2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第19講 利用平面向量解決平行四邊形問(wèn)題（原卷版）

第19講利用平面向量解決平行四邊形問(wèn)題一．解答題（共16小題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過(guò)，且離心率，（1）求橢圓方程．（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和．①求的取值范圍．②設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為、，是否存在常數(shù)，使向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓的半焦距）在軸上，若橢圓的離心率，且．（1）求橢圓方程；（2）若過(guò)的直線交橢圓與，兩點(diǎn)，且與向量共線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：．3．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，（Ⅰ）若；求直線的斜率的值；（Ⅱ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為、，是否存在常數(shù)，使得向量與共線，如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，不在軸上，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；（?。┣笞C：平行于軸；（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍．6．如圖所示，已知圓與直線相切．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若在圓上存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．在中，，的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且．（Ⅰ）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）直線與軌跡相交于，兩點(diǎn)，若在軌跡上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍．8．已知橢圓，直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過(guò)點(diǎn)，，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說(shuō)明理由．9．設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)．問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．10．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓上一點(diǎn)作兩條直線分別與橢圓相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)，試判斷以和為對(duì)角線的四邊形是否為菱形？若是，求出直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．已知橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)且與軸垂直的直線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)為3．拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)作拋物線切線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值；（Ⅲ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線交橢圓于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．12．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．13．設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．14．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．15．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2，為原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的面積是的面積的3倍．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使為