固體物理學(xué)-答案

《固體物理學(xué)》習(xí)題解答黃昆原著韓汝琦改編

(陳志遠(yuǎn)解答，僅供參考)第一章晶體結(jié)構(gòu)1.1、解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積鯨得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，x=口Vc(1)對于簡立方結(jié)構(gòu)：(見教材P2圖1-1)a=2rV”nr3，Vc=a3，n=1344—nr3_nr33_Jn=0.52a38r36，..x(2)對于體心立方：晶胞的體對角線BG=4：a=4rn43(1)對于簡立方結(jié)構(gòu)：(見教材P2圖1-1)a=2rV”nr3，Vc=a3，n=1344—nr3_nr33_Jn=0.52a38r36，..x(2)對于體心立方：晶胞的體對角線BG=4：a=4rn43a=x3n=2,Vc=a32x冬兀r3_3a34^3(r)33(3)對于面心立方：晶胞面對角線BC=&a=4r,na=2&rn=4,Vc=a344x—nr3x=a34_MWnQ0.746(2%''2r)3(4)對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6xSAABO晶胞的體積：V=SxC=?3a2x-a=32a3=24Mr3n=1212x1+2x1+3=6個646xnr3_3x—.—24u2r3(5)對于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對角線BG=J；a=4x2rna=絲n=8,Vc=a38x—nr38x~nr333x=a3ST'偵3nq0.346NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個正四面體?！?.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。-a,二，廠、

七=2(j+k)a--證明：(1)面心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)：Ja=—3+k)2-a--a3=2(E)由倒格子基矢的定義：b2n(—x—)1Q23aa0,——?—?—?22i,j,k―---、aaa3aaa2——-,/Q=a-(axa)=—,0,—=，axa=,0,——=—(-i+j+k)12322423224aaaa,,0,,02222-4a2---2n---b=2兀x—x—(一i+j+k)=(一i+j+k)2兀---b=一(i-j+k)2同理可得：a即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。2丸---b=一(i+j-k)a所以，面心立方的倒格子是體心立方。a---a=一(-i+j+k)(2)體心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)：J—=a(i-j+k)2a---a3=2(i+j-k)-2n由倒格子基矢的定乂：b=——(—x—)1Q23

aa—,,22aa?/Q=a-(axa)aa—,,22aa?/Q=a-(axa)=,—12322aa,,22a2——i,—j,——kaa3--aaa—=，axa=,—,—2223222aaaa—,,—2222a2--=一(J+k)2b=2兀x—x—(J+k)=(J+k)2兀--b=一(i+k)2同理可得：a即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。2兀--b=一(i+J)3a所以，體心立方的倒格子是面心立方。^^fcfc1.5、證明倒格子矢量G=hb+hb22+hb垂直于密勒指數(shù)為(hhh)的晶面系。33123X￡HWI_[H7因?yàn)镃A=hhCBahG=hb+因?yàn)镃A=hhCBahG=hb+hb+hb容易證明"1方2容易證明"1方2”3—-由倒格子基矢的定義：b1————axa—-—-—-。?-axa——axa—xa3——axa——a、-a—-由倒格子基矢的定義：b1————axa—-—-—-。?-axa——axa—xa3——axa——a、-a——a-a—xa123一2兀一倒格子基矢：b=四i,b1a22兀一—j,a倒格子矢量:一1111G=hb+kb+lb，G1231122331231?6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為(h,k,l)的晶面系，面間距d滿足：d2=a2j(h2+k2+12)，其中a為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格:

a2d2=(h2+k2+l2)面指數(shù)越簡單的晶面，解理。其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易晶面族（hkl）的面間距:2兀1.9、畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。晶面族（hkl）的面間距:2?！猒^—*?1、（111）面與（100）面的父線的AB，AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢：RB=-aj+ak，*?_—（111）面與（100）面的交線的晶向AB=-aj+ak，晶向指數(shù)［011］。R=-ai+aj，(111)面與(110)B2、（111）面與（110）面的交線的ABR=-ai+aj，(111)面與(110)B面的交線的晶向AB=-ai+aj，晶向指數(shù)［110］。第二章固體結(jié)合2.1、兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（a=2ln2）和庫侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為2N。〈解〉設(shè)想一個由正負(fù)兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負(fù)離子取負(fù)號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有，(±1)1111-―-=2[—-—+一-—+...]rr2r3r4r前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€相等距離^?的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2,馬德隆常數(shù)為11a=2［1-一+一一一+...］34

