淺談合情推理能力培養(yǎng)課件

淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛1

《數(shù)學(xué)課程標準》中指出：學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、試驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。《數(shù)學(xué)課程標準》中指出：學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)2何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進行的一種推理．這種推理的途徑是從觀察、實驗入手，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過歸納而作出猜想．這就是說，合情推理的條件與結(jié)論之間是以聯(lián)想或猜想作為橋梁的。歸納推理、類比推理、統(tǒng)計推理是其三種重要形式。何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察3合情推理與演繹推理的關(guān)系。科學(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)的定理,法則,公式等)發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察,比較,歸納,類比……即通過合情推理提出猜想,然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤.長期以來,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強調(diào)教學(xué)的嚴謹性,過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理,使人們合情推理與演繹推理的關(guān)系。科學(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)4誤認為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個重要的發(fā)現(xiàn),除演繹推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想,費爾馬大定理,四色問題等的發(fā)現(xiàn).其它學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過合情推理,提出猜想,假說和假設(shè),再經(jīng)過演繹推理或?qū)嶒灥玫降?如牛頓通過蘋果落地而產(chǎn)生靈感,經(jīng)過合情推理,提出萬有引力的猜想,后來通過庫侖的紐秤實驗證實.合情推理與演繹推理是相輔相成的.

誤認為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一5發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新性。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是其目的所在。這種創(chuàng)新性主要來源于合情推理過程中的直覺和靈感．直覺是一種思維形式，它是在豐富的知識與經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在短時間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)、瞬間做出判斷的思維形式．在合情推理的過程中，無論是類比聯(lián)想，還是歸納聯(lián)想，往往要借助于直覺思維．發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新6靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過長期思維后的瞬間頓悟，是思維的信息迅速轉(zhuǎn)化和急劇重組，形成新的信息系統(tǒng)，從而使思維出現(xiàn)新的突破．例如，俄國化學(xué)家門捷列夫給出的元素周期表，就“完成了科學(xué)史上的一個勛業(yè)”．前蘇聯(lián)科學(xué)史學(xué)家凱德洛夫曾經(jīng)詳盡的研究了門捷列夫的發(fā)現(xiàn)過程．靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過長期思維7據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張元素周期表出現(xiàn)于1869年2月17日．雖然在此以前，門捷列夫曾經(jīng)從各個方面研究過元素及其他化合物的各種相互關(guān)系，但總不得要領(lǐng)．發(fā)現(xiàn)周期律的決定性觀念是在很短的時間里產(chǎn)生的，那一天，門捷列夫動身離開彼德堡去辦與周期律毫不相干的事情，就在一切準備就緒，提了箱子要上火車之際，一個天才的猜想在他腦海里突然閃現(xiàn)，于是，在這種緊張的“思索時間不足”之中誕生了偉大的發(fā)現(xiàn)．門捷列夫當天就把元素周期表送往印刷廠發(fā)排，這是一個直覺閃現(xiàn)和頓悟的典型事例．據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張元素周期表出現(xiàn)于1869年28由此可見，靈感的出現(xiàn)往往會帶來一種嶄新的思想、方法，從而使思維結(jié)果具有創(chuàng)新性．愛因斯坦曾經(jīng)宣稱“我相信直覺和靈感”．許多發(fā)明和創(chuàng)造的事實都證實了直覺和靈感在其創(chuàng)造過程中的決定作用．這就更加肯定了合情推理的核心是創(chuàng)造性的這一特征。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的本領(lǐng)，是現(xiàn)階段教育的核心。也與我國現(xiàn)階段提出的發(fā)展創(chuàng)新型國家，發(fā)展創(chuàng)新性人才的國策相吻合由此可見，靈感的出現(xiàn)往往會帶來一種嶄新的思想、方法，從而使思9如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的獲得.能力的形成是一個緩慢的過程,有其自身的特點和規(guī)律,它不是學(xué)生“懂”了,也不是學(xué)生“會”了,而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進行,因而教學(xué)活動必須給學(xué)生提供探索交流的空間,組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程”,并把推理能力的培養(yǎng)有機融合在這樣的“過程”之中.任何試圖把能力“傳授”給學(xué)生,試圖把能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法,都不可能真正取得好的效果。如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的10首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實際技能”，“要通過模仿和實踐來學(xué)習(xí)它，在實踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問題（應(yīng)有一定的難度和開放性），把問題放在“需要”與“認知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖。不僅要創(chuàng)設(shè)引入問題的情境，也要創(chuàng)設(shè)好每個環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書上的結(jié)論一語點破。如首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推11學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運算定律”時，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運算定律”的知識經(jīng)驗，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問題情境

