2022-2023學年高三年級新高考數(shù)學一輪復習專題-空間向量的應用（含答案）

空間向量的應用學校:姓名：班級：考號：-一、單選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）.若平面的法向量分別取為而=（2,3,5）,福=（-3,1,4）,則a,月的位置關系是（）A.平行 B.垂直.已知兩個不重合的平面a與平面Z6C，方=（1,0,-2），元=（1,1,1）,則（A.平面a〃平面C.平面a、平面4BC相交但不垂直C.相交但不垂直D.重合若平面a的法向量為彳'=（2,-3』），向量）B.平面a_L平面45cD.以上均有可能.如圖所示，在正方體ABCDAiBCQi中，。是底面正方形A8CO的中心，M是。Q的中點,N是AiBi的中點，則直線ON,AM的位置關系是（）A.平行 A.平行 B.相交C.異面垂直 D.異面不垂直二、填空題（本大題共8小題，共40.0分）.如圖，正三角形ABC與正三角形8CO所在的平面互相垂直，則直線CO與4平面ABD所成角的正弦值為./）.已知V為矩形ABC。所在平面外一點，且VA=VB=VC=VD,討=:乃，歷在=春語,O O用=看血.則E4與平面PMN的位置關系是.O

4.如圖，在直四棱柱ABCD-AiBiGiDi中，底面四邊形ABC。為菱4akjtr-I形，E,尸分別為44i，oa的三等分點（關^笠4）,若AB=CCiAA134A=6,，BA￡>=60°,則點E到平面BDF的距離為..如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為4,M為底面ABCD兩條對角線的交點，尸為平面BCGS內的動點，設直線PM與平面BCG81所成的角為a,直線產。與平面BCC1B1所成的角為民若a=P，則動點尸的軌跡長度為..正四棱柱ABCLMiBCQi中，AB=2,AA]=4,E為A8的中點，點尸滿足亂辦=凝，動點M在側面A4i￡）。內運動，且A/BII平面。1EF,則|M￡>|的取值范圍是..如圖，在正方體/BCD-44GA中，E為棱51G的中點，動點尸沿著棱OC從點。向點C移動，對于下列三個結論：①存在點P,使得PA=PE；②△尸4E的面積越來越?。虎鬯拿骟w4小后的體積不變.所有正確的結論的序號是..如圖，在棱長為2的正方體血CD-44GA中，點E為棱co的中點，點尸為底面Z6CQ內一點，給出下列三個論斷：

①4FL8E；②4戶=3;③ =謠sr-以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：..如圖，正三棱柱A8cA向G的所有棱長都相等，E,F,G分別為A8,AAi,AiG的中點，則Bi尸與平面GEF所成角的正弦值為.三、解答題（本大題共7小題，共84.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.（本小題12.0分）如圖，點。是正方形ABCC的中心，CD1DE,CDWEF,CD=2EF=4,ACA.OE.（1）證明：E￡>1平面A8C。；（2）若直線OE與平面ABCO所成角的正切值為丫2,求二面角E-AC-尸的余弦值.2.（本小題12.0分）在邊長為2的菱形ABCO中，4BAD=60。,點E是邊AB的中點（如圖1）,將AAOE沿OE折起到AAiOE的位置，連接48,4C,得到四棱錐Ai-BCCE（如圖2）.

(1)證明：平面48E1平面BC￡>E；(2)若AiElBE,連接CE,求直線CE與平面ACO所成角的正弦值..(本小題12.0分)如圖，四邊形A8CC為矩形，平面ABEF1平面ABCC,EF\\AB,NBA尸=90。，AD=2,AB=AF=\,點P在線段OF上.(1)求證：AF1平面4BCC：(2)若二面角O-4P-C的余弦值為理，求線段PF的長度.3.體小題12.0分)如圖，在長方體ABCD-AiBiCiA中，點E,尸分別在棱DD11asi上，且2DE-E5BF-2PBi.(1)證明：點G在平面AE尸內；(2)若48=2,AD=1,44=3時，求二面角4—遍開一4的正弦值..(本小題12.0分)如圖，在直三棱柱A8C-4B1G中，ACLBC,AC=BC=2,CG=3,點。，E分別在棱A4i和棱CG上，且AO=1,CE=2.(1)設F為BiG中點，求證：4F〃平面8OE；(2)求直線4S與平面BCE所成角的正弦值..(本小題12.0分)已知三棱柱 中，441.底面ABC，ABAC=90°.4小=1，AB=瓜、AC=2,E,尸分別為棱Ci。，BC的中點.(I)求證：ACLA^B-(II)求直線EF與所成的角：(III)求點用到平面43cl的距離，并求三棱錐6「46C］的體積..(本小題12.0分)在如圖所示的六面體ABCDEF中，矩形AOEF1平面ABC。，AB=AD=AF=l,CD=2,CDLAD,AB\\CD.(1)設，為CF中點，證明：B印|平面AOEF；(2)求平面BC/與平面ABC夾角余弦值.(3)求。點到平面BCF的距離..【答案】.【答案】A.【答案】C.【答案】4.【答案】平行6.【答案】6.【答案】1871^