[(1+x)=x-E+蘭-蘭+...nx34當(dāng)X=1時，有1--+--1+...=02234n2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為aPu（r）=-;+二試求：（1）平衡間距r0；結(jié)合能W（單個原子的）;體彈性模量；(4)若取m=2,n=10,=4彳，計算a及p的值。(4)若取m=2,n=10,=4彳，計算a及p的值。解：（1）求平衡間距r0由血（r）

dr=0，有:manP=0nr=由血（r）

dr=0，有:manP=0nr=0/ma、1m-nrnP)rm+1—rn+1<np/=ima)r=r000.結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能w（單個原子的）題中標(biāo)明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時，晶體的勢能，即U.min即：w=-U(r)=+—-—（可代入r0值，也可不代入）rmrn（3）體彈性模量由體彈性模量公式:r2

—0—

9V0(4)m=2，n=10，=3A，w=4eV，求a、pr=0r:l2a).18=r業(yè)1la)J8①a=—r20+r10=-4a5r20(r8=5p_anW=-U(r)=4a5r2=4eV②代入）00U(r0)將r0=3A，1eV=1.602x10項J代入①②a=7.209x10-38n-m2nP=9.459x10-115N-m2（1）平衡間距r0的計算+P)rn晶體內(nèi)能U(r)=N(-a2rm平衡條件虬=0，-drr=r0（2）單個原子的結(jié)合能ma+rm+10也=0，r=(業(yè))n-mrn+10ma0W=-1u(r)，u(r)=(200a一—+rm旦)，r=(nP己rn0ma(1m)(nP)~nmaa2U(3)體彈性模量K=(av_.V晶體的體積V=NAr3,A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能U(r)=—(一—+°-)2rmrndUdUdrNmanP1dVdrdV2rm+1rn+13NAr2TOC\o"1-5"\h\zd2UNdrd[(manP)1〕aV22aVarrm+1rn+13NAr2d2UN1[m2an2PmanP〕aV229V2rmrnrmrnv=v000000,au由平衡條件竺avnP1)rn+13NAr20，得ma=nPrmrna2UV=V0N21m2a「+淄]rn0a,au由平衡條件竺avnP1)rn+13NAr20，得ma=nPrmrna2UV=V0N21m2a「+淄]rn0av29V20[一rm0a2U_N1ma「…nPNnm「aP[—m+n]=—[—+av229V2rmrn29V2rmrnV=V000000V=V00U=N—(a——+旦）02rmrn00a2Umn(-U0)av29V2V=V00ng()n-m,ma2nmaWr10,a=r2[史+2W]200r100g=1.2x10-95eV-m10,a=9.0x10-19eV-m22.6、bcc和fccNe的結(jié)合能，用林納德一瓊斯(Lennard—Jones)勢計算Ne在bcc和fcc結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值.＜解＞u(r)=4＜解＞u(r)=48_bl_(r)12-(b_r"J,u(r)=1N(48)2A(b)12-A(b)6nrlr(y:kr)=0nrr6=20A12A6■b6nu=-1A2N8―6-12bcc=??fccu(r0)fA2A'12.252/9.11AA'14.452/12.131212=0.9572.7、對于H，從氣體的測量得到Lennard—Jones參數(shù)為8=50x10-6j,b=2.96A.計算fcc結(jié)構(gòu)的H的結(jié)

