《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》古典概型課件

§１.３古典概型一、古典概型的定義二、古典概型計算公式五、幾何概型及其計算三、古典概型計算步驟四、古典概型計算舉例下頁§１.３古典概型一、古典概型的定義二、古典概型計算公排列與組合選排列當(dāng)

時，稱為全排列，計算公式為從

個不同的元素中,任取

個元素,按照一定的順序排成一列，全部排列個數(shù)為全排列組合從

個不同的元素中,任取

個元素并成一組，全部組合數(shù)為取數(shù)與次序有關(guān)排列的特點取數(shù)與次序無關(guān)組合的特點排列與組合選排列當(dāng)時，稱為全排列，計加法原理第一類方法有

種方法第二類方法有

種方法

第

類方法有

種方法……做一件事共有

類方法完成這件事的方法總數(shù)加法原理第一類方法有種方法……做一件事共有類乘法原理第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有

個步驟完成這件事的方法總數(shù)乘法原理第一步有種方法……做一件事共有個步驟古典概型1.古典概型若試驗E具有以下兩個特征：

(1)所有可能的試驗結(jié)果(樣本點)為有限個，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)．則稱這類試驗的數(shù)學(xué)模型為等可能概型（古典概型）．２.古典概型中事件概率的計算公式設(shè)隨機試驗E為古典概型，其樣本空間Ω及事件A分別為：Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}則隨機事件A的概率為：

下頁古典概型1.古典概型若試驗E具有以下兩3.古典概型的概率計算步驟(1)指出樣本點(樣本點)；(2)計算樣本空間中樣本點(樣本點)總數(shù)n；(3)指出事件A；(4)計算事件A中樣本點(樣本點)總數(shù)k；(5)計算事件A的概率P(A)．下頁3.古典概型的概率計算步驟(1)指出樣本點(樣本點)；4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例1.拋一枚硬幣，問硬幣落地后正面向上的概率是多少？解：顯然，樣本點為：{正面向上}，{反面向上}，因而樣本空間Ω={{正面向上}，{反面向上}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為2．設(shè)A=“正面向上”[或設(shè)A表示“正面向上”事件]，則A包含的樣本點為{正面向上}，即它包含的樣本點總數(shù)為1．所以，P(A)=1/2=0.5．例2.將一枚硬幣拋兩次，問試驗后有一次正面向上的概率是多少？解：樣本點為：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而樣本空間Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為4．下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例1.拋一4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例2.將一枚硬幣拋兩次，問試驗后有一次正面向上的概率是多少？解：樣本點為：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而樣本空間Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為4．設(shè)A=“有一次正面向上”，則A={{正,反},{反,正}}，顯然A包含的樣本點總數(shù)為2．所以，P(A)=2/4=0.5．下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例2.將一4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例3.口袋中有100只球，編號依次為1,2,3,…,100，現(xiàn)從中任取一球，問取得的球編號不超過20的概率？解：樣本點為：{1號球},{2號球},…,{100號球}，因而樣本空間Ω={{1號球},{2號球},…,{100號球}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為100．設(shè)A=“取得的球編號不超過20”，則A={{1號球},{2號球},…,{20號球}}，顯然A包含的樣本點總數(shù)為20．所以，P(A)=20/100=0.2．問題：在本例中，取得的球編號為5的倍數(shù)的概率是多少？下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例3.口袋4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例4.