例1學(xué)習(xí)“車輪為什么是圓形”時為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫圓時，初步發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。

例2學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運算定律”時，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運算12再以多媒體動畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時,給學(xué)生提出諸如“風(fēng)車旋轉(zhuǎn)時所形成的是什么圖形”、“為什么這些圖形的大小各有不同”等問題。學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn),這些風(fēng)車盡管在顏色、形狀和大小等方面各有不同,但是,當它們在風(fēng)力的作用下快速轉(zhuǎn)動時,所產(chǎn)生的視覺效果卻有著相似性,即“變成”了一個個色彩斑斕的“圓”。在交流與探究中,學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“圓”的大小與風(fēng)車葉片長度之間的關(guān)系?？梢?這種動態(tài)的視覺效果不僅增強了情境的趣味性,而且也給學(xué)生提供了一個深入感知“圓”的基本特征的經(jīng)驗平臺。在隨后的學(xué)習(xí)活動中,學(xué)生通過對折(事先準備的)圓形紙片,進一步發(fā)現(xiàn)和認識了“圓”的基本要素———圓心和半徑以及“圓”的基本特征與對稱性。再以多媒體動畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時,給學(xué)生提出諸如“13二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中日本的著名教育家米山國藏曾說：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中等接受的數(shù)學(xué)知識，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因為如此，我們在不同教學(xué)時如果能注意對學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)，學(xué)生會因此積累一些解決問題的經(jīng)驗。二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中日本的14數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時，我們可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進行合理的猜測，形成假說、猜想，然后再予以驗證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識。

1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識時

數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時，我們可以有意15

例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問題串(見《標準》第93～94頁):

(1)計算并觀察下列每組算式

(2)已知25×25=625,那么24×26=_________.

(3)你能舉出一個類似的例子嗎？

(4)從上述過程,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律你能用語言敘述這個規(guī)律嗎你能用代數(shù)式表示這個規(guī)律嗎？

(5)你能證明自己所得到的規(guī)律嗎？

8×8=64{7×9=635×5=254×6=24{12×12=144{11×13=143在這樣的過程中,學(xué)生從對具體算式的觀察,比較中,通過合情推理(歸納)提出猜想,進而用數(shù)學(xué)符號表達——若a×a=m,則(a-1)×(a+1)=m-1,然后用多項式乘法法則證明猜想是正確的.例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問題串(見《標準16

例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,26+62=88,你發(fā)現(xiàn)了什么?

[可能的猜想:個位數(shù)字與十位數(shù)字互換前后的兩個兩位數(shù)的和是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的一個兩位數(shù);所得的兩位數(shù)能被11整除……]驗證:74+47=121,原來的猜想成立嗎?

再繼續(xù)驗證,結(jié)論仍然成立嗎?

[以上是進行歸納推理(合情推理)的過程]

問題:能否證明結(jié)論是正確的呢?

[方法一:對所有的兩位數(shù)一一加以驗證,但這既繁復(fù)又費時;方法二:若a,b表示一個兩位數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)字,則(a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11×(a+b),于是"所得的兩位數(shù)能被11整除"的猜想得到證實]

這樣的過程,是一個經(jīng)歷觀察,猜想,歸納,證明的過程,即既有合情推理又有演繹推理的過程.例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,217

2、預(yù)測可能性問題時

例5“體驗事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計算一些簡單事件發(fā)生的可能性?！边@是《標準》的具體目標之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。在兩方球隊比賽時，預(yù)測此場比賽誰獲勝的可能性大，并闡述理由。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩支球隊以往比賽的勝負情況或當時賽場的情況等方面作出假設(shè)，提醒學(xué)生利用類比、歸納等多種方法進行猜想，從而得出合情推理的結(jié)果。2、預(yù)測可能性問題時例5“體驗事件發(fā)生的可18

例6兩個人握一次手,若每兩人握一次手,則三個人共握幾次手？n個人共握多少次手呢？(通過合情推理探索規(guī)律)

這與“由上海開往北京的1462次列車途中停靠23個站(不包括上海和北京),這次列車共發(fā)售多少種不同的車票”這樣的問題,有什么聯(lián)系呢？(類比)