合能［以KJ/mol單位)，每個氫分子可當(dāng)做球形來處理.結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJ/mol，試與計算值比較.〈解＞以H2為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動能，分子間按Lennard-Jones勢相互作用，則晶體的總相互作用能為：U=2N8sP-12(b]12-sP-6(b]6Li??jkR)ijjkR)S'P-6=14.45392;E'P-12=12.13188,8=50x10-16erg,b=2.96A,N=6.022x1023/mol.ji將R0代入U得到平衡時的晶體總能量為U=2x6o022x1028/molx50x10-16erg將R0代入U得到平衡時的晶體總能量為U=2x6o022x1028/molx50x10-16ergx12.13)"2.963.16\127-(14.45)(2.96\6因此，計算得q-2.55KJ/mol.I3.16)第三章固格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

3.1、已知一維單原子鏈，其中第j個格波，在第n個格點(diǎn)引起的位移為，日.=a.sin（①t_naq+a.）,c.為任意個相位因子，并已知在較高溫度下每個格波的平均能量為，具體計算每個原子的平方平均位移?！唇狻等我庖粋€原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即njjjni=42+Z…*njninj由于日.日數(shù)目非常大為數(shù)量級而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項與第一項相比是一小量，可njnjjjni=42+Z…*njninj由于日.日數(shù)目非常大為數(shù)量級而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項與第一項相比是一小量，可njnj以忽略不計。所以日2=￡日2nnjj由于日.是時間t的周期性函數(shù)，其長時間平均等于一個周期內(nèi)的時間平均值為口2=—jT0a2sin(①t+naq+a)dt=—a2(2)jt0jjjj2j(d日—P—nI(d日—P—nIdtdt=~LjT°a2sin(wt+naq+a)dt=—pw2La22T°jjjj4jj其中L是原子鏈的長度，p使質(zhì)量密度，T°為周期。所以T=Lpw2La2=~KT（3）nj4jj2因此將此2）式有口2=^~njPLw2j所以每個原子的平均位移為口2==￡口2=￡—工=旦￡—n「nj「PLw2PL「w23.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當(dāng)M=m時與一維單原子鏈的結(jié)果對應(yīng)。質(zhì)量為m的原子位于2n，2n+2，2n+4解：質(zhì)量為M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3牛頓運(yùn)動方程設(shè)方程的解質(zhì)量為m的原子位于2n，2n+2，2n+4牛頓運(yùn)動方程設(shè)方程的解P2n=Aei[wt-(2na)q]mpi=-P(2日-日-日)Mp=-P(2p-p-pN個原胞，有2N個獨(dú)立的方程代回方程中得到pi2n+1=Bei[wt-(2n+1)aq](2P-mw2)A-(2Pcosaq)B=0-(2Pcosaq)A+(2P-Mw2)B=0A、B有非零解，2P-mo2一2Pcosaq一2Pcosaq=0，則o2=A、B有非零解，2P-mo2一2Pcosaq一2Pcosaq=0，則o2+兩種不同的格波的色散關(guān)系八(m+M)o2+兩種不同的格波的色散關(guān)系p{1+[1-()-sin2aq]2}八(m+M)4mM1p{1—[1sin2aq]2}mM(m+M)2一個q對應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N.，當(dāng)M=m，當(dāng)M=m兩種色散關(guān)系如圖所示:長波極限情況下qT0，sin(—)-—，22o=(2q與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯地為p和10p，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為o=(2q與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯地為p和10p，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為a!2。試求在q=0,q=兀a處的o(q)，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如H2這樣的雙原子分子晶體。答：(1)淺色標(biāo)記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3；深色標(biāo)記原子位于2n，2n+2，2n+4第2n個原子和第2n+1個原子的運(yùn)動方程：mp/2nmp*2n+11=—(P+P)p+Pp+PP=-(p+p)p+pp+pp有2N個獨(dú)立的方程體系N個原胞方程的解：P2+Ai[ot—(2n)aq]，1i[ot—(2n+1)aq]=Be2+1o2=p/m，將解代入上述方程得:TOC\o"1-5"\h\z1,1(?2+?2-?2)A—(?2e2的+?2e-2的)B=01212,41(?2e「'2aq+?2e2四)A—(?2+?2—?2)B=01212A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：(①2+ro2—①(①2+ro2—①2),121+ro2e一'2四)21(ro2e一’2a1—(ro12+ro22—ro2)1(ro2+ro2—ro2)2—(ro2e2的121++ro2e—'2aq)(ro2e1

