2023年人教版高考數(shù)學總復習情境試題創(chuàng)新練（三）數(shù)列

情境試題創(chuàng)新練(三)數(shù)列(2021?邯鄲模擬)數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了F=22"+l(n=0,1,2,???)是質數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算出￡=641X6700417,不是質數(shù).現(xiàn)設a=logq(￡,—1)(〃=1,2,―),S表示數(shù)列｛a』的前〃項和.若32s=63a〃，則〃=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選B.因為制=2?"+1(〃=0,1,2,…),所以a.=log4(A,-1)=log.i(2*+1-1)=log,22"=2"~',所以｛aj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以S=1?一，')=2-1.1—乙所以32⑵-1)=63X21,解得〃=6.(2021?湛江模擬)我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長度為5尺，頭部的1尺,重4斤；尾部的1尺，重2斤；且從頭到尾，每一尺的質量構成等差數(shù)列.”則下列說法正確的是()A.該金錘中間一尺重3.5斤B.中間三尺的質量和是頭尾兩尺質量和的3倍C.該金錘的質量為15斤D.該金錘相鄰兩尺的質量之差為1.5斤【解析】選C.設該等差數(shù)列為｛4｝,公差為d,a=2,團=4,則4+4d=2,解得d=—g.TOC\o"1-5"\h\z? 1/ 、9-n所以4=4—/(/?—1)=—^―,cc5義(2+4) L所以&=3,W= 2 =15,7 5所以國+及+國=5+3+~=9,4+國=6.3.圖一為勾股樹，它是由一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到的.圖二是第1代勾股樹，重復圖二的作法，得到圖三為第2代勾股樹，以此類推，已知最大的正方形面積為1,則第〃代勾股樹所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（）圖一 圖圖一 圖二圖三A.2"-1,nC.2n+,-l,n【解析】選D.當〃=1時，正方形有20+2］個，當〃=2時，正方形有2°+2'+22個……則第〃代勾股樹的正方形有2°+21+22+-+2fl=2n+,-l個，最大的正方形面積為1,當〃=1時，由勾股定理知正方形面積的和為2,以此類推，所有正方形面積的和為〃+1.4.九連環(huán)是一種廣為流傳的益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)，決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用為表示解下AWN*）個圓環(huán)所需的最（2a1彳禺少移動次數(shù)，數(shù)列｛4｝滿足4=1,且a=y太物，則解下5個圓環(huán)所需的最少12azi-+2,〃為奇數(shù)移動次數(shù)為（）A.7B.10C.16D.22【解析】選C.數(shù)列｛4｝滿足句=1,〃為偶數(shù)且“=12a-+2,n為奇數(shù)'教師專用所以統(tǒng)=1,4=4,a1=7,55教師專用【加練備選】南宋著名數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學史上的一個偉大的成就.在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構成的數(shù)列為等比數(shù)列且數(shù)列前〃項和為S，210g式6+1）—1,則金⑼的值為11()11()A.4041B.4043C.4039D.4037【解析】選A.因為每一行的數(shù)字之和構成的數(shù)列為等比數(shù)列，且第一行的數(shù)字之和為1,第二行的數(shù)字之和為2,第三行的數(shù)字之和為4,所以該等比數(shù)列首項為1,公比為2,所以S1-2" ?=2f,所以4=210g2（S+1）—l=21og220-1=2/7—1,所以金021=4041.5.（2021??？谀M）隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進，以數(shù)字化、網(wǎng)絡化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎設施建設越來越受到關注.5G基站建設就是“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國已累計開通5G基站超70萬個，未來將進一步完善基礎網(wǎng)絡體系，穩(wěn)步推進5G網(wǎng)絡建設，實現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡覆蓋.2021年1月計劃新建設5萬個5G基站，以后每個月比上一個月多建設1萬個，預計我國累計開通500萬個5G基站時要到（ ）A.2022年12月 B.2023年2月C.2023年4月 D.2023年6月【解析】選B.每個月開通5G基站的個數(shù)是以5為首項，1為公差的等差數(shù)列，設預計我國累計開通500萬個5G基站需要n個月，則X1=500,化簡整理得6+9〃一860=0解得25.17或一34.17（舍負），所以預計我國累計開通500萬個5G基站需要26個月，也就是到2023年2月.6.1967年，法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形稱為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支一一分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們還是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段力月的長度為a,在線段力月上取兩個點G0,使得4c=施=^4B,以

切為一邊在線段46的上方做一個正三角形，然后去掉線段勿，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段比；功作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：ACDBACDB圖ACDBACDB圖1 圖2 圖3 圖4記第〃個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為S，若存在最大的正整數(shù)a,使得對任意的正整數(shù)〃，都有SV2021,則a的最大值為.【解析】由題設知CD=l且S=a,圖2相對圖1：線段長度之和的增量為：，圖3相對圖2：線段長度之和的增量為石，y圖4圖4相對圖3：線段長度之和的增量為六，…，圖〃相對圖〃一1：線段長度之和的增量為；?佳）〃2'所以5=隹[1+|+“?+◎”,]=；2一那1<24要使SV2021對任意的正整數(shù)〃成立，9021所以2a《2021,即,又因為a為正整數(shù)，所以為『1010.答案：10107.國際數(shù)學教育大會（ICME）是由國際數(shù)學教育委員會主辦的國際數(shù)學界最重要的會議，每四年舉辦一次，至今共舉辦了十三屆，第十四屆國際數(shù)學教育大會于2021年在上海舉行，華東師大向全世界發(fā)出了數(shù)學教育理論發(fā)展與實踐經(jīng)驗分享的邀約，如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.圖甲圖乙圖甲圖乙其中已知：6H=44=44=44=44=44=4A=44=i=l,4,4,冊…，為直角頂點,設這些直角三角形的周長和面積依次從小到大組成的數(shù)列分別為｛，｝,｛$｝,則關于這兩個數(shù)列敘述錯誤的是（）2｛5｝是等差數(shù)列n1=1 +d〃+lln-ln-l=y[n—yin—I（〃>1,刀￡N）ln-l=2S+2S+i【解析】選C.由陽=44=44=44=44=44=&47=44=3=1,得四=隹，佻=小，…，故OA“=yl'n,所以/“=附+44h+M+i~y[n+、a+1+1,①0An?AA+iyl'nTOC\o"1-5"\h\z2 =2，2 2n對于A,S