2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專(zhuān)題提升：第29講證明數(shù)列不等式：通項(xiàng)法（解析版）

第29講證明數(shù)列不等式:通項(xiàng)法參考答案與試題解析解答題(共10小題)1.(2021秋?邛珠市月考)已知函數(shù)/*)=*/〃(1+、)一&X+1)(》>0),其中a為實(shí)常數(shù).(1)若函數(shù)g(x)=/'(x)-二士..0定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；+JV(2)證明：當(dāng)a=O時(shí)，冬”1;求證：一+一+...4 <ln(l+M)<1H—+—F...+-?3 〃+1 23n【解答】解：(1)由題意g(%)=」(1+x) - a,xe[0,+oo)l+x一0則g'(x)=」一 2- 一01+x(1+x)2(1+x)2即g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,5(0)=0.ag(—oo,0]；(2)即證加(l+x),x,xe[0?4-qo),設(shè)h(x)=ln(l+x)-x(x>0),〃'(x)= 1= ?0l+x1+x.??〃(X)在[0,+oo)上單調(diào)遞減,???h(x\.獻(xiàn)0)=0,/./n(l+x)?x,xg[0,+qo)；(3)利用「一斐帆(l+x)X?XG[0,4-00),X+1令X=1,得：nTOC\o"1-5"\h\z—<Inn—ln(n-1)< ,n n-l累力口得：1 F??.H </zi(l4-M)<1H 1 F?..H>23 〃+l 23n

.?.當(dāng)a=0時(shí)，華,,1;2.(2021?廣州二模)已知數(shù)列｛4｝和｛"｝滿(mǎn)足q=4，且對(duì)任意〃eN*都有4+d=1,—b“a?i-d(1)求數(shù)列｛a,,｝和｛"｝的通項(xiàng)公式；(2)證明：生+生+2+...+-</〃(1+〃)<幺+&+%+...+%.瓦打b4% bxb2b3b?【解答】(1)解：?.?對(duì)任意〃wN*都有a,,+d=l，—a, 1—a~是首項(xiàng)為上67.公差為是首項(xiàng)為上67.公差為1的等差數(shù)列.1 1 .n""二商’包=~"=而(2)證明：???〃“=---，b=-n-,/.—=—〃+1 /?+1bnn所證不等式&+冬+芻+...+.</〃(1+〃)<5+烏+&+...+”,瓦占b4% 瓦h(yuǎn)-h3bnTOC\o"1-5"\h\zHn11 1 1 ，八、，11 1即一十一+—+...+ </7?(1+7?)<14--+-+ .234 n+1 23 n①先證右邊不等式：/n(l+7?)<14--+-+...+-.23n1 jr令y(x)=加a+X)-x，則r(幻=—1=—.14-X 1+X當(dāng)x>0時(shí)，/V)<o,所以函數(shù)/(x)在［0,+00)上單調(diào)遞減.?.?當(dāng)x>0時(shí)，f(x)</(0)=0,即ln(\+x)<x.