例6兩個人握一次手,若每兩人握一次手,則三個人共握幾19

3、實驗探究問題時引導(dǎo)學(xué)生對要探究的問題，通過動手操作，計算初步形成假說、猜想，但此時學(xué)生對知識的理解僅停留在猜測階段，沒有真正的內(nèi)化。我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對猜想進行推理證明前所進行的必要步驟。教師在實驗的過程中，應(yīng)起到畫龍點睛的作用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計實驗來檢驗猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語言表達結(jié)論；在逐步形成結(jié)論的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過程，并使之得到優(yōu)化。3、實驗探究問題時引導(dǎo)學(xué)生對要探究的問題，通過動手20圖－1探索下列問題：（1）在圖1給出的四個正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線、任意的直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分；我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分．

例7發(fā)現(xiàn)：中心對稱圖形，過中心的任何一條直線都可以將其分割成面積相等的兩部分．圖－1探索下列問題：我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓21圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S1和S2．1請你在圖－2中相應(yīng)圖形下方的橫線上，分別填寫S1與S2的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“＝”，“＞”連接）；2請你在圖12－3中分別畫出反映S1與S2三種大小關(guān)系的直線n，并在相應(yīng)圖形下方的橫線上，分別填寫S1與S2的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“＝”，“＞”連接）．S1＜S2S1＝S2S1＞S2S1＜S2S1＝S2S1＞S2猜想：任意方向的直線在由左向右平移的過程中都可以將中心對稱圖形分割的兩部分面積，可以產(chǎn)生由小于到等于再到大于的變化過程。圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直22（3）是否存在一條直線，將一個任意的平面圖形（如圖－4）分割成面積相等的兩部分？請簡略說出理由．圖－4S1＜S2S1＞S2S1＝S2猜想：任意方向的直線在由左向右平移的過程中都可以將中心對稱圖形分割的兩部分面積，可以產(chǎn)生由小于到等于再到大于的變化過程。（3）是否存在一條直線，將一個任意的平面圖形（如圖－4）分割23三、在反思、評價和引申中培養(yǎng)合情推理能力

對學(xué)生合情推理的能力的培養(yǎng)與提高離不開學(xué)生對其“提出猜想——檢驗”；“修正猜想——驗證、證明”這一學(xué)習(xí)過程的反思。無論是提出猜想的過程、修正猜想還是驗證猜想的過程都必須進行適當?shù)姆此?，通過反思可以讓學(xué)生更好地認識猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受驗證和證明的必要。反思也是提高學(xué)生提出猜想的質(zhì)量，修正猜想的能力和驗證猜想的能力必不可少的重要一環(huán)，同時也是學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考的必要條件。三、在反思、評價和引申中培養(yǎng)合情推理能力對學(xué)生合情推理的能24

平常我們應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時回顧和重新審視解決問題的全過程，如：在得出“結(jié)論的特征”后，教師可適當反思：剛才我們是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？學(xué)生可能會說出探究問題時的過程“先……再……”；也可能說出自己在學(xué)習(xí)過程中聽取了哪些同學(xué)的意見，受到了哪些啟發(fā)；聰明的學(xué)生就會能根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行質(zhì)疑，尋找新的思路、方法。在引導(dǎo)學(xué)生自我認知的過程中，重建學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，使其與原有知識的邏輯聯(lián)系更明晰，使某些“技巧”上升為“方法”，使一些有意義的經(jīng)驗、方法、思想得到及時的提取。

平常我們應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時回顧和重新審視解決25同時，在學(xué)生進行合情推理的過程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指導(dǎo)者，必須對學(xué)生的合情推理進行積極地評價，尤其對學(xué)生的認識體會教師要進行及時的、有效的分析和概括，幫助學(xué)生對解決問題的方法進行提煉和哲學(xué)思考。

同時，在學(xué)生進行合情推理的過程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指26謝謝大家！謝謝大家！27淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛28

《數(shù)學(xué)課程標準》中指出：學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、試驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”?！稊?shù)學(xué)課程標準》中指出：學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)29何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進行的一種推理．這種推理的途徑是從觀察、實驗入手，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過歸納而作出猜想．這就是說，合情推理的條件與結(jié)論之間是以聯(lián)想或猜想作為橋梁的。歸納推理、類比推理、統(tǒng)計推理是其三種重要形式。何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察30合情推理與演繹推理的關(guān)系?？茖W(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)的定理,法則,公式等)發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察,比較,歸納,類比……即通過合情推理提出猜想,然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤.長期以來,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強調(diào)教學(xué)的嚴謹性,過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理,使人們合情推理與演繹推理的關(guān)系。科學(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)31誤認為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個重要的發(fā)現(xiàn),除演繹推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想,費爾馬大定理,四色問題等的發(fā)現(xiàn).其它學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過合情推理,提出猜想,假說和假設(shè),再經(jīng)過演繹推理或?qū)嶒灥玫降?如牛頓通過蘋果落地而產(chǎn)生靈感,經(jīng)過合情推理,提出萬有引力的猜想,后來通過庫侖的紐秤實驗證實.合情推理與演繹推理是相輔相成的.