—iaq2.士+ro2e2aq)=02TOC\o"1-5"\h\z4-，+4-,+(ro2+ro2—ro2)2—(ro2e2a+ro2e12a)(ro2e12a+ro2e2a)=0121212因?yàn)镻=P、P=10p，令ro2=ro2=—,ro2=!2f=10ro2得到1201m2m0(11ro2—ro2)2—(101+20cosaq)ro4=0兩種色散關(guān)系：ro2=ro2(11土20cosqa+101)0■'當(dāng)q=0(11ro2—ro2)2當(dāng)q=0時，ro2=ro2(11±.：121)，ro=+ro=0當(dāng)q=一時，ro2=ro2(11土.!81)，ro20roro(2)色散關(guān)系圖：-…一'3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動在q=0附近的長波極限有ro(q)=ro0—Aq2V14兀2a3/2求證：f(ro)=(ro-ro)1/2,ro<ro;f(ro)=0,4兀2a3/2〈解〉ro>ro時，ro—ro=Aq2>0f(ro)=0,ro<0nro—ro=Aq2nq=A2(ro—〈解〉ro>ro時，ro—ro依據(jù)Vro(q)=—2Aq,f(ro)=j(2兀)3d，Vro(q)并帶入上邊結(jié)果有f(ro)=VdS

.(2兀)3Vqro(q).上4兀(3-ro)—=^.—(ro-ro*(2兀)32A2f(ro)=VdS

.(2兀)3Vqro(q)03.8、有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與T2。證明：在k到k+dk間的獨(dú)立振動模式對應(yīng)于平面中半徑n到n+dn間圓環(huán)的面積2兀ndn，且L252兀ndn=kdk=2兀kdk即p（撬=空、d①則+e力①/k^T—13s(kT)3jT一0時，E￡力①/k^T—13s(kT)3『BJ，ex—13.9、寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為F=U0+kTE/q證明:量子諧振子的自由能為F=U+kT￡力①\

qkTB經(jīng)典極限意味著（溫度較高）kBT□應(yīng)用ex=1一x+x2+...^w—

一q所以ekBT=1—+...因此F三U+￡1力wq+￡"qq其中u=u+￡-nwQ3.10、設(shè)晶體中每個振子的零點(diǎn)振動能為1nw，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動能。2證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能E0就是各振動模零點(diǎn)能之和。w13UE0=jwmE0(w)g(w)dw將E0(w)=-nw和g(w)=-一—w2代入積分有s3V9E0=K7①m4=8枇wm'由于nw=ko得e9八8Nk0一股晶體德拜溫度為?102K，可見零點(diǎn)振動能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬.3.11、一維復(fù)式格子m=5x1.67x10-24g,M=4,P=1.5x101N/m(即1.51x104dyn/cm),求(1)，光學(xué)波w0,w0，聲學(xué)波wA。maxminmax（2）相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。(3)在300k時的平均聲子數(shù)。(4)與oo相對應(yīng)的電磁波波長在什么波段。〈解>(1),〈解>(1),OAxm2x1.5x104dyn/cm4x5x1.67x1024=3.00x10311s-2P(M+m)2x1.5x104x(4x5+5)x1.67x1024dyn/cmOmax=￥Mm—*4x5x1.67x1024x5x1.67x1024=$7°S'2P12x1.5x104dyn/cmO：ax=\；5x1.67x1024=5."x1013S-1力oa=6.58x10-16x5.99x1013s-1=1.97x10-2eVmax力o。=6.58x10-16x6.70x1013s-1=4.41x10-2eV力o。=6.58x10-16x3.00x10"s-1=3.95x10-2eVmin一1一1nA==0.873,no==0.221maxehoA/kT-1maxehoo/kT-1maxBmaxB(4)nomin=0.276ehoOin/kBT-12兀c=28.1日mo第四章能帶理論4.1、根據(jù)k=±生狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與E(4)nomin=0.276ehoOin/kBT-12兀c=28.1日mo第四章能帶理論4.1、根據(jù)k=±生狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與E及E,相應(yīng)的波函數(shù)w及甲+?，并說明它們的特性.說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布W2說明能隙的來源(假設(shè)V=V*)。nn〈解>令k=+—,k'=-—,aa-E0(k)-E]A+V*B=0VA+[E0(k，)-E]B=0取E簡并微擾波函數(shù)為w帶入上式，其中e=E0(k)+VIV(x)<0,V<0,從上式得到B=-A,于是(X)-W:⑴]=2A=^=sin取E=E,E=E0(k)—VIVIa=-VB，得到UA=Be，"e弋x*cos虬x41aA(x)-w\(x)J=^JL4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=L2,3)中，簡約波數(shù)上=—的。級波函數(shù)。2a〈解＞W(wǎng)*(x)=—^eikx=4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=L2,3)中，簡約波數(shù)上=—的。級波函數(shù)。2a〈解＞W(wǎng)*(x)=—^eikx=imxe,kxea4-

