同濟(jì)大學(xué)第二版概率論課后習(xí)題答案

..習(xí)題一解答1.用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件：<1>拋一枚硬幣兩次,觀察出現(xiàn)的面,事件；<2>記錄某總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),事件一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過次}；<3>從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只,測(cè)試其壽命,事件壽命在到小時(shí)之間}。解<1>,.<2>記為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),則,.<3>記為抽到的燈泡的壽命〔單位：小時(shí),則,.2.袋中有個(gè)球,分別編有號(hào)碼1至10,從中任取1球,設(shè){取得球的號(hào)碼是偶數(shù)},{取得球的號(hào)碼是奇數(shù)},{取得球的號(hào)碼小于5},問下列運(yùn)算表示什么事件：<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>；<7>.解<1>是必然事件；<2>是不可能事件；<3>{取得球的號(hào)碼是2,4}；<4>{取得球的號(hào)碼是1,3,5,6,7,8,9,10}；<5>{取得球的號(hào)碼為奇數(shù),且不小于5}{取得球的號(hào)碼為5,7,9}；<6>{取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)}{取得球的號(hào)碼為6,8,10}；<7>{取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)}={取得球的號(hào)碼為6,8,10}3.在區(qū)間上任取一數(shù),記,,求下列事件的表達(dá)式：<1>；<2>；<3>；<4>.解<1>;<2>;<3>因?yàn)?所以；<4>4.用事件的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：<1>出現(xiàn),都不出現(xiàn)〔記為；<2>都出現(xiàn),不出現(xiàn)〔記為；<3>所有三個(gè)事件都出現(xiàn)〔記為；<4>三個(gè)事件中至少有一個(gè)出現(xiàn)〔記為；<5>三個(gè)事件都不出現(xiàn)〔記為；<6>不多于一個(gè)事件出現(xiàn)〔記為；<7>不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)〔記為；<8>三個(gè)事件中至少有兩個(gè)出現(xiàn)〔記為。解<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>；<7>；<8>.5.一批產(chǎn)品中有合格品和廢品,從中有放回地抽取三次,每次取一件,設(shè)表示事件"第次抽到廢品",,試用表示下列事件：<1>第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；<2>只有第一次抽到廢品；<3>三次都抽到廢品；<4>至少有一次抽到合格品；只有兩次抽到廢品。解<1>；<2>；<3>；<4>；<5>.6.接連進(jìn)行三次射擊,設(shè)={第次射擊命中},,{三次射擊恰好命中二次},{三次射擊至少命中二次}；試用表示和。解習(xí)題二解答1．從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品,求其中恰有1件次品的概率。解這是不放回抽取,樣本點(diǎn)總數(shù),記求概率的事件為,則有利于的樣本點(diǎn)數(shù).于是2．一口袋中有5個(gè)紅球及2個(gè)白球,從這袋中任取一球,看過它的顏色后放回袋中,然后,再?gòu)倪@袋中任取一球,設(shè)每次取球時(shí)袋中各個(gè)球被取到的可能性相同。求<1>第一次、第二次都取到紅球的概率；<2>第一次取到紅球,第二次取到白球的概率；<3>二次取得的球?yàn)榧t、白各一的概率；<4>第二次取到紅球的概率。解本題是有放回抽取模式,樣本點(diǎn)總數(shù).記<1><2><3><4>題求概率的事件分別為.<ⅰ>有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故<ⅱ>有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故<ⅲ>有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故<ⅳ>有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故.3．一個(gè)口袋中裝有6只球,分別編上號(hào)碼1至6,隨機(jī)地從這個(gè)口袋中取2只球,試求：<1>最小號(hào)碼是3的概率；<2>最大號(hào)碼是3的概率。解本題是無放回模式,樣本點(diǎn)總數(shù).<ⅰ>最小號(hào)碼為3,只能從編號(hào)為3,4,5,6這四個(gè)球中取2只,且有一次抽到3,因而有利樣本點(diǎn)數(shù)為,所求概率為.<ⅱ>最大號(hào)碼為3,只能從1,2,3號(hào)球中取,且有一次取到3,于是有利樣本點(diǎn)數(shù)為,所求概率為.4．一個(gè)盒子中裝有6只晶體管,其中有2只是不合格品,現(xiàn)在作不放回抽樣,接連取2次,每次取1只,試求下列事件的概率：<1>2只都合格；<2>1只合格,1只不合格；<3>至少有1只合格。解分別記題<1>、<2>、<3>涉及的事件為,則注意到,且與互斥,因而由概率的可加性知5．?dāng)S兩顆骰子,求下列事件的概率：<1>點(diǎn)數(shù)之和為7；<2>點(diǎn)數(shù)之和不超過5；<3>點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)。解分別記題<1>、<2>、<3>的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)<ⅰ>含樣本點(diǎn),<1,6>,<6,1>,<3,4>,<4,3><ⅱ>含樣本點(diǎn)<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<1,4>,<4,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2><ⅲ>含樣本點(diǎn)<1,1>,<1,3>,<3,1>,<1,5>,<5,1>;<2,2>,<2,4>,<4,2>,<2,6>,<6,2>,<3,3>,<3,5>,<5,3>;<4,4>,<4,6>,<6,4>;<5,5>;<6,6>,一共18個(gè)樣本點(diǎn)。