誤認為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一32發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新性。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是其目的所在。這種創(chuàng)新性主要來源于合情推理過程中的直覺和靈感．直覺是一種思維形式，它是在豐富的知識與經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在短時間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)、瞬間做出判斷的思維形式．在合情推理的過程中，無論是類比聯(lián)想，還是歸納聯(lián)想，往往要借助于直覺思維．發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新33靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過長期思維后的瞬間頓悟，是思維的信息迅速轉(zhuǎn)化和急劇重組，形成新的信息系統(tǒng)，從而使思維出現(xiàn)新的突破．例如，俄國化學(xué)家門捷列夫給出的元素周期表，就“完成了科學(xué)史上的一個勛業(yè)”．前蘇聯(lián)科學(xué)史學(xué)家凱德洛夫曾經(jīng)詳盡的研究了門捷列夫的發(fā)現(xiàn)過程．靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過長期思維34據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張元素周期表出現(xiàn)于1869年2月17日．雖然在此以前，門捷列夫曾經(jīng)從各個方面研究過元素及其他化合物的各種相互關(guān)系，但總不得要領(lǐng)．發(fā)現(xiàn)周期律的決定性觀念是在很短的時間里產(chǎn)生的，那一天，門捷列夫動身離開彼德堡去辦與周期律毫不相干的事情，就在一切準備就緒，提了箱子要上火車之際，一個天才的猜想在他腦海里突然閃現(xiàn)，于是，在這種緊張的“思索時間不足”之中誕生了偉大的發(fā)現(xiàn)．門捷列夫當天就把元素周期表送往印刷廠發(fā)排，這是一個直覺閃現(xiàn)和頓悟的典型事例．據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張元素周期表出現(xiàn)于1869年235由此可見，靈感的出現(xiàn)往往會帶來一種嶄新的思想、方法，從而使思維結(jié)果具有創(chuàng)新性．愛因斯坦曾經(jīng)宣稱“我相信直覺和靈感”．許多發(fā)明和創(chuàng)造的事實都證實了直覺和靈感在其創(chuàng)造過程中的決定作用．這就更加肯定了合情推理的核心是創(chuàng)造性的這一特征。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的本領(lǐng)，是現(xiàn)階段教育的核心。也與我國現(xiàn)階段提出的發(fā)展創(chuàng)新型國家，發(fā)展創(chuàng)新性人才的國策相吻合由此可見，靈感的出現(xiàn)往往會帶來一種嶄新的思想、方法，從而使思36如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的獲得.能力的形成是一個緩慢的過程,有其自身的特點和規(guī)律,它不是學(xué)生“懂”了,也不是學(xué)生“會”了,而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進行,因而教學(xué)活動必須給學(xué)生提供探索交流的空間,組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程”,并把推理能力的培養(yǎng)有機融合在這樣的“過程”之中.任何試圖把能力“傳授”給學(xué)生,試圖把能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法,都不可能真正取得好的效果。如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的37首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實際技能”，“要通過模仿和實踐來學(xué)習(xí)它，在實踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問題（應(yīng)有一定的難度和開放性），把問題放在“需要”與“認知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖。不僅要創(chuàng)設(shè)引入問題的情境，也要創(chuàng)設(shè)好每個環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書上的結(jié)論一語點破。如首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推38學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運算定律”時，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運算定律”的知識經(jīng)驗，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問題情境

例1學(xué)習(xí)“車輪為什么是圓形”時為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫圓時，初步發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。