m+)x4第一能帶:m.—=0,m=0,V4(x)

2ak1/xe2a第二能帶:,2丸b=b'則Z?'—Z?,m?—a271an,即m1,(ea=e一2a)\\f*(x)=——kVL1if

elaix€2a271271an1第二能帶:c—c,m■=，即m=1,V*(x)=kJi4.3、電子在周期場中的勢能.ix€2a第二能帶:—hie2fj2-(x-na)2，當(dāng)na-b<x<na-\-b2L」YV(x)=0，當(dāng)(n-1)a+b<x<na-b其中d=4b,①是常數(shù).試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度.<解>①題設(shè)勢能曲線如下圖所示.

<解>①題設(shè)勢能曲線如下圖所示.(2)勢能的平均值：由圖可見，V(x)是個以a為周期的周期函數(shù)，所以V(x)=—JV(x)=1faV(x)dx=-卜“V(x)dxLlaba-b題設(shè)a=4b，故積分上限應(yīng)為a-b=3b，但由于在［b,3b］區(qū)間內(nèi)V(x)=0，故只需在［-b,b］區(qū)間內(nèi)積分.這時，n=0，于是TOC\o"1-5"\h\z—1bm④2fbm④2V=—JV(x)dx=J(b2-x2)dx=a-b2a-b2a1b2xb一—x3b-b3一b1=—m④b2。6(3)，勢能在［-2b,2b］區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù),VcosJx,V=一f2bV(x)cosJxdx=1b2xb一—x3b-b3一b1=—m④b2。6第一個禁帶寬度Egi=2VI,以m=1代入上式，E=fb(b2一x2)第一個禁帶寬度Egi利用積分公式fu2cosmudu~~［(musinmu利用積分公式fu2cosmudu~~［(musinmu+2cosmu)］一sinmu得E=16m①2b2第二個禁帶寬度E=2VI,以m=2代入上式，代入上式gi兀3g22E=冬fb(b2-x2)cosdx再次利用積分公式有E=切竺b2g2b0bg2兀24.4、解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方。(1)如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：—^—^Es(k)=￡―J-ZJ(R)e-ik.(%)Rs=近鄰在面心立方中，有12個最近鄰，若取Rm=0，則這12個最近鄰的坐標(biāo)是：a(1,1,0),a(1,1,0),a(1,1,0),a(1,1,0)TOC\o"1-5"\h\z2222一aa—a—a——一(0,1,1),—(0,1,1),—(0,1,1),—(0,1,1)2222a(1,0,1)a(1,0,1),a(1,0,1),a(1,0,1)2222__由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分相同，因此J(R)有相同的值，簡單表示為J［=J(R)。S1S又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即9(-r)=9(r)

rraa1a八a￡一J一2J〈cos—(k+k)+cos一(k-k)+cos—(k+k)+cos—(k一k)S01[2xy2xy_2yz2yz...在近鄰重疊積分-J(RE*(g-R)\u化)—v(R)收i化)d&中,波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正..?J1〉0。于是，把近鄰格矢R代入ES(Rs)表達(dá)式得到:_Es—J-J￡e-ik■RsRs=近鄰a-i(k-k+e2a-i(-ke2-i+e+ea-i(k