7件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件．問3件中恰有1件次品的概率？解：7件產(chǎn)品中任意3件的一個組合，是一個樣本點，即是一個可能的基本結(jié)果(說明這一點很重要！)，因此，所有可能的基本事件總數(shù)(即樣本空間中的樣本點總數(shù))為設(shè)A=“3件中恰有1件次品”,則A包含的樣本點總數(shù)為從而，P(A)=下頁4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例4.74.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例5.一套5卷的選集隨機地排放在書架上，問：(1)第1卷放在最左邊的概率？(2)從左到右正好按卷號排成12345的概率？解：5卷選集在5個位置上的任一種排列，是一個樣本點，因此，所有可能的樣本點總數(shù)(即樣本空間中的樣本點總數(shù))為5?。O(shè)A=“第1卷放在最左邊”,B=“從左到右正好按卷號排成12345”．則A包含的樣本點總數(shù)為1*4!，B包含的樣本點總數(shù)為1．從而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!．小結(jié)：計算樣本空間所含樣本點總數(shù)，有時用排列有時用組合，那么何時用排列何時用組合？一般來講，當(dāng)考慮“順序”時用排列，不考慮“順序”時用組合．另外，當(dāng)考慮“順序”時，樣本空間及所關(guān)心的事件A所包含的樣本點總數(shù)的計算，都要用排列，反之亦然．下頁4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例5.一套4.3古典概型的概率計算舉例（利用運算性質(zhì)）例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只．現(xiàn)從中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到兩個顏色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?解：6只球中的任意2只球的一種排列，是一個樣本點，因此，所有可能的樣本點總數(shù)為A62．設(shè)A=“取到2只白球”,B=“取到2只黑球”,C=“取到兩個顏色相同的球”,D=“至少取到1只白球”．則A包含的樣本點總數(shù)為A42，B包含的樣本點總數(shù)為A22，則P(A),P(B)可求．而顯然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D與B互逆），從而有，P(C)=P(A)+P(A)；P(D)=1-P(B)．下頁4.3古典概型的概率計算舉例（利用運算性質(zhì)）例6.口袋中4.4古典概型的概率計算舉例（經(jīng)典問題）例7.設(shè)有n個球，隨機的放到m個盒子中去，(n≤m)，求下列事件的概率．(1)A=“指定的n個盒子中各有一個球”；(2)B=“恰有n個盒子各有一個球”．解：

n個球在個m位置上的任一種放法是一個樣本點．所以,Ω中的樣本點總數(shù)為mn個．(1)指定的n個盒子各放入一個球，就是n個球在n個指定的盒子中的排列，即A中的樣本點數(shù)為n!，從而P(A)可求．(2)因為沒有指定是哪n個盒子，這n個盒子可以從m個盒子中任意選取，共有Cmn種選法，即B中的樣本點數(shù)為Cmn

×n!，于是P(B)可求．下頁4.4古典概型的概率計算舉例（經(jīng)典問題）例7.設(shè)有n個球例8．可化為分球入盒的問題（１）生日問題：a)宿舍住著６名同學(xué)，求６個人生日的月份互不相同的概率；b)一個班有30名同學(xué)，求至少有2人的生日在同１天的概率．提示：a)設(shè)Ａ＝“６人生日月份各不相同”．將每一個月份看作１個盒子，共有１２個盒子，將每１個學(xué)生看作１個球，共有６個球．例8．可化為分球入盒的問題（１）生日問題：提示：a)設(shè)Ａ＝b)設(shè)B＝“至少有２人生日在同１天”若有５０人，概率為0.97．b)設(shè)B＝“至少有２人生日在同１天”若有５０人，概率為0.9例8．可化為分球入盒的問題（２）抽簽問題：設(shè)有a個白球，b個黑球，由a+b個同學(xué)依次抽１個，求第k個人抽到黑球的概率．提示：設(shè)Ａ＝“第k個人抽到黑球”．將a+b個人看作a+b個盒子．將a+b個球放入a+b盒中，每盒１個．問題化為，求第k個盒放入的是黑球的概率．例8．可化為分球入盒的問題（２）抽簽問題：提示：設(shè)Ａ＝“第說明：事實上[例8(2)]有許多解法，下面再給出一種比較簡捷的解法．另解：解法的關(guān)鍵是把注意力放在第k次取球上．即第k次出現(xiàn)的事件為樣本點，顯然，第k次取球共有a+b種取法(即樣本點總數(shù))，而第k次取到黑球，只有b種取法(即事件A包含的樣本總數(shù))，于是，P(A)=b/(a+b)．小結(jié):試驗的樣本空間并不唯一，樣本空間究竟是什么，這完全取決于你賦予樣本點的意義．至于怎樣指派樣本點，很難給出固定的規(guī)則，依賴于觀察問題的角度，這正是初學(xué)者感到困難的地方．也正是因為這樣，古典概型的問題才具有很強的挑戰(zhàn)性，并使不少人對此產(chǎn)生濃厚興趣．