6．把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到5間空置的宿舍中去,假設(shè)每間宿舍最多可住8人,試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解記求概率的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)為,而有利的樣本點(diǎn)數(shù)為,所以.7．總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語(yǔ),今偶遇其中的三位,求下列事件的概率：<1>事件："其中恰有一位精通英語(yǔ)"；<2>事件："其中恰有二位精通英語(yǔ)"；<3>事件："其中有人精通英語(yǔ)"。解樣本點(diǎn)總數(shù)為<1>；<2>；<3>因,且與互斥,因而.8．設(shè)一質(zhì)點(diǎn)一定落在平面內(nèi)由軸、軸及直線所圍成的三角形內(nèi),而落在這三角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等,計(jì)算這質(zhì)點(diǎn)落在直線的左邊的概率。解記求概率的事件為,則為圖中陰影部分,而,最后由幾何概型的概率計(jì)算公式可得111/3圖2.3.111/3圖2.39．〔見前面問答題2.310．已知,,,求<1>,；<2>；<3>；<4>；<5>.解<1>,；<2>；<3>；<4>,;<5>11．設(shè)是兩個(gè)事件,已知,,,試求及解注意到,因而.于是,；.習(xí)題三解答1．已知隨機(jī)事件的概率,隨機(jī)事件的概率,條件概率,試求及.解2．一批零件共100個(gè),次品率為10%,從中不放回取三次〔每次取一個(gè),求第三次才取得正品的概率。解.3．某人有一筆資金,他投入基金的概率為0.58,購(gòu)買股票的概率為0.28,兩項(xiàng)投資都做的概率為0.19<1>已知他已投入基金,再購(gòu)買股票的概率是多少？<2>已知他已購(gòu)買股票,再投入基金的概率是多少？解記{基金},{股票},則<1><2>.4．給定,,,驗(yàn)證下面四個(gè)等式：,解5．有朋自遠(yuǎn)方來,他坐火車、船、汽車和飛機(jī)的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火車,遲到的概率是0.25,若坐船,遲到的概率是0.3,若坐汽車,遲到的概率是0.1,若坐飛機(jī)則不會(huì)遲到。求他最后可能遲到的概率。解{遲到},{坐火車},{坐船},{坐汽車},{乘飛機(jī)},則,且按題意,,,.由全概率公式有：6．已知甲袋中有6只紅球,4只白球；乙袋中有8只紅球,6只白球。求下列事件的概率：<1>隨機(jī)取一只袋,再?gòu)脑摯须S機(jī)取一球,該球是紅球；<2>合并兩只袋,從中隨機(jī)取一球,該球是紅球。解<1>記{該球是紅球},{取自甲袋},{取自乙袋},已知,,所以<2>7．某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間,生產(chǎn)同一產(chǎn)品,每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求該廠產(chǎn)品的次品率。解8．發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6,0.4發(fā)出和,由于通信受到干擾,當(dāng)發(fā)出時(shí),分別以概率0.8和0.2收到和,同樣,當(dāng)發(fā)出信號(hào)時(shí),分別以0.9和0.1的概率收到和。求<1>收到信號(hào)的概率；<2>當(dāng)收到時(shí),發(fā)出的概率。解記{收到信號(hào)},{發(fā)出信號(hào)}<1><2>.9．設(shè)某工廠有三個(gè)車間,生產(chǎn)同一螺釘,各個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%,35%,40%,各個(gè)車間成品中次品的百分比分別為5%,4%,2%,如從該廠產(chǎn)品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是車間生產(chǎn)的概率。解為方便計(jì),記事件為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品,事件{次品},因此10．設(shè)與獨(dú)立,且,求下列事件的概率：,,.解11．已知獨(dú)立,且,求.解因,由獨(dú)立性有從而導(dǎo)致再由,有所以。最后得到12．甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為1/3,1/2,2/3,求目標(biāo)被命中的概率。解記{命中目標(biāo)},{甲命中},{乙命中},{丙命中},則,因而13．設(shè)六個(gè)相同的元件,如下圖所示那樣安置在線路中,設(shè)每個(gè)元件不通達(dá)的概率為,求這個(gè)裝置通達(dá)的概率。假定各個(gè)元件通達(dá)與否是相互獨(dú)立的。21解記{通達(dá)},2143{元件通達(dá)},4365則,所以65圖3.1圖3.114．假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周五個(gè)工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨(dú)立,試求一周五個(gè)工作日里發(fā)生3次故障的概率。解.15．燈泡耐用時(shí)間在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。解.16．設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27,求事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.解記{在第次試驗(yàn)中出現(xiàn)},依假設(shè)所以,,此即.17．加工一零件共需經(jīng)過3道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%、3%、5%.