2a-i(-k

2+k,)a...在近鄰重疊積分-J(RE*(g-R)\u化)—v(R)收i化)d&中,波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正..?J1〉0。于是，把近鄰格矢R代入ES(Rs)表達(dá)式得到:_Es—J-J￡e-ik■RsRs=近鄰a-i(k-k+e2a-i(-ke2-i+e+ea-i(k

2a-i(-k

2+k,)a-i(-k

2a)+e-i2(kx+kae—i\(kx-k)a-i2(-kx+kz)+ea-i(-kx-kz)(2(2)對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標(biāo)是:222E222Es(k)=￡-J-8J(cosaaakcoskcosk)2x2y2za(1,1,1),a(1,1,1),a(1,1,1),a(1,1,1)2222—(1,1,1),—(1,1,1,),—(1,1,1),一(1,1,1)4.7、有一一維單原子鏈，間距為a,總長度為Na。求(1)用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級對應(yīng)的能帶E(k)函

數(shù)。(2)求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。(3)如果每個原子s態(tài)只有一個電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級E0及〈解〉(1),E(〈解〉(1),E(k)=￡s一J一J(eika+e-ika)=￡一J一2Jcoska=E一2Jcoska

01s0101—?E(k)=E一J-￡J(p)e-ik■Rs

(2),N(E)=2x——x2dk(3),兀2JasinkaNa2Nak02?——?2ko=F2兀F兀?！?a=E,N(E(2),N(E)=2x——x2dk(3),兀2JasinkaNa2Nak02?——?2ko=F2兀F兀?！?a=E,N(Eo)=2asF2Na1xdE兀???k0=F兀JsinkaE(k。)=E-2JcosN=jk02p(k)?2dk=兀Jsin?a1〈解＞（a）二維簡單正方晶格的晶格常數(shù)為a倒格子晶格基矢A=叢:,B=必Jaa第一布里淵區(qū)如圖所示兀八區(qū)邊中點(diǎn)的波矢為K=-i,角頂B點(diǎn)的波矢為KAf兀）)l+IaJIaJBJ?2mxyz,八力2力2，兀）2力2，兀）A點(diǎn)能量￡=K2=一A2mx2mLaJ2mLaJ自由電子能量E=2B點(diǎn)能量￡旦(k2+K2)=里已(K2+K2+K2),B'生)2+f冗)2[=土2f冗)2]LaJLaJ2mLLaJ2m,所以￡/￡=2b）簡單立方晶格的晶格常數(shù)為a,倒格子基矢為A=f竺i,B=f竺J,C=f公LaJLaJLaJk,第一布里淵區(qū)如圖7—2所示.A點(diǎn)能量8==AB點(diǎn)能量8B所以8/8=3根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為8=—(K2根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為8=—(K2+K2+K2),FerM面應(yīng)為球面.由(b)可知，內(nèi)切于4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積4兀"兀、3V兀..于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為§k—J①言一)-=-N=1.047N其中V=Na3二價金屬每個原子可以提供2個自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個電子，余下的0.953個電子可填入其它狀態(tài)中.如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點(diǎn)).這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì).然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的.事實(shí)上，對于二價金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭.這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面.因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能.實(shí)際上，多數(shù)的二價金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電.4.10、解：設(shè)晶體中有N個Cu原子，向其中摻入乂個鋅原子。則晶體中電子的總數(shù)為：(N-x)+2x=N+xN由于Cu是面心立方，每一個原胞中含4個電子。因此：晶體中包含的原胞數(shù)為：N4…，，,4兀，，、4%''3兀其倒格子為體心立方，倒格子的邊長為：空，對角線的長度為：于是：布里淵區(qū)邊界到原點(diǎn)的距離為：Lx土坦=上丑"aa