43.【答案】?3.【答案】［g,也通］5.【答案】①@③.【答案】若4尸，砧，則跖3=3△皿；若題皿=囑皿，則4尸，SE..【答案】-5.【答案】解：（1）證明：?.?四邊形A8CC為正方形，XACLOE,BDCOE=O,BD,OEu平面OOE,MCI平面OOE：tOEu平面ODE,..ACLDEiXCDLDE,ACDCD=C,AC,CQu平面A8C￡>, ABCD.（2）以O為坐標原點，五4萬寸,血的正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,??EDI平面A8CQ,.?.直線OE與平面ABCD所成角為4EOD,EDED 42za????tanZJEQD=—_=——,解得：ED-2：OD26 2：.E(0,0,2),A(4,0,0),C(0,4,0),F(0,2,2),?怒=(-4,4,0)，0=(—4,0,2)，k=(0,—42)，設平面EAC的法向量百=(第》/)，

'皆?■=士+劭=0,令E,'皆?■=士+劭=0,令E,、A￡?1?=-4x+&=0解得：y=Lz=2,>.r?= ；設平面FAC的法向量而=（巴瓦。）,則(詞‘號="+助=°,令。=1,解得：b=l、耐?B=—26+2e=0，力.、石,討4 2x/2???coe<m,tr>=心一6=-j=——五--z-，利,同《xg3c=LAfit?(1,1,1)；?.?二面角￡-AC-尸為銳二面角，.??二面角E-4C-尸的余弦值為望.313.【答案】（1）證明：???菱形ABCQ,且484。=60。，.?.△ABO為等邊三角形，???￡為A8的中點，.?.OE1AB,■■DE1BE,DELA\E,XBECiA]E=E,BE、4Eu平面ABE,；.￡)￡□"平面A\BE,???OEu平面BCDE,???平面4BE1平面BCDE.（2）解：由（1）知，平面AiBEl平面BCOE,■■AiELBE,平面48ETI平面BCDE=BE,.?.AiEl平面BCDE,以E為原點，ED,EB,E4i所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,貝ij4(0,0,1),C(/，2,0),。(遍，0,0),E(0,0,0),E(}=(y/3>2,0),Aid=(y/i，0,-1)，gt3=(°，-2,0),設平面AC￡>的法向量為討=(x,y,z),則|討'%=°,即/丑一：=°7?.CD=0I一如=U令x=l,則y=0,k6、-7?=(1,0,6)，設直線CE與平面4CO所成角為0,則sinO=|cos<!?,動 番|=|/^|=察，In|■|.&0|xvT14故直線CE與平面48所成角的正弦值為里.1414.【答案】⑴證明:???NBAF=90°,W又平面ABEF_L平面ABC￡>,平面ABEFQ平面ABCD=ABAFC平面ABEF,.?.AF_L平面ABCD,(2)以A為原點，以為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0),B(l,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0).F(0,0,1).麗=(0,2,-l)，x^=(l,2,0). =(1,0,0)由題知,4B_L平面AOE/.抽=(1,0,0)為平面A。尸的一個法向量，設司=入血(。<入〈1)，則R0,2入,1-4)，:7?=(。，2入，1-4).設平面APC的一個法向量為耐=(x,y,z),則(利母=0、君=Qr2At+(l-A>=0*?Ih+物=0令產1,可得耐=(-2,1, ).入一，/_ |nt?初I 2 瓜?,"珂=麗=】皿1+(削竽

