《降次解一元二次方程》課件

降次——一元二次方程的解法降次——一元二次方程的解法

工人師傅為了修屋頂，把一梯子擱在墻上,梯子與屋檐的接觸處到底端的長(zhǎng)AB=5米,墻高AC=4米,問梯子底端點(diǎn)離墻的距離是多少?走進(jìn)生活4工人師傅為了修屋頂，把一梯子擱在墻上,梯子與屋檐的設(shè)BC=x,根據(jù)勾股定理，得x2+42=52.化簡(jiǎn)，得x2-9=0,∴(x-3)(x+3)=0,解得x1=3,x2=-3(不合題意，舍去）．另解：x2=9,∴x1==3,X2=-=-3(不合題意，舍去）．設(shè)BC=x,根據(jù)勾股定理，得x2+42=52.

一般地,對(duì)于形如x2=d(d≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得

這種解一元二次方程的方法叫做開平方法.概念對(duì)于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用開平方法求它的根。當(dāng)d>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根：當(dāng)d=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的根：一般地,對(duì)于形如x2=d(d≥0)的方程,例1：用開平方法解方程9x2=4解：兩邊同除以9，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例1：用開平方法解方程9x2=4解：兩邊同除以9，得利用例2：用開平方法解方程3x2=-4解：兩邊同除以3，得

因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方根不可能是負(fù)數(shù)，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根。例2：用開平方法解方程3x2=-4解：兩邊同除以3，得一般來說，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步驟是：（1）通過移項(xiàng)、兩邊同除以a，把原方程變形為（2）根據(jù)平方根的意義，可知一般來說，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，例3：用開平方法解方程-7x2+21=0解：移項(xiàng)，得兩邊同除以-7，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例3：用開平方法解方程-7x2+21=0解：移項(xiàng)，得兩邊練一練(1)方程x2=0.25的根是

；(2)方程2x2=18的根是；(3)方程(x+1)2=1的根是

.

x1=0.5,x2=-0.5x1=3,x2=-3x1=0,x2=-2練一練(1)方程x2=0.25的根是；x1例4：怎樣解方程(x+1)2=16?解：利用開平方法，得可得所以，原方程的根是上面這種解法中，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。例4：怎樣解方程(x+1)2=16?解：利用開平方法，用開平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(x＋1)2=4(3)(2x－3)2=7用開平方法解下列方程:你能用開平方法解下列方程嗎?

x2－10x＋16=0合作探究你能用開平方法解下列方程嗎?合作探究(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－3x＋

=(x－

)2(3)x2－12x＋

=(x－

)2填空42()2626(1)x2＋8x＋=(x＋4)2填空42()這種方程怎樣解？變形為變形為x2－10x+25=9x2－10x+16=0的形式．（ａ為非負(fù)常數(shù)）這種方程怎樣解？變形為變形為x2－10x+25=9x2－10

把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式,右邊為一個(gè)非負(fù)常數(shù),然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.概念把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式,右邊為用配方法解一元二次方程的步驟:移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)

一半的平方;開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;求解:解一元一次方程;定解:寫出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步驟:移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;例題1.用配方法解下列方程x2+6x-7=0解：移項(xiàng)，得兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例題1.用配方法解下列方程x2+6x-7=0解：移項(xiàng)，得例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0解：移項(xiàng)并且兩邊同除以2，得兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0解：移項(xiàng)1.方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（）．（A）(x+3)2=14（B）(x-3)2=14（C）(x+6)2=14（D）以上答案都不對(duì)2.用配方法解下列方程，配方有錯(cuò)的是（）（A）x2-2x-99=0化為

(x-1)2=100（B）2x2-3x-2=0化為(x-3/4)2=25/16（C）x2+8x+9=0化為(x+4)2=25（D）3x2-4x=2化為(x-2/3)2=10/9AC1.方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（3.若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+y+2)(x+y-1)=0，則x+y的值為（）．（A）1（B）－2（C）2或－1（D）－2或14.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，代數(shù)式x2－5x＋10的值是一個(gè)（）（A）非負(fù)數(shù)（B）正數(shù)（C）整數(shù)（D）不能確定的數(shù)DB3.若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+y+2)(x+y-1)=0，DB做一做用配方法解下列方程:(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x(3)－x2＋4x－3=0注意:解第(2)題時(shí)要先移項(xiàng),變形成x2+5x=6的形式;