即：當(dāng)Fermi球與第一布里淵區(qū)邊界相切時，又由：2x———x冬兀k3—N+x(2兀)33FN+xk33t3兀3v3k于是有:N+X<3knN+xv'3kt3?！??40.35970.3597n—N—x1—0.35970.3597歸0.560.6403即：當(dāng)鋅原子與銅原子之比為于是有:N+X<3knN+xv'3kt3?！??40.35970.3597n—N—x1—0.35970.3597歸0.560.6403即：當(dāng)鋅原子與銅原子之比為0.56時，F(xiàn)ermi球與第一布里淵區(qū)邊界相接觸。4.12、正方晶格.設(shè)有二維正方晶格，晶體勢為U(x,y)=—4Ucos(2兀x)(2兀y)kaJcoskaJ.-."nn\-用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角-,-處的能隙.〈解>以i,j表示位置矢量的單位矢量，以b,b表示倒易矢量的單位矢量，則有，12——C廣j"(廣.廣)

r=Xi+yi,G=Gb+Gb=gb+gb,g,g1122a1122(2兀x)(2兀y]——4Ucoscos—kaJkaJ晶體勢能U(x,y)----1為整數(shù)。2U(r)=-UeG(11)eiG(11)其中UG(11)——U，而其他勢能傅氏系數(shù)UG(10)=UG(20)...=0本方程(人—e)C(K)+ZUG(K—G)=0變?yōu)槌?e)C(K)成-e)C(K)+UG(11)C(K—G)+U(-)C(—G-))+U(-)C(—G(11)(11))+UG(11)C(K一氣))=0求布里淵區(qū)角言冗兀)頂一，一即k=G(―,—)=—G(11言冗兀)頂一，一中=C(K)eiK『+C(K-G)ei(K-G)『來處理。TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)K=-G(11),^=-~G(11)時依次有22K—G(11)=—1G(11),K—G(11)=+1G(11)而其他的K—G(11),22X-G(11)>G(ll)|,所以在雙項平面波近似下上式中只有c；G(11),cG-g(h))=c--g(ii);cf~G(ll)lcG-G(l1))=cf+~G(ll)^UJI2J-8|CJXG-8|CJXG(11)|-t/C[-±G(11)|=0g(h))\2)v2)-8]C[-上G(11)]-t/cf+七(11)]=0g(h)J\2)\2>/X—￡—U+G(11)=0,因?yàn)?—llX—￡-亳(11)2方2「1/、]2力2兀2力2兀2TOC\o"1-5"\h\zX=X=X=G(11)—由行列式有(X—S)2—t/2=。解得s=X±=±U,+G(n)—%(ii)2/nL2Jma2ma2=0,因?yàn)閈o"CurrentDocument"227171所以在(一，-一)處的能隙為勇"-￡=2u.aa+-第五章晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動有2715.1、設(shè)有~維晶體的電子能帶可寫成E(k)=(―-coska+—cos2^),其中。為晶格常數(shù)，以是電子ma288的質(zhì)量。試求(1)能帶寬度；(2)電子在波矢k狀態(tài)的速度；(3)帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。TOC\o"1-5"\h\z力27]命學(xué)：(1)E(k)=(—一coska+—cos2ka)ma28827]=—[-—coski+-(2cos2^?—1)]ma288=——[(cos辰Z—2)2—1]

4ma2當(dāng)ka=(2n+l)兀時，n=0,±1,±2???maxma2maxma2當(dāng)犯二211兀時，舊以)=0min能帶寬度=E-E(2)°2力2ma21dE(k)力1=(sinka-~sin2ka)hdkma4i=m(coska-~cos2ka)-12當(dāng)k=0時,帶底，m*=2m當(dāng)k=±2時,帶頂，m*=-3m5.5、解：(1)電子的運(yùn)動速度：v=1VE(k)hk???加速度：虹=d(LV_E)dtdthk1dE-V_—hkdt由于單位時間內(nèi)能量的增加=力在單位時間內(nèi)作的功即:一=F-一=F-v=~VE-Fdtdtdv1-1：E?——=—V_[V_E-F]=—V_[——F+