得入=:或入=-1(舍去).3二尸尸=￡3.【答案】(1)證明：?.?在長方體ABC。一出BiGA中，點耳產分別在棱_DD11HHi上，且2DE=孫BF=2PBi,設A8=a，AD=b，44i=c，如圖建立空間直角坐標系G—xj必.連結C.F,則G1(0,0,0)，A(a,6,e),E(c,0,上)，F(xiàn)(0,b,〈c)，就=(0,4gc),取=(0,6,1e),3 3 3 3得瓦i=G?-因此EA//G1尸，即凡E,死Gt四點共面，所以點G在平面4E下內.(2)解：由已知得4(2,1,3),￡(2,0,2),F(0,1,1),41(2,1,0),港=(0,—1,一1)，A?=(-2,0,-2).松=(0,-1,2)，=(-2,0,1)設冠=區(qū)仇方)為平面AEE的法向量，則中貨=0,即《罷工?可取材=(Tfi).nt.3^=0,I-2?-2^=0, 、 ―設福為平面4防的法向量，則，設福為平面4防的法向量，則，、na?AlF=01 ”因為coe餌,詞=儒喘=一苧，所以二面角A-ER41的正弦值為年?

所以FG||CG||A41,且FG=.【答案】解：(1)證明：取BE的中點G,連接尸G,DG,因為在直三棱柱所以FG||CG||A41,且FG=所以FG&41D，所以四邊形4OGF為平行四邊形,所以4尸||￡>G,又4FC平面BDE,OGu平面BDE,所以41尸〃平面BDE；(2)因為在直三棱柱ABC-AiEg中，AC1BC,所以CA,CB,CCi兩兩垂宜，以C為原點，分別以@49，就的方向為x軸，丫軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,2,0),遍(0,0,2),D(2,0,1),A(2,0,0)，得至|J近=(0,-2,2),赤=(2,-2,1),A[B[=^3=(-2,2,0)-設平面BDE法向量為它=(?,{/,，則時,獨=0,下,亙4=0,而一知+*=o所以(2x-2j/+^=0，令產1，得到平面BCE的一個法向量為討=，設直線AtBi與平面BDE所成角為0,.?I x(-2)+1x24-1x0|6則gine=C06<部>=?j— —" '=y+1+1,W+4+0即直線41Hl與平面BQE所成角的正弦值為避.6.【答案】⑺因為三棱柱ABC-AxBxCx，44i_L底面ABC,ACU平面ABC,所以AC±AAr.因為ABAC=90°.所以ACLAB.因為A-iAQAB=A,AiAABCAiABBt，所以4CLL平面力lABBi.因為ABcW^iABB1,所以ACLA^B.(//)(法一：綜合幾何定義法)連接8G，在四邊形6CG與中，

因為E,F分別為棱CiC,BC的中點,所以EF//BC\.所以直線EF與AXB所成的角為NZ/G或其補角.由（/）知4CJ■平面4AB81,4C〃4G，所以4G-L面必,4BC平面小ABB1,所以4G，《胴因為441=1,AB=V3<ABIAA-l，所以4。=4G=2,所以NA1BG=45°,所以直線EF與小8所成的角為45。.（法二：向量坐標法）因為AiA±底面ABC,ZBAC=90°，AB.ACG平面ABC,所以必_LAff,明_L4C,犯_LNC所以如圖建立空間宜角坐標系A-xyz,則4則4（0,0,1）,B（A0,0）,E（0,2,；）,尸（空，1,0所以瓦（8,0,-1）,次=（漁,所以00s（硒呵=森魯考?所以直線EF與AB所成的角為45°.（IID（法一）等體積法因為AiA±底面ABC,陷HBBV所以仍?_l面431cl，伙上ag設點Bx到平面48cl的距離為h,?/zBlA!C1=90°,/.ABi±ACi?；41BlnAAl=A-lAiAAiBiC平面AtABBi,：.4G工面4ABB],又為Bc平面4ABB1,所以4G_L4&=1x2x2=2,Smac,=A因為曝ABC.=匕Jarc，BBi=1,所以~hS^BC——|BBt|S”用q.所以而=2=半.S謝 2所以％-的=%-v1G=；I明Is.瑪6=-y-（法二）向量坐標法因為414L底面ABC,Z.BAC=90°，所以必_L初,陷_LZC,初_LAC.所以如圖建立空間直角坐標系A-xyz,

所以4(0,0,1),B(Ao,O),q(0,2,1).V福=(Ao,-1)，4Q=(0,2,0),設面平面43G的法向量X=(工4/),,討'A*=0n