下頁說明：事實上[例8(2)]有許多解法，下面再給出一種比較簡捷當(dāng)試驗結(jié)果為無限時，會比古典概率復(fù)雜得多．這里討論無限樣本空間中具有某種“等可能性”的一類問題．

設(shè)Ω為某個區(qū)域（可以是一維，也可以是二維、三維）測度為m(Ω）；A為Ω的子區(qū)域，測度為m(A)．任意向Ω中投擲的點落在A中的可能性與A的測度成正比，但與A的形狀和A在Ω中的位置無關(guān)．則我們規(guī)定

Ω

A5.幾何概型下頁當(dāng)試驗結(jié)果為無限時，會比古典概率復(fù)雜得多．這里討例9.甲、乙兩艘輪船要在某個舶位停靠6小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機的到達．試求這兩艘船中至少有一艘在停靠舶位時必須等待的概率．解：設(shè)x為甲到達的時刻(0≤x<24)，y為乙到達的時刻(0≤y≤24)．A={兩艘船中至少有一艘在?？坎拔粫r必須等待}須因此Ω＝{(x,y):0≤x<24,0≤y<24},m(Ω)=242

A＝{(x,y):，m(A)=242-(24-6)2所以o24624下頁例9.甲、乙兩艘輪船要在某個舶位?？?小時，假定它們在一晝夜

作業(yè)：23頁6，7，9，10

結(jié)束作業(yè)：23頁結(jié)束01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4,702：1,2,411：1,4,620：2,4,529：3,5,603：1,2,512：1,4,721：2,4,630：3,5,704：1,2,613：1,5,622：2,4,731：3,6,705：1,2,714：1,5,723：2,5,632：4,5,606：1,3,415：1,6,724：2,5,733：4,5,707：1,3,516：2,3,425：2,6,734：4,6,708：1,3,617：2,3,526：3,4,535：5,6,709：1,3,718：2,3,627：3,4,6說明：若用1,2,3表示3個次品，用4,5,6,7表示4個正品，則以下為樣本空間Ω(樣本點總數(shù)為35)，綠色的為A包含的樣本點(18個)．算法：A的樣本點是從Ω中逐個挑選出來的！其個數(shù)等價于“形成”事件A的種數(shù)．這是矛盾轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵思路．下頁01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4§１.３古典概型一、古典概型的定義二、古典概型計算公式五、幾何概型及其計算三、古典概型計算步驟四、古典概型計算舉例下頁§１.３古典概型一、古典概型的定義二、古典概型計算公排列與組合選排列當(dāng)

時，稱為全排列，計算公式為從

個不同的元素中,任取

個元素,按照一定的順序排成一列，全部排列個數(shù)為全排列組合從

個不同的元素中,任取

個元素并成一組，全部組合數(shù)為取數(shù)與次序有關(guān)排列的特點取數(shù)與次序無關(guān)組合的特點排列與組合選排列當(dāng)時，稱為全排列，計加法原理第一類方法有

種方法第二類方法有

種方法

第

類方法有

種方法……做一件事共有

類方法完成這件事的方法總數(shù)加法原理第一類方法有種方法……做一件事共有類乘法原理第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有