如果方程的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù),則先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正.做一做用配方法解下列方程:注意:解第(2)題時(shí)要先移項(xiàng),變形用配方法解一般形式的一元二次方程

把方程兩邊都除以解:移項(xiàng)，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程把方程兩邊都除以當(dāng)時(shí)即一元二次方程的求根公式特別提醒(a≠0,b2-4ac≥0)當(dāng)時(shí)即一元二次方程的求根公式特別提醒(a≠0,b2-4ac例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x2+1=-4x例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，b2-4ac=52-4×3×（-1）=37>0X==Х1=Х2=（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，X=（2）x2+2x+2=0∵b2-4ac=22-4×1×2=-4<0∴此方程無實(shí)數(shù)解解：a=1，b=2，c=2（2）x2+2x+2=0∵b2-4ac=22-4×1×2=-（3）2x2-7x=0解：a=2，b=-7，c=0b2-4ac=（-7）2-4×2×0=49>0Х==Х2=0Х1=（3）2x2-7x=0解：a=2，b=-7，c=0Х==Х2（4）4x2+1=-4x解：移項(xiàng)，得4x2+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0X==-=-X1=X2（4）4x2+1=-4x解：移項(xiàng)，得4x2+4x+1=0X=猜一猜：對(duì)于一般式ax2+bx+c=0

（a≠0）的根與b2-4ac的符號(hào)有會(huì)么關(guān)系？故對(duì)于方程ax2+bx+c=0（a≠0）有下列關(guān)系：因?yàn)閍x2+bx+c=0

（a≠0）的求根公式是

(1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的根(2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根x=x=

(3)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.猜一猜：對(duì)于一般式ax2+bx+c=0（a≠0）的根與b2鞏固練習(xí)（1）x2+3x-4=0（2）x2-x=1鞏固練習(xí)（1）x2+3x-4=0（2）x2-x=四、探索發(fā)現(xiàn)X1=X2=1、從兩根的代數(shù)式結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？2、根據(jù)這種結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行什么運(yùn)算？你發(fā)現(xiàn)了什么？四、探索發(fā)現(xiàn)X1=X2=1、從兩根的代數(shù)式結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？1、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解五、智力挑戰(zhàn)2、關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-5=0。當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，方程的兩根為互為相反數(shù)？X1=X2=1、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0一元二次方程的解法一元二次方程的解法因式分解主要方法:

(1)提取公因式法

(2)公式法:a2－b2=(a+b)(a－b)a2±2ab+b2=(a±b)2因式分解主要方法:請(qǐng)選擇：若A·B=0則（）（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D請(qǐng)選擇：若A·B=0則（）（A）A=0；解方程4x2=9解：移項(xiàng)，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是解方程4x2=9解：移項(xiàng)，得利用平方差公式分解因像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步驟是：(1)若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；(2)將方程的左邊分解因式；(3)根據(jù)若A·B=0,則A=0或B=0,將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程。像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它練一練填空：（1）方程x2+x=0的根是

；（2）x2－25=0的根是

。X1=0,x2=-1X1=5,x2=-5練一練填空：（2）x2－25=0的根是例1

解下列一元二次方程：（1）（x－5)(3x－2)=10;解:

化簡(jiǎn)方程，得3x2－17x=0.將方程的左邊分解因式，得x(3x－17)=0,∴x=0,或3x－17=0解得x1=0,x2=例1解下列一元二次方程：解:化簡(jiǎn)方程，得3x2－1例1

解下列一元二次方程：(2)(3x－4)2=(4x－3)2.解:移項(xiàng)，得（3x-4)2-(4x-3)2=0.將方程的左邊分解因式，得[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,

即(7x-7)(-x-1)=0.∴7x-7=0,或-x-1=0.∴x1=1,x2=-1例1解下列一元二次方程：解:移項(xiàng)，得（3x-4)2能用因式分解法解一元二次方程遇到類似例2這樣的，移項(xiàng)后能直接因式分解就直接因式分解，否則移項(xiàng)后先化成一般式再因式分解.小結(jié)小結(jié)做一做用因式分解法解下列方程：(1)4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2(5)做一做用因式分解法解下列方程：(5)例2解方程x2=2√2x－2

