高等數(shù)學(xué)上冊-第五章復(fù)件高數(shù)

二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)微積分基本公式

第五章Problem:該問題用定積分可表示為求下述極限問題:Howtosolveit?It’snotveryeasy!一、引例(Introduction)

在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為問題:

這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下是否具有普遍性

?考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有定理1.

若(微分形式)Notation:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.例1.

求解:原式例2.確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,

故又由～,

得

積分上限的函數(shù)是表示函數(shù)關(guān)系的一種新的方法.用這種方法表示的函數(shù)在物理,化學(xué),統(tǒng)計學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.

例如,以法國著名物理學(xué)家弗雷斯納爾(AugustinFresnel,1788~1827)的名字命名的弗雷斯納爾函數(shù)：這個函數(shù)最初出現(xiàn)在光波衍射理論中，現(xiàn)在它已經(jīng)被應(yīng)用于高速公路的設(shè)計．Problem:研究函數(shù)S(x)性質(zhì)：單調(diào)性，極值點，凹凸性，拐點，漸進(jìn)線．例3.證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證證令Exercises:回顧:

在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性

.三、牛頓–萊布尼茲公式(N-LFormula)(積分形式)

證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù)

,則微積分基本公式表明：注意:求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.N-LFormula微積分學(xué)的創(chuàng)立：創(chuàng)作起始年代發(fā)表年代牛頓16651687萊布尼茲16751684，1686

17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茲分別在前人大量工作的基礎(chǔ)上先后發(fā)現(xiàn)了微分和積分的關(guān)系。他們的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著微積分學(xué)的最終創(chuàng)立。英國派代表人物：泰勒，馬克勞林歐洲大陸派代表人物：伯努利兄弟FirstpublishedproofbyBarrow(1670)IsaacBarrowDiscoveredbyNewton(1666,unpublished);andbyLeibniz(1673)IsaacNewtonGottfriedLeibniz例5.

計算解:例6.

計算正弦曲線的面積.

解:Howeasyitis!NOTATION

例6揭示了微積分基本定理的巨大威力．當(dāng)法國數(shù)學(xué)家GillesdeRoberval在１６３５年首次獲得正弦和余弦曲線下方的面積，這個問題在當(dāng)時是富有挑戰(zhàn)性的，它需要非凡的智慧，但到１６６０～１６７０年，當(dāng)Barrow發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理并被Newton和Leibniz深入研究后，這類問題變得非常容易!(seeExample６)評論：數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的，復(fù)雜的東西拋到一邊．例7求

原式例8設(shè)

,求.解解例9求

解由圖形可知例10．下面計算是否有錯？解：由定積分性質(zhì)６知注意到例11.

汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:

設(shè)開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離?

Conclusions則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式3.N—L公式是計算定積分的基本公式EXERCISES:☆☆EXERCISESIN