個步驟完成這件事的方法總數(shù)乘法原理第一步有種方法……做一件事共有個步驟古典概型1.古典概型若試驗E具有以下兩個特征：

(1)所有可能的試驗結(jié)果(樣本點)為有限個，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)．則稱這類試驗的數(shù)學(xué)模型為等可能概型（古典概型）．２.古典概型中事件概率的計算公式設(shè)隨機試驗E為古典概型，其樣本空間Ω及事件A分別為：Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}則隨機事件A的概率為：

下頁古典概型1.古典概型若試驗E具有以下兩3.古典概型的概率計算步驟(1)指出樣本點(樣本點)；(2)計算樣本空間中樣本點(樣本點)總數(shù)n；(3)指出事件A；(4)計算事件A中樣本點(樣本點)總數(shù)k；(5)計算事件A的概率P(A)．下頁3.古典概型的概率計算步驟(1)指出樣本點(樣本點)；4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例1.拋一枚硬幣，問硬幣落地后正面向上的概率是多少？解：顯然，樣本點為：{正面向上}，{反面向上}，因而樣本空間Ω={{正面向上}，{反面向上}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為2．設(shè)A=“正面向上”[或設(shè)A表示“正面向上”事件]，則A包含的樣本點為{正面向上}，即它包含的樣本點總數(shù)為1．所以，P(A)=1/2=0.5．例2.將一枚硬幣拋兩次，問試驗后有一次正面向上的概率是多少？解：樣本點為：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而樣本空間Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為4．下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例1.拋一4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例2.將一枚硬幣拋兩次，問試驗后有一次正面向上的概率是多少？解：樣本點為：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而樣本空間Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為4．設(shè)A=“有一次正面向上”，則A={{正,反},{反,正}}，顯然A包含的樣本點總數(shù)為2．所以，P(A)=2/4=0.5．下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例2.將一4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例3.口袋中有100只球，編號依次為1,2,3,…,100，現(xiàn)從中任取一球，問取得的球編號不超過20的概率？解：樣本點為：{1號球},{2號球},…,{100號球}，因而樣本空間Ω={{1號球},{2號球},…,{100號球}}，所以Ω的樣本點總數(shù)為100．設(shè)A=“取得的球編號不超過20”，則A={{1號球},{2號球},…,{20號球}}，顯然A包含的樣本點總數(shù)為20．所以，P(A)=20/100=0.2．問題：在本例中，取得的球編號為5的倍數(shù)的概率是多少？下頁4.1古典概型的概率計算舉例（“數(shù)一數(shù)”法）例3.口袋4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例4.

7件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件．問3件中恰有1件次品的概率？解：7件產(chǎn)品中任意3件的一個組合，是一個樣本點，即是一個可能的基本結(jié)果(說明這一點很重要！)，因此，所有可能的基本事件總數(shù)(即樣本空間中的樣本點總數(shù))為設(shè)A=“3件中恰有1件次品”,則A包含的樣本點總數(shù)為從而，P(A)=下頁4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例4.74.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例5.一套5卷的選集隨機地排放在書架上，問：(1)第1卷放在最左邊的概率？(2)從左到右正好按卷號排成12345的概率？解：5卷選集在5個位置上的任一種排列，是一個樣本點，因此，所有可能的樣本點總數(shù)(即樣本空間中的樣本點總數(shù))為5！．設(shè)A=“第1卷放在最左邊”,B=“從左到右正好按卷號排成12345”．則A包含的樣本點總數(shù)為1*4!，B包含的樣本點總數(shù)為1．從而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!．小結(jié)：計算樣本空間所含樣本點總數(shù)，有時用排列有時用組合，那么何時用排列何時用組合？一般來講，當(dāng)考慮“順序”時用排列，不考慮“順序”時用組合．另外，當(dāng)考慮“順序”時，樣本空間及所關(guān)心的事件A所包含的樣本點總數(shù)的計算，都要用排列，反之亦然．下頁4.2古典概型的概率計算舉例（“算一算”法）例5.一套4.3古典概型的概率計算舉例（利用運算性質(zhì)）例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只．現(xiàn)從中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到兩個顏色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?解：6只球中的任意2只球的一種排列，是一個樣本點，因此，所有可能的樣本點總數(shù)為A62．設(shè)A=“取到2只白球”,B=“取到2只黑球”,C=“取到兩個顏色相同的球”,D=“至少取到1只白球”．則A包含的樣本點總數(shù)為A42，B包含的樣本點總數(shù)為A22，則P(A),P(B)可求．而顯然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D與B互逆），從而有，P(C)=P(A)+P(A)；P(D)=1-P(B)．下頁4.3古典概型的概率計算舉例（利用運算性質(zhì)）例6.口袋中4.4古典概型的概率計算舉例（經(jīng)典問題）例7.設(shè)有n個球，隨機的放到m個盒子中去，(n≤m)，求下列事件的概率．(1)A=“指定的n個盒子中各有一個球”；(2)B=“恰有n個盒子各有一個球”．解：