例2學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運算定律”時，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運算39再以多媒體動畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時,給學(xué)生提出諸如“風(fēng)車旋轉(zhuǎn)時所形成的是什么圖形”、“為什么這些圖形的大小各有不同”等問題。學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn),這些風(fēng)車盡管在顏色、形狀和大小等方面各有不同,但是,當它們在風(fēng)力的作用下快速轉(zhuǎn)動時,所產(chǎn)生的視覺效果卻有著相似性,即“變成”了一個個色彩斑斕的“圓”。在交流與探究中,學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“圓”的大小與風(fēng)車葉片長度之間的關(guān)系?？梢?這種動態(tài)的視覺效果不僅增強了情境的趣味性,而且也給學(xué)生提供了一個深入感知“圓”的基本特征的經(jīng)驗平臺。在隨后的學(xué)習(xí)活動中,學(xué)生通過對折(事先準備的)圓形紙片,進一步發(fā)現(xiàn)和認識了“圓”的基本要素———圓心和半徑以及“圓”的基本特征與對稱性。再以多媒體動畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時,給學(xué)生提出諸如“40二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中日本的著名教育家米山國藏曾說：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中等接受的數(shù)學(xué)知識，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因為如此，我們在不同教學(xué)時如果能注意對學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)，學(xué)生會因此積累一些解決問題的經(jīng)驗。二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中日本的41數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時，我們可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進行合理的猜測，形成假說、猜想，然后再予以驗證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識。

1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識時

數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時，我們可以有意42

例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問題串(見《標準》第93～94頁):

(1)計算并觀察下列每組算式

(2)已知25×25=625,那么24×26=_________.

(3)你能舉出一個類似的例子嗎？

(4)從上述過程,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律你能用語言敘述這個規(guī)律嗎你能用代數(shù)式表示這個規(guī)律嗎？

(5)你能證明自己所得到的規(guī)律嗎？

8×8=64{7×9=635×5=254×6=24{12×12=144{11×13=143在這樣的過程中,學(xué)生從對具體算式的觀察,比較中,通過合情推理(歸納)提出猜想,進而用數(shù)學(xué)符號表達——若a×a=m,則(a-1)×(a+1)=m-1,然后用多項式乘法法則證明猜想是正確的.例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問題串(見《標準43

例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,26+62=88,你發(fā)現(xiàn)了什么?

[可能的猜想:個位數(shù)字與十位數(shù)字互換前后的兩個兩位數(shù)的和是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的一個兩位數(shù);所得的兩位數(shù)能被11整除……]驗證:74+47=121,原來的猜想成立嗎?

再繼續(xù)驗證,結(jié)論仍然成立嗎?

[以上是進行歸納推理(合情推理)的過程]

問題:能否證明結(jié)論是正確的呢?

[方法一:對所有的兩位數(shù)一一加以驗證,但這既繁復(fù)又費時;方法二:若a,b表示一個兩位數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)字,則(a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11×(a+b),于是"所得的兩位數(shù)能被11整除"的猜想得到證實]

這樣的過程,是一個經(jīng)歷觀察,猜想,歸納,證明的過程,即既有合情推理又有演繹推理的過程.例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,244

2、預(yù)測可能性問題時

例5“體驗事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計算一些簡單事件發(fā)生的可能性?！边@是《標準》的具體目標之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。在兩方球隊比賽時，預(yù)測此場比賽誰獲勝的可能性大，并闡述理由。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩支球隊以往比賽的勝負情況或當時賽場的情況等方面作出假設(shè)，提醒學(xué)生利用類比、歸納等多種方法進行猜想，從而得出合情推理的結(jié)果。2、預(yù)測可能性問題時例5“體驗事件發(fā)生的可45

例6兩個人握一次手,若每兩人握一次手,則三個人共握幾次手？n個人共握多少次手呢？(通過合情推理探索規(guī)律)

這與“由上海開往北京的1462次列車途中?？?3個站(不包括上海和北京),這次列車共發(fā)售多少種不同的車票”這樣的問題,有什么聯(lián)系呢？(類比)

例6兩個人握一次手,若每兩人握一次手,則三個人共握幾46

3、實驗探究問題時引導(dǎo)學(xué)生對要探究的問題，通過動手操作，計算初步形成假說、猜想，但此時學(xué)生對知識的理解僅停留在猜測階段，沒有真正的內(nèi)化。我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對猜想進行推理證明前所進行的必要步驟。教師在實驗的過程中，應(yīng)起到畫龍點睛的作用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計實驗來檢驗猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語言表達結(jié)論；在逐步形成結(jié)論的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過程，并使之得到優(yōu)化。3、實驗探究問題時引導(dǎo)學(xué)生對要探究的問題，通過動手47圖－1探索下列問題：（1）在圖1給出的四個正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線、任意的直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分；我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分．

例7發(fā)現(xiàn)：中心對稱圖形，過中心的任何一條直線都可以將其分割成面積相等的兩部分．圖－1探索下列問題：我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓48圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過程