三重積分概念與計(jì)算

復(fù)習(xí)在坐標(biāo)面上投影區(qū)域邊界為折線,選用直角坐標(biāo)系積分區(qū)域側(cè)面是柱面的,選用柱面坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分òòòWdxdydzzyxf),,(柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系1根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)選擇坐標(biāo)系投影區(qū)域邊界為圓弧,選用柱面或球面坐標(biāo)系積分區(qū)域側(cè)面是球面或圓錐面的,選用球面坐標(biāo)系

復(fù)習(xí)方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)

方法3.三次積分法

計(jì)算三重積分òòòWdxdydzzyxf),,(2在直角坐標(biāo)系下根據(jù)被積函數(shù)選擇積分方法一般選用方法1和3方法1.

直角坐標(biāo)系下的投影法

(“先一后二”)⑴在坐標(biāo)面上投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點(diǎn)—下限，穿出點(diǎn)—上限方法1.

柱面坐標(biāo)系下的投影法

(“先一后二”)⑴在坐標(biāo)面上投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點(diǎn)—下限，穿出點(diǎn)—上限圓域柱面坐標(biāo)系引例:計(jì)算三重積分解:所圍立體.其中與球面柱面或球面坐標(biāo)系若采用柱面坐標(biāo)系計(jì)算不簡(jiǎn)潔二、三重積分的計(jì)算9.3三重積分的概念與計(jì)算

第九章球面坐標(biāo)系下的計(jì)算利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系(1)球面坐標(biāo)系球面半平面錐面錐面柱面坐標(biāo)系下:球面坐標(biāo)系下:錐面內(nèi)部柱面坐標(biāo)系下:球面坐標(biāo)系下:上半球面柱面坐標(biāo)系下:球面坐標(biāo)系下:上半球體柱面坐標(biāo)系下:球面坐標(biāo)系下:練習(xí):分別寫出三種坐標(biāo)下右圖球面方程和球體表達(dá)式球面柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球體柱坐標(biāo):球坐標(biāo):分割空間區(qū)域，其任一小塊的體積可以近似地看成是長(zhǎng)為、寬為、高為的長(zhǎng)方體體積積分元素(2)在球面坐標(biāo)系中體積元素在球面坐標(biāo)系中體積元素為(3)在球面坐標(biāo)系下的三重積分從小到大，從邊界到邊界?；癁槿畏e分，例如當(dāng)是球體時(shí)一般而言,積分區(qū)域側(cè)面是球面或圓錐面的,被積函數(shù)中含有時(shí),選用球面坐標(biāo)系.

例+.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面如圖，求立體的體積.

上球面以a為半徑,以為圓心,下錐面半頂角為.

解：邊界曲面方程為在球坐標(biāo)系下方程為所以例6.例+.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說(shuō)明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;

作業(yè)

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