n個球在個m位置上的任一種放法是一個樣本點．所以,Ω中的樣本點總數(shù)為mn個．(1)指定的n個盒子各放入一個球，就是n個球在n個指定的盒子中的排列，即A中的樣本點數(shù)為n!，從而P(A)可求．(2)因為沒有指定是哪n個盒子，這n個盒子可以從m個盒子中任意選取，共有Cmn種選法，即B中的樣本點數(shù)為Cmn

×n!，于是P(B)可求．下頁4.4古典概型的概率計算舉例（經(jīng)典問題）例7.設(shè)有n個球例8．可化為分球入盒的問題（１）生日問題：a)宿舍住著６名同學(xué)，求６個人生日的月份互不相同的概率；b)一個班有30名同學(xué)，求至少有2人的生日在同１天的概率．提示：a)設(shè)Ａ＝“６人生日月份各不相同”．將每一個月份看作１個盒子，共有１２個盒子，將每１個學(xué)生看作１個球，共有６個球．例8．可化為分球入盒的問題（１）生日問題：提示：a)設(shè)Ａ＝b)設(shè)B＝“至少有２人生日在同１天”若有５０人，概率為0.97．b)設(shè)B＝“至少有２人生日在同１天”若有５０人，概率為0.9例8．可化為分球入盒的問題（２）抽簽問題：設(shè)有a個白球，b個黑球，由a+b個同學(xué)依次抽１個，求第k個人抽到黑球的概率．提示：設(shè)Ａ＝“第k個人抽到黑球”．將a+b個人看作a+b個盒子．將a+b個球放入a+b盒中，每盒１個．問題化為，求第k個盒放入的是黑球的概率．例8．可化為分球入盒的問題（２）抽簽問題：提示：設(shè)Ａ＝“第說明：事實上[例8(2)]有許多解法，下面再給出一種比較簡捷的解法．另解：解法的關(guān)鍵是把注意力放在第k次取球上．即第k次出現(xiàn)的事件為樣本點，顯然，第k次取球共有a+b種取法(即樣本點總數(shù))，而第k次取到黑球，只有b種取法(即事件A包含的樣本總數(shù))，于是，P(A)=b/(a+b)．小結(jié):試驗的樣本空間并不唯一，樣本空間究竟是什么，這完全取決于你賦予樣本點的意義．至于怎樣指派樣本點，很難給出固定的規(guī)則，依賴于觀察問題的角度，這正是初學(xué)者感到困難的地方．也正是因為這樣，古典概型的問題才具有很強的挑戰(zhàn)性，并使不少人對此產(chǎn)生濃厚興趣．

下頁說明：事實上[例8(2)]有許多解法，下面再給出一種比較簡捷當(dāng)試驗結(jié)果為無限時，會比古典概率復(fù)雜得多．這里討論無限樣本空間中具有某種“等可能性”的一類問題．

設(shè)Ω為某個區(qū)