分別取x=l,得ln(y+1)+ln(\+—)+/n(l+—)+...+Z/?(l+—)<1+—+—+...+—?2 3 n23nTOC\o"1-5"\h\zBPH(1+1)-(1+-)(1+-)...(1+ +-+-+ .2 3n23njl,nn,/c3 4 〃+l 1 1 1t!2l、|J/〃(2x—x—x...x )<1h—h F...4—?2 3n 2 3 n即歷(l+〃)vl+—+-+ .23n②再證左邊不等式：L+；L+_L+…+」_<加(1+〃).234 〃+1令/W=/n(l+x)———,則f\x)=- r=―^—7?\+x 1+x(l+x)2(1+x)2當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,所以函數(shù)/(x)在[0,+00)上單調(diào)遞增.，當(dāng)x>0時(shí)，/W>/(0)=0,即加+l+xTOC\o"1-5"\h\z分別取x= .23nfln{\+1)+ln(\+—)+/〃(1+-)+.??+加(1+—)>—4--4-...4- .B|J/n[(l+1)-(1+-)-(1+-)??(1+-)]>-+-+...4-^—.2 3n23 1+n必nn- 3 4 〃+1、 1 1 1也l、|J/〃(2x—x—x...x )>—I—+...H ?23n23 1+〃即歷(1+〃)>—+—+...+ .23 1+n&+之+芻+…+―<加(1+〃)<%+粵+芻+...+%瓦/b?% "b2h3hn3.(2021秋?泰山區(qū)校級(jí)月考)設(shè)函數(shù)= ,其中bxO.111++—> "111++—> "32〃+1(2)當(dāng)"wN*且〃..2時(shí)證明不等式：何(」+1)(」+1>..(2+1)]+4+1+.2 3n2'3'b2(x+]+&-；【解答】解：(1)f'(x)=2x+—= Z 2.(x>-l),X+l X+1當(dāng)b…;時(shí)，r(x)..O,/(x)在X>-1上遞增；,1 ，，/、八m俎-T-Jl—2b -1+\]\-2bIh<一,J(X)=0>flrrru,Xj- - ,X,- - ，①當(dāng)。vO時(shí)，王〈一1, >-1,fr(x)>0,Wx>x2,fr(x)<0>得-lvx〈w，②當(dāng)0<b<；時(shí)，%>一1,毛>一1,f\x)>O,f^x>x2?—\<x<x}ff\x)<0，得石vxvw；綜上可得，當(dāng)?！?時(shí)，/Xx)的增區(qū)間為(-l,+oo)；當(dāng)b<0時(shí)，/(x)的增區(qū)間為(7+ ,用)，減區(qū)間為(_i,土”^)；當(dāng)0<b<>5?時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(T+'二"，+00),(-1,-^-2-)2 2 2減區(qū)間為(二1嚕至，二1孚至)；(2)占=一1時(shí)，f(x)=x2-ln(x+l)t令〃(元)=/一/(幻二丁-%2+/n(x+l),hf(x)=-X——~~匕在x..O恒正，x+1力(x)在[0,+<?)遞增,x>0時(shí)，h(x)>/i(0)=0,即當(dāng)x>0時(shí),x3-x24-ln(x+1)>0,即歷(x+i)+v>x2,對(duì)任意的〃為正整數(shù)，^x=~,有加(i+3+4>-Un nnn"則/〃K/+1)(§+1)???(力+D]+尹+于+???+/=加(1+—)+加(1+[)+...+ln(\+-)+-r+—r4-...+-r2 3 nT33n3=//7(l4--)+-4-ln(l+—)+—+ 4-ln(\+—)+—2 23 333 nn311> + +?..+2x33x4l__l i___1^三+丁匚…+丁而2__i(2021?成都模擬)(2021?成都模擬)已知函數(shù)f(x)=or+^~-+1-2a-Inx?aeR.x(/)若〃=-1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若/(x)..O在xe[l,+oo)上恒成立，求正數(shù)〃的取值范圍;(III)證明：1+'+4+?..+，>/〃(〃+1)+——-——(〃eN")?23n 25+1)9【解答】解：(/)當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=-x---lnx-3,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鹸|x>0),X則/'(x)則/'(x)=—x2-x+2—(x—l)(x+2)，則當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增;則當(dāng)X€(l,+oo)時(shí)，/'(%)<0,則/Xx)單調(diào)遞減;+00),則/(1)=0.所以/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為+00),則/(1)=0.(II)因?yàn)閒(x)=ax+-~-+1-2a-Inx?xg［1>xXTXax2XTXax2—x—(a—1)=4(x-l)(x--).