解

移項(xiàng)，得x2

－2√2x+2=0,

即x2－2√2x+(√2)2=0.∴(x－√2)2=0,∴x1=x2=√2例2解方程x2=2√2x－21.解方程x2－2√3x=-32.若一個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)本身,你能求出這個(gè)數(shù)嗎(要求列出一元二次方程求解)?做一做注意：當(dāng)方程的一邊為0時(shí)，另一邊容易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，則用因式分解法解方程比較方便.

1.解方程x2－2√3x=-3做一做注意：當(dāng)方程的一邊為0因式分解法解一元二次方程的基本步驟（1）將方程變形，使方程的右邊為零；（2）將方程的左邊因式分解；（3）根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程；因式分解法解一元二次方程的基本步驟（1）將方程變形，使方程的降次——一元二次方程的解法降次——一元二次方程的解法

工人師傅為了修屋頂，把一梯子擱在墻上,梯子與屋檐的接觸處到底端的長(zhǎng)AB=5米,墻高AC=4米,問梯子底端點(diǎn)離墻的距離是多少?走進(jìn)生活4工人師傅為了修屋頂，把一梯子擱在墻上,梯子與屋檐的設(shè)BC=x,根據(jù)勾股定理，得x2+42=52.化簡(jiǎn)，得x2-9=0,∴(x-3)(x+3)=0,解得x1=3,x2=-3(不合題意，舍去）．另解：x2=9,∴x1==3,X2=-=-3(不合題意，舍去）．設(shè)BC=x,根據(jù)勾股定理，得x2+42=52.

一般地,對(duì)于形如x2=d(d≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得

這種解一元二次方程的方法叫做開平方法.概念對(duì)于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用開平方法求它的根。當(dāng)d>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根：當(dāng)d=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的根：一般地,對(duì)于形如x2=d(d≥0)的方程,例1：用開平方法解方程9x2=4解：兩邊同除以9，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例1：用開平方法解方程9x2=4解：兩邊同除以9，得利用例2：用開平方法解方程3x2=-4解：兩邊同除以3，得

因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方根不可能是負(fù)數(shù)，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根。例2：用開平方法解方程3x2=-4解：兩邊同除以3，得一般來說，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步驟是：（1）通過移項(xiàng)、兩邊同除以a，把原方程變形為（2）根據(jù)平方根的意義，可知一般來說，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，例3：用開平方法解方程-7x2+21=0解：移項(xiàng)，得兩邊同除以-7，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例3：用開平方法解方程-7x2+21=0解：移項(xiàng)，得兩邊練一練(1)方程x2=0.25的根是

；(2)方程2x2=18的根是；(3)方程(x+1)2=1的根是

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x1=0.5,x2=-0.5x1=3,x2=-3x1=0,x2=-2練一練(1)方程x2=0.25的根是；x1例4：怎樣解方程(x+1)2=16?解：利用開平方法，得可得所以，原方程的根是上面這種解法中，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。例4：怎樣解方程(x+1)2=16?解：利用開平方法，用開平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(x＋1)2=4(3)(2x－3)2=7用開平方法解下列方程:你能用開平方法解下列方程嗎?

x2－10x＋16=0合作探究你能用開平方法解下列方程嗎?合作探究(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－3x＋

=(x－

)2(3)x2－12x＋

=(x－

)2填空42()2626(1)x2＋8x＋=(x＋4)2填空42()這種方程怎樣解？變形為變形為x2－10x+25=9x2－10x+16=0的形式．（ａ為非負(fù)常數(shù)）這種方程怎樣解？變形為變形為x2－10x+25=9x2－10

把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式,右邊為一個(gè)非負(fù)常數(shù),然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.概念把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式,右邊為用配方法解一元二次方程的步驟:移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)

