2021-2022學(xué)年廣西南寧市賓陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年廣西南寧市賓陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.若2=自，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知在2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知在△ABC中,角A,B的對邊分別為a,b,若sinA：sinB=1：V2,a=y/2>則b的值為（）3.4.A.1B.V2已知向量力=(-1,2)5=(3,-5)，3.4.A.1B.V2已知向量力=(-1,2)5=(3,-5)，A.(3,-4)B.(0,-4)下列說法不正確的是（）C.2則3a+2方等于（C.(3,6)D.2V2D.(0,6)A.長方體是平行六面體A.長方體是平行六面體B.正方體是平行六面體C,直四棱柱是長方體C,直四棱柱是長方體D.平行六面體是四棱柱5.某新聞機(jī)構(gòu)想了解全國人民對張津湖之水門橋》的評價，決定從某市3個區(qū)按人5.口數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個樣本，若3個區(qū)人口數(shù)之比為2：3：4,且人口最少的一個區(qū)抽出100人，則這個樣本的容量為（）6.8.A.550B.500C.450D.6.8.A.550B.500C.450D.400哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”，如8=3+5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在“2,3,5,7,11”這5個素?cái)?shù)中，任取兩個素?cái)?shù)，其和不是合數(shù)的概率是（如圖，已知四棱錐P-ABC。中，已知PA1底面ABC。,底面4BCD為矩形，則下列結(jié)論中錯誤的是（）D,平面PCD1平面P4D如圖，正方體48。。一4816。1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CCi，BBi的中點(diǎn)，則下列說法正確的序號為（）B①直線4G與直線CC所成角的正切值為a②直線41G與平面4EF不平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面4E尸的距離相等：④平面AEF截正方體所得的截面面積為，A.①④ B.②③ C.①③ D.②④二、多選題(本大題共4小題，共20.0分).下面四個條件中，能確定一個平面的是()A.一條直線 B.一條直線和一個點(diǎn)C.兩條相交的直線 D.兩條平行的直線.給定一組數(shù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,則()A.平均數(shù)為3 B.標(biāo)準(zhǔn)差為：5C.眾數(shù)為2和3 D.第85百分位數(shù)為4.5.已知事件A,B,且P(4)=0.5,P(8)=0.2,則下列結(jié)論正確的是()A.如果BUA,那么P(4UB)=0.2,P(AB)=0.5B.如果4與B互斥，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0C.如果4與B相互獨(dú)立，那么P(AUB)=0.7,P(4B)=0D.如果4與B相互獨(dú)立，那么PQ4B)=0.4'P(AB)=0.4.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11,則下列結(jié)論錯誤的是()sinA：sinB：sinC=4：5：8ZiABC的最小內(nèi)角是最大內(nèi)角的一半△ABC是鈍角三角形D.若c=6,則AABC的外接圓直徑為幽7三、填空題(本大題共4小題，共20.0分).已知復(fù)數(shù)z滿足z(2-0=|3-4i|(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)是.已知圓錐的母線長為5,高為4,則圓錐的表面積為.在△ABC中，AB=2,AC=3,/.BAG=120°,。是BC中點(diǎn)，E在邊AC上，AE=AAC.ADBE=1,則|而|=；4的值為..在棱長為9的正方體4BCC-4'B'C'D'中，點(diǎn)E,尸分別在棱AB,DD'上，滿足若=EB篝=2,點(diǎn)P是DD'上一點(diǎn)，且PB〃平面CEF,則四棱錐P-4BC。外接球的表面積為_―..四、解答題(本大題共6小題，共70.0分).已知五=(2,1),\b\=2V5.(1)若五〃石，求石的坐標(biāo)：(2)若(5日一2])10+石)，求五與方的夾角..某市3000名市民參加亞運(yùn)會相關(guān)知識比賽，成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的值，并估計(jì)該市參加考試的3000名市民中，成績在[80,90)上的人數(shù)；(2)若在本次考試中前1500名參加復(fù)賽，則進(jìn)入復(fù)賽市民的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)如何制定(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)..如圖，四棱錐P-ABC。的底面4BCC是平行四邊形，PA1底面ABC。，“CD=90°,PA=AB=AC=2.(1)證明：AC1CD；(2)若E是棱PC的中點(diǎn)，求直線4。與平面PCD所成的角..在△4BC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊長分別是a,b,c.(1)若?=2,C=p且△ABC的面積S=V5，求a，b的值；(n)若sinC+sin(B-4)=sin2A,試判斷△4BC的形狀..