高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.1 直線與平面垂直的判定 新人教A必修2

2.3

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)編輯ppt2.3.1直線與平面垂直的判定編輯ppt1.理解并掌握直線與平面垂直的定義,明確定義中“任意”兩字的重要性.2.掌握直線與平面垂直的判定定理,并能解決有關(guān)線面垂直的問題.3.了解直線和平面所成的角的含義,并知道其求法.編輯ppt1231.直線與平面垂直

編輯ppt123名師點撥

1.定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同義,與“無數(shù)條直線”不是同義.2.直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.3.由直線與平面垂直的定義,得如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.編輯ppt123【做一做1】

已知直線l⊥平面α,直線m?α,則l與m不可能(

)A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直解析:因為直線l⊥平面α,所以l與α相交,又因為m?α,所以l與m相交或異面.由直線與平面垂直的定義,可知l⊥m.故l與m不可能平行.答案:A編輯ppt1232.判定定理

編輯ppt123【做一做2】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥AC,求證:AC⊥平面BDD1B1.證明:因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因為BB1⊥AC,BD?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1.編輯ppt1233.直線和平面所成的角(1)定義:一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)規(guī)定:一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°的角.因此,直線與平面所成的角α的范圍是0°≤α≤90°.編輯ppt123歸納總結(jié)斜線與平面所成的角(空間角)是用斜線和其射影所成的角(平面角)來定義的,因此,其求解策略也是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.要注意,斜線與平面所成角的大小不受選擇點的位置的限制;作出斜線的射影是求斜線和平面所成角的關(guān)鍵.編輯ppt123【做一做3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角的度數(shù)是

.

解析:因為B1B⊥平面ABCD,所以∠B1AB是AB1與平面ABCD所成的角.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1是正方形,所以∠B1AB=45°.答案:45°編輯ppt121.理解直線與平面垂直的判定定理剖析:(1)在判定定理的條件中,“平面內(nèi)兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語,此處強調(diào)相交.(2)要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直,只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.至于這兩條直線是否與已知直線有交點,這是無關(guān)緊要的.(3)判定定理是由線線垂直推導(dǎo)出線面垂直,其最終仍歸結(jié)為證明線線垂直,即證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.(4)判定線面垂直的方法有:①利用線面垂直的定義:一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,則該直線垂直于這個平面;②利用線面垂直的判定定理.編輯ppt12知識拓展過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直,過一點有且僅有一個平面與已知直線垂直.編輯ppt122.一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線,這條直線不一定垂直于這個平面剖析:如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,在棱AB上任取一點E,過點E作EF∥AD交CD于點F,則這樣的直線能夠作無數(shù)條.很明顯直線AB垂直于平面AC內(nèi)的無數(shù)條直線,而直線AB?平面AC;直線A1B1也垂直于平面AC內(nèi)的無數(shù)條直線,而直線A1B1∥平面AC.其原因是,雖然這兩條直線都垂直于平面AC內(nèi)的無數(shù)條直線,但是這無數(shù)條直線是互相平行的,沒有兩條相交的直線,所以不滿足直線和平面垂直的判定定理的條件“兩條相交直線”.因此,一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線,這條直線不一定垂直于這個平面.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例1】

如圖,已知PA⊥BC,AB是☉O的直徑,C是☉O上不同于點A,B的任意一點,過點A作AE⊥PC于點E.求證:AE⊥平面PBC.證明:因為AB是☉O的直徑,所以BC⊥AC.因為PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC,所以BC⊥AE.因為PC⊥AE,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟:(1)在這個平面內(nèi)找出兩條直線,使它和已知直線垂直;(2)確定這個平面內(nèi)的這兩條直線是相交直線;(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

如圖,在三棱錐S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,且SA=SB=SC.(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.證明:(1)因為SA=SC,D是AC的中點,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例2】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直線PC與平面ABCD所成的角的大小.編輯ppt題型一題型二題型三題型四編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思求斜線與平面所成的角的步驟:(1)作圖:作(或找)出斜線在平面上的射影,將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角),作射影要過斜線上一點作平面的垂線,再過垂足和斜足(有時可以是兩垂足)作直線,注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中的已知量有關(guān),才能便于計算.(2)證明:證明找出的平面角是斜線與平面所成的角.(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】

如圖,PA⊥平面ABCD,ABCD為正方形,且PA=AD,E,F分別是線段PA,CD的中點.求EF和平面ABCD所成的角的正切值.編輯ppt題型一題型二題型三題型四編輯ppt題型一題型二題型三題型四如圖,已知矩形ABCD,過點A作SA⊥平面AC,連接SB,SC,SD,再過點A作AE⊥SB交SB于點E,過點E作EF⊥SC交SC于點F,連接AF.求證:AF⊥SC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四證明:因為SA⊥平面AC,BC?平面AC,所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD為矩形,所以AB⊥BC.又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB,所以BC⊥AE.因為SB⊥AE,且SB∩BC=B,所以AE⊥平面SBC.因為SC?平面SBC,所以AE⊥SC.因為EF⊥SC,且AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF.因為AF?平面AEF,所以AF⊥SC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思證明兩條直線垂直,常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直,即把其中一條直線放在一個平面內(nèi),證明另一條直線垂直于該平面.

編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】

如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥BE.證明:因為AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,所以AE⊥BC.因為BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF.因為BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,所以AE⊥BE.編輯ppt題型一題型二題型三題型四易錯點:證明線面垂直不嚴(yán)密而致錯【例4】

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,D是AB的中點,連接CD.求證:CD⊥平面ABB1A1.錯解:證明:因為AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以CD⊥AA1.又BB1∥AA1,所以CD⊥BB1.又AA1?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1,所以CD⊥平面ABB1A1.錯因分析:錯解中AA1和BB1是平面ABB1A1內(nèi)的兩條平行直線,不是相交直線,故不滿足直線與平面垂直的判定定理的條件.編輯ppt題型一題型二題型三題型四正解:證明