一半的平方;開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;求解:解一元一次方程;定解:寫出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步驟:移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;例題1.用配方法解下列方程x2+6x-7=0解：移項(xiàng)，得兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例題1.用配方法解下列方程x2+6x-7=0解：移項(xiàng)，得例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0解：移項(xiàng)并且兩邊同除以2，得兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0解：移項(xiàng)1.方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（）．（A）(x+3)2=14（B）(x-3)2=14（C）(x+6)2=14（D）以上答案都不對(duì)2.用配方法解下列方程，配方有錯(cuò)的是（）（A）x2-2x-99=0化為

(x-1)2=100（B）2x2-3x-2=0化為(x-3/4)2=25/16（C）x2+8x+9=0化為(x+4)2=25（D）3x2-4x=2化為(x-2/3)2=10/9AC1.方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（3.若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+y+2)(x+y-1)=0，則x+y的值為（）．（A）1（B）－2（C）2或－1（D）－2或14.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，代數(shù)式x2－5x＋10的值是一個(gè)（）（A）非負(fù)數(shù)（B）正數(shù)（C）整數(shù)（D）不能確定的數(shù)DB3.若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+y+2)(x+y-1)=0，DB做一做用配方法解下列方程:(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x(3)－x2＋4x－3=0注意:解第(2)題時(shí)要先移項(xiàng),變形成x2+5x=6的形式;

如果方程的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù),則先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正.做一做用配方法解下列方程:注意:解第(2)題時(shí)要先移項(xiàng),變形用配方法解一般形式的一元二次方程

把方程兩邊都除以解:移項(xiàng)，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程把方程兩邊都除以當(dāng)時(shí)即一元二次方程的求根公式特別提醒(a≠0,b2-4ac≥0)當(dāng)時(shí)即一元二次方程的求根公式特別提醒(a≠0,b2-4ac例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x2+1=-4x例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，b2-4ac=52-4×3×（-1）=37>0X==Х1=Х2=（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，X=（2）x2+2x+2=0∵b2-4ac=22-4×1×2=-4<0∴此方程無實(shí)數(shù)解解：a=1，b=2，c=2（2）x2+2x+2=0∵b2-4ac=22-4×1×2=-（3）2x2-7x=0解：a=2，b=-7，c=0b2-4ac=（-7）2-4×2×0=49>0Х==Х2=0Х1=（3）2x2-7x=0解：a=2，b=-7，c=0Х==Х2（4）4x2+1=-4x解：移項(xiàng)，得4x2+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0X==-=-X1=X2（4）4x2+1=-4x解：移項(xiàng)，得4x2+4x+1=0X=猜一猜：對(duì)于一般式ax2+bx+c=0

（a≠0）的根與b2-4ac的符號(hào)有會(huì)么關(guān)系？故對(duì)于方程ax2+bx+c=0（a≠0）有下列關(guān)系：因?yàn)閍x2+bx+c=0

（a≠0）的求根公式是

(1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的根(2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根x=x=

(3)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.猜一猜：對(duì)于一般式ax2+bx+c=0（a≠0）的根與b2鞏固練習(xí)（1）x2+3x-4=0（2）x2-x=1鞏固練習(xí)（1）x2+3x-4=0（2）x2-x=四、探索發(fā)現(xiàn)X1=X2=1、從兩根的代數(shù)式結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？2、根據(jù)這種結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行什么運(yùn)算？你發(fā)現(xiàn)了什么？四、探索發(fā)現(xiàn)X1=X2=1、從兩根的代數(shù)式結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？1、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解五、智力挑戰(zhàn)2、關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-5=0。當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，方程的兩根為互為相反數(shù)？X1=X2=1、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0一元二次方程的解法一元二次方程的解法因式分解主要方法:

(1)提取公因式法

(2)公式法:a2－b2=(a+b)(a－b)a2±2ab+b2=(a±b)2因式分解主要方法:請(qǐng)選擇：若A·B=0則（）（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D請(qǐng)選擇：若A·B=0則（）（A）A=0；解方程4x2=9解：移項(xiàng)，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是解方程4x2=9解：移項(xiàng)，得利用平方差公式分解因像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步驟是：(1)若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；(2)將方程的左邊分解因式；(3)根據(jù)若A·B=0,則A=0或B=0,將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程。像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它練一練填空：（1）方程x2+x=0的根是

；（2）x2－25=0的根是

。