某快餐配送平臺針對外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評定為A，B,C,。四個等級，各等級依次獎勵3元、獎勵0元、罰款3元、罰款6元，假定評定為等級4B,C的概率分別是(1)若某外賣員接了一個訂單，求其不被罰款的概率；(2)若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為3元的概率..如圖，四棱柱ABC。一481。1。1中，底面4BCD是菱形，Z.ABC=60°, 1平面ABCD,E為AA1中點(diǎn)，AAr=AB=2.(1)求證：AG〃平面B15E：(2)求三棱錐4-%￡)送1的體積；(3)在AC】上是否存在點(diǎn)M,滿足4Gl平面MBiA?若存在，求出4M的長；若不存在，說明理由.答案和解析.【答案】4【解析】解：2=9=湍懸="扛則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)G，｝位于第一象限.故選：A.利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則、幾何意義即可得出結(jié)論.本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】解：由正弦定理知，合=焉所以巴=四史=±bsinBV2所以b=>/2a=2-故選：C.利用正弦定理，即可得解.本題考查解三角形,熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】A【解析】解：??響量五=(-1,2),方=(3,—5)，：.3a+2b=(-3,6)+(6,-10)=(3,-4).故選：A.利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可.本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】解：對于4長方體的各個對面是平行的，故正確；對于B,正方體的各個對面是平行的，故正確：對于C,直四棱柱的對面未必平行，故錯誤；對于。，按照四棱柱的定義，平行六面體是的側(cè)棱是平行的，是四棱柱，故正確：故選：C.根據(jù)長方體和直四棱柱的性質(zhì)判斷即可.本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】解：設(shè)這個樣本的容量為n,則心="，解得n=450.2+3+4n故選：C.根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題..【答案】B【解析】解：由題意，從2,3,5,7,11這5個素?cái)?shù)中，任取兩個素?cái)?shù)，基本事件總數(shù)為n=Cg=10,其中兩個數(shù)的和不是合數(shù)的基本事件有(2,3)、(2,5)、(2,11),共3個，所以所求概率為p=故選：B.先確定從2,3,5,7,11這5個素?cái)?shù)中，任取兩個素?cái)?shù)的基本事件總數(shù)，再確定其中兩個數(shù)的和不是合數(shù)的基本事件個數(shù)，最后利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解.本題考查古典概率計(jì)算公式，考查學(xué)生對公式的理解和運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】【分析】本題考查了面面垂直的判定；一般地，要證面面垂直，只要證線面垂直，進(jìn)一步只要證線線垂直，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.利用面面垂直的判定定理，對四個選項(xiàng)分別分析選擇.【解答】解：對于4,因?yàn)橐阎狿4J■底面4BCC,且底面ABCD為矩形，所以P4J.AB,又PAnAD=A,PA,/Wu平面P/W,所以ABI平面PAC,又ABu平面PAB,所以平面P4BJ■平面PAC,故A正確；對于B,已知P41底面4BCC,且底面HBCC為矩形，

所以PAJ.BC,又BCLAB,PAClAB=A,PA,ABu平面P4B,所以BC1平面PAB,BCu平面PBC,所以平面24BJ■平面PBC,故B正確:對于。，已知P41底面ABC。，且底面ABCD為矩形，所以P41CD,又CC14C,又P4nAC=4,PA,4。u平面PAD,所以CD1平面PAC,又CDu平面PCD,所以平面PCDJ■平面PAD,故。正確；故選C..【答案】A【解析】解：如圖所示，對于①，因?yàn)?BJ/DC,所以NBi4G即直線41G與直線DC所成的角，tan48141G=整=：,故正確：對于②，取B1G中點(diǎn)N,連接&N,GN,在正方體4BCC-48傳1。1中，AXN//AE,NG//EF,A^N 4Eu平面4E尸.所以4iN//平面AEF.同理可證NG〃平面4EF.4NnNG=N,所以平面4GN〃平面AEF,又&Gu平面&GN,所以&G〃平面AEF,故錯誤；對于③，假設(shè)C與G到平面4EF的距離相等，即平面4EF將CG平分，則平面4EF必過CG的中點(diǎn)，連接CG交EF于H,而，不是CG中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故錯誤；對于④，在正方體ABCD中，ADJ/EF,把截面4EF補(bǔ)形為等腰梯形AEF。］，易知皿=&,EF=專,AE=^,ADr,EF之間的距高d=_（若空尸=乎，所以梯形AEF。］的面積為］（EF+4。力xd=）日+近）x乎=京故正確.故選：A.由NB14G即直線4G與直線CC所成的角可判斷①；取BiG中點(diǎn)N，證明平面4GN〃平面AEF即可判斷②；由平面AEF不過CG的中點(diǎn)可判斷③：先找出截面，再計(jì)算面積即可判斷④.本題主要考查異面直線所成的角，空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與距離，考查邏輯推理