r a①當(dāng)Ovav',時(shí)，此時(shí)上工>1,當(dāng)Ivxv 則/'(x)vO，/(x)在U，上工］上是減函數(shù)，所以在(1,上g)上存在公,a a a使得/(%)</(1)<0,/。)..0在［1,+oo)上不恒成立;②當(dāng)a.g時(shí)，—?1,f'(x)..O在［1,+oo)上成立，f(x)在［1,+oo)上是增函數(shù)，(1)=0,f(x)..O在［1,+O0)上恒成立,綜上所述'所求a的取值范圍為位,內(nèi));(HI)由(II)知當(dāng)a.」時(shí)，/*)..0在［1,+oo)上恒成立，ar+—+l-2a-/nr?(x1),

2 x令a=一,Yj—(x—)..Inx?2 2x芻4>1時(shí)，一(x—)>Inx,2x人 k+\看,Z+l1k+\k、lr/11八1、］令-丁' 丁一萬(wàn)1)=產(chǎn)十%)一(|-1771'n,將上述"個(gè)不等式依次相加得:即加(攵+1)—加Zv,(L+—,k=l,2,3n,將上述"個(gè)不等式依次相加得:ln(n+l)<-+(-+-+...+-)+―5—2 23n2(〃+1)整理得1+—+—+.>/〃(〃+1)H ——(H..1).23n 2(〃+1)(2021?廣元模擬)已知函數(shù)/(x)=/nr,g(x)=；ax+b.(I)若/(x)與g(x)在x=l處相切，試求g(x)的表達(dá)式;(II)(II)若底在口,

X+1+00)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;(III)證明不等式:(III)證明不等式:——+——+——+In2In3In4【解答】解：(I)由于f(x)與g(x)在X=1處相切TOC\o"1-5"\h\z11.f\x)=—ff(\)=\=—a^：a=2 (2分)x 2又?.?g(l)=0=—a+h.\b=—l.\g(x)=x-l (3分)(II)叭4=m3.1)_/&)=㈣匕)—法在口,+8)上是減函數(shù)，X+1 X+1“(x)=7+(2"一"-1,,0在口，+00)上恒成立. (5分)x(x+iy即V一(2加-2)x+l..0在[1,+oo)上恒成立，由2e一2Mx+』，xe[l,+oo)x又??,x4--e[2,4-oo)2m-2,,2得〃12 (7分)x(III)由(II)可得：當(dāng)機(jī)=2時(shí)：°(x)=~~~—Inx在[1f4-oo)上是減函數(shù)，x+\???當(dāng)X???當(dāng)X>1時(shí)：。(幻V。(1)=0即 ——-live<0x+1所以/我＞空a從而得到:X+11 1X+1 V—? Inx2x—1(10分)1 13當(dāng)x=2時(shí)：—ln221當(dāng)％=3時(shí)：—In322當(dāng)x=〃+1時(shí)： < +2,neN,n..2勿(〃+1)2n上述不等式相加得:1111 1 1 F...H ln2 Iriiln4 /n(n+l)

/(阜+*+...+嗚2123nTOC\o"1-5"\h\zHn1 1 1 1 〃 I1 1 I，*， 小即 4 F 1-…+ <-4-1H 1—+…+-.(wGN.,n..2)ln2 加3 In4 ln(n+1) 2 2 3 n（12分）,、干□口1 135 2n-\ 1（其中〃￡N”）.o.iih明： v—?~?■―（其中〃￡N”）.27?+12462nJ2〃+1【解答】證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:(1(1)先證明：—<1-2〃+12462〃一1

2n①當(dāng)〃=1時(shí)，命題顯然成立;②假設(shè)當(dāng)〃=攵3.2）時(shí)，有2Z+②假設(shè)當(dāng)〃=攵3.2）時(shí)，有2Z+124621,2knlll1352k2A+1貝一?—?—?...?1 22+12k飛伏+1)>22+1%伏+1)-2伏+1)即當(dāng)〃=攵+1時(shí)，命題也成立;由①、②可知*4隹2〃一12n1 135由①、②可知*4隹2〃一12n1 135(2)再證明：—:2〃+12462〃-112n42n+l①當(dāng)〃=1時(shí)，命題顯然成立;I?5②假設(shè)當(dāng)〃=攵/..2)時(shí)，有L二2,

