初中數(shù)學(xué)華東師大九年級(jí)上冊(cè)第章圖形的相似-《中位線》

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道三角形中位線的概念。2.經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理的形成過(guò)程，掌握定理，并能利用它們解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用三角形中位線定理解決問(wèn)題。難點(diǎn)：三角形中位線性質(zhì)定理的分析與證明。在23.3節(jié)中，我們?cè)玫饺缦陆Y(jié)論:如圖,在△ABC中，DE//BC，則△ADE∽△ABC.在推理過(guò)程中，我們由DE∥BC推得那么當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，利用該比例式容易推知點(diǎn)E也是AC的中點(diǎn)，并且現(xiàn)在換一個(gè)角度考慮，如果已知點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，那么是否可以推出DE//BC?DE與BC之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？A新課導(dǎo)入1知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線猜想如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC

的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE//BC,且DE=BC.C

小組合作一、要求1.每位同學(xué)先各自畫圖證明探究2.然后各小組成員一起畫圖證明推導(dǎo)檢查3.組長(zhǎng)組內(nèi)各自檢查，探討是否有不同方法4.各組派一名代表將成果上傳并上臺(tái)講解在△ABC中，∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠ABC,∴證明：C思考：本題還有其他的解法嗎？ABCEDFABCEDNM要證DE∥BC，可延長(zhǎng)DE

到F，使EF=DE，于是本題就轉(zhuǎn)化為證明DF=BC，DE∥BC，故只要證明四邊形BCFD

為平行四邊形.1.三角形中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．一個(gè)三角形共有3條中位線.易錯(cuò)警示：三角形的中位線要與三角形的中線嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)，三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中線是三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線．三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

拓展：由三角形三條中位線組成的三角形與原三角形相似，它的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的，面積等于原三角形面積的

例1

如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC

的中點(diǎn)，若BC＝6cm，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．直接根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．因?yàn)镈，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE＝BC＝×6＝3(cm)．3cm導(dǎo)引：證明：連結(jié)DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,∴DE//AC(三角形的中位線平行于第

三邊，并且等于第三邊的一半).同理可得EF//BA.

∴四邊形ADEF是平行四邊形.

∴

AE、DF互相平分.例2

求證:三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相

平分.已知：如圖,在△ABC中，AD=DB，BE=EC,AF=FC.求證：AE、DF互相平分.總結(jié)三角形的中位線定理是證明兩條線段倍分關(guān)系的重要依據(jù)．當(dāng)已知線段的中點(diǎn)求某條線段的長(zhǎng)度時(shí)，通常要考慮運(yùn)用三角形的中位線定理解答．如圖，以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)小試牛刀2如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數(shù)是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°熟能生巧3.如圖，在□ABCD中，有E、F

分別是AD、BC上的點(diǎn)，且DE=CF，BE

和AF

的交點(diǎn)為M，CE

和DF

的交點(diǎn)為N.求證：MN∥AD，解：連結(jié)EF，證四邊形ABFE

和四邊形DCFE

均為平行四邊形，得FM=AM，F(xiàn)N=DN.∴MN∥AD，大展身手運(yùn)用中位線定理證明線段相等或計(jì)算線段長(zhǎng)度的方法：

當(dāng)題目中有中點(diǎn)時(shí)，特別是有兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，如果中點(diǎn)都在一個(gè)三角形中，直接用中位線定理.如果不在一個(gè)三角形中，就需要作輔助