高等數(shù)學(xué)-3.5函數(shù)極值和最值

◆函數(shù)的極值P114極值的概念：如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x，都有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值；如果有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)x=a。－13

函數(shù)的極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值；如函數(shù)y=x

在區(qū)間[1，2]內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在區(qū)間[－1，2]內(nèi)，只有極小值。（3）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得?！艉瘮?shù)的極值說明◆極值存在的必要條件（費(fèi)馬定理）P115

如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處有極值，則導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)x稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切線平行于x軸。函數(shù)的極值點(diǎn)可疑點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。費(fèi)馬定理的逆定理不成立（駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)）?！魳O值存在的第一充分條件P142設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)可除外）則在點(diǎn)處取得極大值；則在點(diǎn)處取得極小值；則在點(diǎn)處無極值；小結(jié)：P143求函數(shù)的極值點(diǎn)的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(P115)；（3）判斷所有駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)左右兩邊的符號；（4）根據(jù)第一充分條件的判別定理，確定極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)可疑點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。例1

求函數(shù)的極值P143解因?yàn)榱畹民v點(diǎn)列表討論+極小值極大值0_0+3－1所以，函數(shù)有極大值,有極小值例2

求函數(shù)的極值解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不存在當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

小結(jié)：駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，必須按第一充分條件進(jìn)行判別。所以，函數(shù)有極小值例3

求函數(shù)的極值解因?yàn)樗?，函?shù)無極值。（雖然有）↗極小值-1/2↘極大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(1,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(0,1)f(0)=0為極大值；f(1)=－1/2

為極小值

練習(xí)解◆極值存在的第二充分條件P144

注意：第二充分條件只能用于判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，不能判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；一般若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，使用第二充分條件判別極值較易；而二導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就需要用到其他方法例4

求函數(shù)的極值

P144解因?yàn)樗?，函?shù)有駐點(diǎn)而所以所以，函數(shù)有極大值，有極小值練習(xí)：求函數(shù)的極值求[a,b]上的連續(xù)函數(shù)最值的一般步驟與方法P146（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及

一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值。例5

求函數(shù)在上的最值。P145解因?yàn)榱畹枚院瘮?shù)在上的最大值是最小值是特別:P146(1)當(dāng)在[a,b]連續(xù)可導(dǎo)，且在(a,b)中只有唯一駐點(diǎn),(2)當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)(3)對應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的極值可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).P147(小)解：設(shè)每批進(jìn)貨x件，則每件售價(jià)p應(yīng)為例5

某商店按批發(fā)價(jià)每件6元購進(jìn)一批商品零售，若零售價(jià)定為每件7元，估計(jì)賣出100件，而零售價(jià)每件降低0.1元，則可多賣出50件，問每批應(yīng)進(jìn)多少件，每件零售價(jià)多少時(shí)候，才能獲得最大利潤，最大利潤為多少？P147總利潤函數(shù)為令得由于故時(shí)獲得最大利潤令解得例5

求當(dāng)時(shí)，的最值P146解：設(shè)，則f(x)在連續(xù)，且又因?yàn)?，有f’(x)<0時(shí)，有f’(x)>0當(dāng)所以為唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，最小值為，函數(shù)沒有最大值

不定積分

定積分廣義積分積分◆原函數(shù)的概念P172

定義如果在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處,有或則稱是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)例如:因?yàn)樗允窃趦?nèi)的一個(gè)原函數(shù).是的()導(dǎo)函數(shù)。?問題：

引例：已知物體的運(yùn)動方程為,則物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度為;如果已知物體的運(yùn)動方程為,則物體運(yùn)動的位移如何計(jì)算呢?◆原函數(shù)的性質(zhì)P1731、如果有，則2、如果，則。

結(jié)論：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有原函數(shù)，則有無窮多個(gè)原函數(shù)，且所有的原函數(shù)可用式子表示?！粼瘮?shù)存在的充分條件P172P220

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)?！粼瘮?shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系定義2.在區(qū)間

I上全體原函數(shù)稱為上的不定積分,其中P173—積分號;—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作不定積分的幾何意義:P174的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.解由于,所以的一個(gè)原函數(shù)，所以解因?yàn)槔?.設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.P174解:所求曲線過點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為二、基本積分表P175利用逆向思維(k

為常數(shù))或或例2.求解:

原式=例3.

求解:

原式=三、不定積分的性質(zhì)P174-P175先積分，后微分，形式不變；先微分，后積分，相差一個(gè)常數(shù)。（是常數(shù)）有限