2462k-\.? </2kJ2Z+12k-\2*4-124+12k,2(女+1)<逝女+12(%+1)，2k+l

2k+2<2k+1< 2A+11J2k+T即當(dāng)〃=4+1時(shí)，命題也成立;由①、②可知，金金.…三二2462n2〃+1綜上所述,綜上所述,1 135 <一?—?—?.2〃+12462n-1 1? v/ 2nv2n+l7.設(shè)〃eN,求證:(1)J1+1_1<-4 ~r=+…+—~F=< ;22y]2 2\/n(2)12n+l(2)12n+lX3-X3-4X1-CM2n-\.x <2n-(neN*).J2n+l【解答】證明：(1)①〃=1時(shí)，結(jié)論成立；TOC\o"1-5"\h\z 1 1 1②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，BPyjk+1—1<—H/=+...+—=<\[k?22x/2 2a, I II ] ] i九=A+1時(shí)，J、+1-1+/V1 f+...H f=4 ]VyfkH / ，2VT+122V2 14k2Vm2vm1 1 1 1r12jk(k+l)+l女+%+1+1 n--??,1 f+...H -4/ <kT/ < / < / —=k+1,22V22ylk2Vm2VI+12Vm2Vm-+—+…+-4=+—r——>〃+l-1+―J=="：2+?-1>J&+2-1,22V2 2VI2vm 2vm2Vm.??當(dāng)〃=2+1時(shí)，不等式也成立.由①②可知，不等式成立：(2)v4n32n-l213 2n-\242n1(—X-X...X )V-X—X...32n-l213 2n-\242n1(—X-X...X )V-X—X...X X-X-X,..X , ，4 2/1 24In352n+l2/7+1-X——X...X >-X-X.,.X = ?242n35 2〃+12〃+113 2n-l1:. <-X-X...X V-. r.2〃+1242n J2n+l8.(2021春?太原校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=/〃(x+a)-x2-x在x=0處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)。的值，并討論"X)的單調(diào)性；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)"，不等式2+。+&+…+”>歷(〃+1)都成立.49n2

【解答】解：⑴f(x)=ln(x+a)-x2-x?r（x）= 2x-\,x+a當(dāng)x=0時(shí)，/（x）取得極值，（（0）=o，解得62=1,經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意,.?。?尸（233）,當(dāng)xw（-1,0）時(shí)，/'（x）＞0,于是f（x）在（-1,0）上單調(diào)遞增；當(dāng)XW（O,+8）時(shí),f\x）＜0,于是/（X）在（0,用）上單調(diào)遞減.（2）法一：山（1）得：f（0）是/*）在（一1,物）上的最大值,,故加（x+D-f-x,。，（當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)，"=”成立）,對(duì)任意正整數(shù)"，取X=!>0得：//!(—+1)<—+^-.n nnnTOC\o"1-5"\h\z,，九+1、 〃+1加( )<——，nn"+/rc34 〃+1 ._.3 .4 n4-1“乂2H 1 1~...4 >In2+/〃—fIn—+...+/〃 =ln(n+1)；49n2 2 3 n(方法二)數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)〃=]時(shí)，左邊=\?=2,右邊=加(1+1)=加2,顯然2>/〃2,不等式成立.假設(shè)A..1)時(shí)，2+^+[+...+燮>>(左+1)成立，niili1n4--jEr/-? 3 4A+l&+2Z+2 ..八則〃=4+1H'J?jJ2+—i f...4 -i -> 7+ln(k+1)；49k2(A:+l)2伏+1> ' '1+僅+1產(chǎn)j,/.?(.w .,.、... k+2 +2Z+2 . 11+僅+1產(chǎn)作2^,比4父：ln(k4-2)-l〃(k+1) 7=In =加(1h )—( 伏+1>Z+1/+1)2攵+1攵+1構(gòu)建函數(shù)尸(X)=/〃(1+X)—X-f(X￡(0,l)),則尸，(幻=二處+3)<0,.?.尸(x)在(0,1),X+]單調(diào)遞減，/.F(x)<F(0)=0,取x=~-(k..l,keN)?/n(l+---)—(---+———7)<尸(0)=0,k+\ k+\ %+1(攵+1)4+2 A+2即妨伏+2)—加(A+1)—」三=加上—上土二<0,伏+1)2k+\(2+1)2"+2亦即 7+加(2+1)>加(Z+2),*+1)-