dth2kkh2k:k11:E——F:k22F]寫成分量的形式:dvdtdvdtdvdth2：k：k112131122232132333TOC\o"1-5"\h\z心右11：2E/、.、中：m=后eJ’2’ljIj由題知:Eh2k2+h2k2+hk2由題知:2m2m2m123容易得出:m11=—同理:m1m22m33m12=0同理:m.mmdvm—1=F1dt1dv〈m2=F2dt2dvm—3-=F〔3dt3故運(yùn)動方程為:(2)當(dāng)存在磁場萬作用時，電子將受到洛侖茲力作用F=-evxB當(dāng)B相對于橢球主軸的方向余弦為a,p,y時，電子的運(yùn)動方程可寫成:iv1Bajk_vv=(vBy-vBp)i+(VBa-VBy)j+(VBp-VBa)k23233112BpBy.??電子的運(yùn)動方程可寫成:dvm1=F=-e(vBy-vBp)=wv一①vdt1232332.dv??〈m—r=F=-e(vBa-VBy)=wv一①vdt2313113dvm—=F=-e(vBp-VBa)=wv-wvdt3111221其中：w=eBa,w=eBp,w=eBy由于電子在磁場B作用下作周期性運(yùn)動，故可設(shè)試探解:v=veiwtv2=v20eiwt代入上述方程組可得:v=veiwtiwmv=wv-wv112332<iwmv=wv-wv223113iwmv=wv-wv1331221iwmv+wv-wv=0113223即｛wv-iwmv-wv=0312213wv-wv+iwmv=021233v,v,v有非零解的條件是123iom1o3o2o3iom2-o1-o2-o1iom3=0nimmmo3=二iomo2+iomo2+iomo2123112233即：omo2+mo2+mo2_ma2+mP2+mmm2=—1~~1r-mm—23~~3-m=e2B2—1—223123my2e2B22=m*2m.mmm*2即：o=四其中：m*=1/2證畢第六章金屬電子論第七章半導(dǎo)體電子論7.1、InSb電子有效質(zhì)量m=0.015m,介電常數(shù)￡=18，晶格常數(shù)a=6.495。試計算；（1）施主的電離能;（2）基態(tài)軌道的半徑；（3）施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時摻有的施主濃度應(yīng)該高于多少?m*〈解＞（1）由于施王電離能Ee2B22=m*2m.mmm*2即：o=四其中：m*=1/2證畢第六章金屬電子論第七章半導(dǎo)體電子論7.1、InSb電子有效質(zhì)量m=0.015m,介電常數(shù)￡=18，晶格常數(shù)a=6.495。試計算；（1）施主的電離能;（2）基態(tài)軌道的半徑；（3）施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時摻有的施主濃度應(yīng)該高于多少?m*〈解＞（1）由于施王電離能Ed是氫原子電離能E的倍，m*E0.014x13.6(eV)=6.59x10-4(eV)(17)2(2),17x0.52。。(5)=6.31x102(5)6.31x10-8(m)0.014如果施主的電子與類氫基態(tài)軌道發(fā)生重疊，則均勻分布于InSb中施主雜質(zhì)濃度Nd就一定滿足(2a)3N=1,.N=(上)3DD2a(2x6.31x10-8)3=4.98x1020(m-2)第十二章晶體中的缺陷和擴(kuò)散例1.假設(shè)把一個鈉原子從鈉晶體內(nèi)部移到邊界上所需要的能量為1ev（1），試計算室溫（300k）時，sckottky空位的濃度？（已知：P=0.97克/原米3,原子量為23）Na解：（1）設(shè)N為單位體積內(nèi)的Na原子數(shù)，則在溫度T時，schottky定位的濃度n可寫成：n=Ne由題知：u=1ev=1.602X10-19J0.97N=09Lx6.02x102323一“0.97_"”10「19于是：n=Nekbt^-―x6.02x1023xe1.38x10-23x300=4.2x105個『厘米3。例2.如果u代表形成一個Frenkel缺陷所需的能量，證明在溫度T時，達(dá)到熱平衡的晶體中，F(xiàn)renkel缺陷的數(shù)目為：n=<NN'e-"2w解：達(dá)到熱平衡時，在N個原子的晶體中形成n個空位的可能方式數(shù)為：N!七_(dá)CN~(N-