能力，屬于中檔題..【答案】CD【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于4一條直線不能確定平面，A錯誤，對于B,直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個平面，8錯誤；對于C,兩條相交的直線可以確定一個平面，C正確；對于。，兩條平行的直線可以確定一個平面，C正確；故選：CD.根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.本題考查平面的基本性質(zhì)，注意平面的確定方法，屬于基礎(chǔ)題..【答案】AC【解析】【分析】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意計(jì)算公式的合理運(yùn)用.運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的公式求解即可.運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的公式求解即可.【解答】解：平均數(shù):5+5+4+3+3+3+2+2+2+1一解：平均數(shù):10 =310眾數(shù)為：出現(xiàn)次數(shù)最多的2和3標(biāo)準(zhǔn)差：,(5-3/+(5_3)2+…+(1_3產(chǎn)_2V10,qio-5’將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，則1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,一共10個數(shù)，10x85%=8.5,8.5不是整數(shù)，則第9項(xiàng)5是第85百分位數(shù),故選：AC..【答案】BD【解析】解：由事件4,B,且尸(4)=0.5,P(B)=0.2,知：對于A,如果BU4那么P(4UB)=O.5,P(AB)=0.2,故4錯誤；對于B,如果4與B互斥，那么P(4UB)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故8正確;

對于C,如果4與B相互獨(dú)立，那么P(4UB)=P(A)+P(8)-P(AB)=0.5+0.2-0.5x0.2=0.6,P(4B)=P(A)P(B)=0,5X0.2=0.1,故C錯誤；對于C,如果4與B相互獨(dú)立，那么P(4B)=P(A)P(B)=(1-0.5)x(1-0.2)=0.4>P(AB)=P(A)P(B)=0.5x(1-0.2)=0.4,故。正確?故選：BD.利用對立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解.本題考查概率的求法，考查對立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】ACD【解析】解：由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11,不妨設(shè)a+b=9t,a+c=103b+c=lit,解得a=4t.b=5t,c=6t>得a：b：c=4：5：6,*由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6,故A錯誤;vcosC=(4t)2+(5t)2-(6t)vcosC=(4t)2+(5t)2-(6t)2_12-4t-5t -8’cosA=(5t)2+(6t)2-(4t)2_32-5t-6t -4???cos2A=2cos2A—1=2x(^)2—1=|=cosC,由cosA>0,cosC>0,可得C=2A,故8正確；由上可知最大角C為銳角，故C錯誤；VsinC=Jl_g)2=薩,的外接圓直徑為高=壺=雪，故。錯誤.故選：ACD.由(a+6)：(a+c)：(b+c)=9：10：11,不妨設(shè)q+b=93a+c=lOt,b+c=lit,解得q=43b=5t,c=63然后逐一求解四個選項(xiàng)得答案.本題考查正余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.13.【答案】2-1【解析】解：由z(2-i)=|3-4小得Z得Z=M=仆2+(-4)2=2-i (2-i)(2+i) 22+(-1)2則z=2—i.故答案為：2-i.把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共規(guī)復(fù)數(shù)的概念得答案.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.14.【答案】247r【解析】解：由題意可知，圓錐的母線長為5,高為4,則圓錐的底面半徑為5/52-42=3>所以圓錐的表面積兀x3x5+7ix32=247r.故答案為：247r.由母線長以及高，求出圓錐的底面半徑，由表面積公式求解即可.本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.15?【答案】號【解析】解：如圖，vAE=AAC?：.BE=BA+AE=—AB+AAC>???。是BC的中點(diǎn)，.??同=：(屈+前)，且AB=2,AC=3,Z-BAC=120°,.%| |=| +AC)2=1.J4+9-2x2x3x1=與乂而 =I，桔(AB+")?(-AB+AAC)=±AB+A4C+(2-1)AB?4C]=]-4+94+(A-l)-2x3x(-i)]=p解得4=故答案為：叱二.23可畫出圖形，根據(jù)條件可得出而=-AB+AAC，AD=^(AB+AC),然后根據(jù)|7i萬|=冰荏+前)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出|而|的值;根據(jù)而?而=:可得出“荏+AC)■(-AB+AAC)=^,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出2的值.本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的運(yùn)第10頁，共15頁