ij,,［口卜/c3 4k+1k+2Z+2 .. 個(gè)4乂〃=R+1時(shí)，jJ24—4—4"...4 4 -> 7+/〃伏+1)>l〃(k+2)?4 9 公(2+］)2 (4+］)2不等式成立，綜上小知，對(duì)任意的正整數(shù)”，不等式2+3+3+…+41>/〃(〃+1)都成立：49n~士升一 c34 〃+1f?+>x4-l.方法二 2H—H F...—；—>I—T-dx49 ”2人產(chǎn)=ln(n+1)—/〃1 r—35+1)33=/〃(〃+1) 5-^-+-3(〃+1尸3>ln(n+1).9.(2021?河北模擬)已知函數(shù)/(x)=x2+x-加(兀+。)+30在x=O處取得極值0.(I)求實(shí)數(shù)%6的值；(II)若關(guān)于x的方程f(x)=3x+m在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；(III)證明：對(duì)任意的正整數(shù)〃〉/,不等式1+1+工+…〃些'都成立.23 n-\ 2【解答】解：(/)由已知得八x)=2x+l———,x+a???在x=O處取得極值0,???/'(0)=0,r(o)=o,解得：a=1,b=0.(//)由(/)知/。)=丁+工一加(1+幻.則方程= +m即x2+x-ln(l+x)--x-m=0,令H(x)=x2+x-ln(\+x)-^x-m,則方程H(x)=0在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,H\x)H\x)=2x X+1(4x+5)(x-l)

2(x+l).,.當(dāng)xe(0,l)時(shí)，H'(x)<0,故"(x)在(0,1)上是減函數(shù);當(dāng)xw(1,2)時(shí)，H'(x)>0,故H(x)在(1,2)上是增函數(shù):

/7(O)=-m..O從而有：J/7(1)=---M2-/h<0,2H(2)=1-Irii-m..0 加2vttify1一加3.(〃/)由(/)知f(x)=/+x-加(1+x)的定義域?yàn)?-1,+00),且ra且ra)=x(2x+3)

x+1當(dāng)xw(T,0)時(shí),f'(x)vO,故"(x)在(-1,0)上是減函數(shù);當(dāng)xe(0,+?))時(shí)，f\x)<0,故〃(x)在(0,內(nèi))卜.是增函數(shù);/./(0)為/(x)在(-1,+00)上的最小值，.?./(x)../(0)=0,故x?+x../〃(l+x),其中當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,對(duì)任意正整數(shù)"，x=—.W+—>/n(—+1)=ln(n+1)-Inn.nyVnn 1—>/〃(〃+1)-Inn,n(n—1)n從而有：一-—>ln(n4-1)-Inn?分別取〃=2,3?...?n,得到：n-\,11 1 .z 八， +14 F—F...H >/n3—/〃2+...+ 4-I)—Inn—In. 3 n-1 2故1+'+成立.23zi-l210.(2021?江西二模)已知函數(shù)/(x)=gor2+/nx,(1)若曲線(xiàn)y=f(x)在x=\處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y=0垂直，求「｛g+l"(x—1)—f(x—l)dx的值；(2)若函數(shù)/(x)在(1,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；e(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù)"，不等式4+2+3...+(