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)性進(jìn)行求解即可【詳解】圖象相鄰的兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為，即，則，即，圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為，∴，則，，即，∵，∴，∴，即，則，即函數(shù)的解析式為，若，則，即，即，∵，∴，∴或，即或【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）2；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）易知函數(shù)和在上遞增，從而在上遞增，根據(jù)在上的最大值為求解.（2）根據(jù)為的零點(diǎn)，得到，由零點(diǎn)存在定理知，然后利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)和在上遞增，所以在上遞增，又因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋?，解得；?）因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，即，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，而，令，所以，所以成立，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證成21、（1）；（2）=(2，3)或=(6，5).【解析】（1）利用向量線(xiàn)性坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示以及向量模的坐標(biāo)表示列方程組即可求解.【詳解】解：（1）若=m+n，則(4，1)=m(3，2)+n(-1，2)即所以（2）設(shè)=(x，y)，則-=(x-4，y-1)，+=(2，4)(-)(+)，|-|=2解得或所以=(2，-3)或=(6，5)22、（