算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】1787r【解析】解：如圖所示，連接BD交CE于。，因?yàn)榇?2,所喘=黑.EB ODCD3連接OF,因?yàn)镻B〃平面CEF,PB 平面PBDC平面CEF=OF,所以PB//OF,則蒜=器=/因?yàn)镃D'=9,誓=2,所以FD=3,所以PF=1,則DP=4,所以四棱錐尸-ABC。外接球的直徑為PB=7乎+92+42=V178，所以半徑為運(yùn)，2所以四棱錐尸-ABCD外接球的表面積為4兀x（竽產(chǎn)=1787r.故答案為：1787r.連接BD交CE于。，連接OF,由PB〃平面CEF,可得BP〃。心推導(dǎo)出DP=4,從而求出四棱錐P-4BCD外接球的半徑，即可求出四棱錐P-ABCD外接球的表面積.本題考查四棱錐外接球的表面積的求法，考查正方體、四棱錐、球等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題..【答案】解：(1)va=(2,1),由一〃武可設(shè)石=(2兒冷，再根據(jù)|石|=2V5=V4A2+A2.求得4=±2,b=(4,2)或(-4,-2).(2)若(5右-2石)10+B)，貝4(51一2石)(a+b)=5a2+3a-K-2d2=25+3a-K-40=0?a-b=5-設(shè)五與方的夾角為6,9e[0,tt],則遍x2遙xcos。=5,求得cos。=號??.。=g?【解析】（1）由題意，利用兩個向量平行的性質(zhì)，求得它的坐標(biāo).（2）由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算求得日與石的夾角的余弦值，可得五與方的夾角.本題主要考查兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：(1)由已知得：(2a+2a+3a+6a+7a)X10=1得：a=0.005,故成績在［80,90)上的頻率為0.03x10=0.3,故成績在［80,90)上的人數(shù)為：3000x0.3=900(人)；(2)設(shè)50%分位數(shù)為X,貝i］(2x0.005+3x0.005)x10+7x0.005x忙~x10=0.5,80-70解得x=77*分)，故進(jìn)入復(fù)賽市民的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)不低于77；分.【解析】⑴根據(jù)小矩形面積之和為1求出a的值，然后根據(jù)［80,90］之間的頻率計(jì)算3000人中在該區(qū)間的人數(shù)；(2)在參加本次考試的3000人中確定前1500名參加復(fù)賽，即求出這3000人的百分之五十分位數(shù)，即可確定出參加復(fù)賽的分?jǐn)?shù)線.本題考查頻率直方圖的性質(zhì)以及百分位數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題..【答案】(1)證明：因?yàn)镻41底面4BCC,CCu底面4BCC,所以P4_LO.因?yàn)镹PCD=90。，所以PCICC,又PACPC=P,PA,PCu平面P4C,所以CD1平面P4c.因?yàn)锳Cu平面PAC,所以CD1AC.(2)解：由(1)CC_L平面P4C,AC,4Eu平面P4C,所以AE1CD.因?yàn)镻A=AC=2,E為PC的中點(diǎn)，所以AEJ.PC.因?yàn)镻CflCD=C,PC,CDu平面PC。，所以AE_L平面PCD,所以MZM即為直線4。與平面PCD所成的角.因?yàn)镻A=AB=AC=2,所以4。=y/AC2+CD2=2夜，PC=y/AP2+AC2=2vL所以AE=；PC=>/^,所以sin/EZM=些=半=I2 AD2V2 2因?yàn)樗约粗本€4D與平面PCD所成的角為也z o o【解析】(1)證明PA1CD.PC1CD,推出CD_L平面PAC.即可證明CD1AC.(2)說明NEZM即為直線AC與平面PCD所成的角.通過求解三角形，推出結(jié)果即可.本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題..【答案】解：(I)由余弦定理及已知條件得，層+爐一。力=4,….(3分)又因?yàn)椤?BC的面積等于百，所以]。加譏。=遍，得@力=4.(5分)聯(lián)立方程組產(chǎn)；:—ab=4解得a=2,b=2.(7分)(U)由題意得：sinC+sin(B-4)=sin2A得到sin(A+B)+sin(B—A~)=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA,(10分)當(dāng)cosA=0時，AABC為直角三角形(12分)當(dāng)cosAH0時，^sinB=sinA,由正弦定理得a=b,所以，A4BC為等腰三角形.(14分)【解析】(I)根據(jù)余弦定理，得c?=a2+b2-ab=4,由三角形面積公式得[absinC=V3,兩式聯(lián)解可得到a,b的值；(II)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到5?7^=5也(4+8),代入已知等式，展開化簡合并，得sinBcosA=sinAcosA,最后討論當(dāng)cosA=0時與當(dāng)cosAH0時，分別對A/IBC的形狀的形狀加以判斷，可以得到結(jié)論.本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)公式,是解好本題的關(guān)鍵..【答案】解：設(shè)事件A,B,C,。分別表示“被評為等級4B,C,Dn,,2-IQ -I由題意，事件A,B,C,。兩兩互斥，所以P(。)=1—二—[—二=石，4o3Z又4UB="不被罰款”，所以P(4UB)=P(4)+P(B)=：+；].因此“不被罰款”的概率為O(2)設(shè)事件4，B”Ct,2表示''第i單被評為等級4,B,C,D",i=1,2,則“兩單共獲得的獎勵為3元”即事件(4B2)U(A2Bi),且事件4避2，&B