假設(shè)各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率。解注意到,加工零件為次品,當(dāng)且僅當(dāng)1-3道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。記{第道工序?yàn)榇纹穧,則次品率18．三個(gè)人獨(dú)立破譯一密碼,他們能獨(dú)立譯出的概率分別為0.25,0.35,0.4.求此密碼被譯出的概率。解記{譯出密碼},{第人譯出},則19．將一枚均勻硬幣連續(xù)獨(dú)立拋擲10次,恰有5次出現(xiàn)正面的概率是多少？有4次至6次出現(xiàn)正面的概率是多少？解<1>；<2>.20．某賓館大樓有4部電梯,通過調(diào)查,知道在某時(shí)刻,各電梯正在運(yùn)行的概率均為0.75,求：<1>在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率；<2>在此時(shí)刻恰好有一半電梯在運(yùn)行的概率；<3>在此時(shí)刻所有電梯都在運(yùn)行的概率。解<1><2><3>習(xí)題四解答1.下列給出的數(shù)列,哪些是隨機(jī)變量的分布律,并說明理由。〔1；〔2；〔3；〔4。解要說明題中給出的數(shù)列,是否是隨機(jī)變量的分布律,只要驗(yàn)證是否滿足下列二個(gè)條件：其一條件為,其二條件為。依據(jù)上面的說明可得〔1中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；〔2中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律,因?yàn)?；?中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；〔4中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律,這是因?yàn)椤?.試確定常數(shù),使成為某個(gè)隨機(jī)變量X的分布律,并求：；。解要使成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布律,必須有,由此解得；〔2〔3。3.一口袋中有6個(gè)球,在這6個(gè)球上分別標(biāo)有-3,-3,1,1,1,2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球,設(shè)各個(gè)球被取到的可能性相同,求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字X的分布律與分布函數(shù)。解X可能取的值為-3,1,2,且,即X的分布律為X-312概率X的分布函數(shù)0=14.一袋中有5個(gè)乒乓球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,從中隨機(jī)地取3個(gè),以X表示取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼,寫出X的分布律和分布函數(shù)。解依題意X可能取到的值為3,4,5,事件表示隨機(jī)取出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為3,則另兩個(gè)球的只能為1號(hào),2號(hào),即；事件表示隨機(jī)取出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為4,因此另外2個(gè)球可在1、2、3號(hào)球中任選,此時(shí)；同理可得。X的分布律為X345概率X的分布函數(shù)為015.在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律。解依題意X服從參數(shù)的二項(xiàng)分布,因此,其分布律,具體計(jì)算后可得X012345概率6.從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取。設(shè)每次抽取時(shí),各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品；每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中；每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解〔1設(shè)事件表示第次抽到的產(chǎn)品為正品,依題意,相互獨(dú)立,且而即X服從參數(shù)的幾何分布。〔2由于每次取出的產(chǎn)品不再放回,因此,X可能取到的值為1,2,3,4,X的分布律為X1234概率〔3X可能取到的值為1,2,3,4,所求X的分布律為X1234概率由于三種抽樣方式不同,導(dǎo)致X的分布律也不一樣,請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)它們的不同處。7.設(shè)隨機(jī)變量,已知,求與的值。解由于,因此。由此可算得即解得；此時(shí),。8.擲一枚均勻的硬幣4次,設(shè)隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)國(guó)徽的次數(shù),求X的分布函數(shù)。解一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國(guó)徽的概率為,因此X服從的二項(xiàng)分布,即由此可得X的分布函數(shù)0,,,,,1,9.某商店出售某種物品,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),每月銷售量X服從參數(shù)的泊松分布,問在月初進(jìn)貨時(shí),要進(jìn)多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要？解設(shè)至少要進(jìn)件物品,由題意應(yīng)滿足即查泊松分布表可求得。10.有一汽車站有大量汽車通過,每輛汽車在一天某段時(shí)間出事故的概率為0.0001,在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,求事故次數(shù)不少于2的概率。解設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù),依題意,X服從的二項(xiàng)分布,即,由于較大,較小,因此也可以近似地認(rèn)為X服從的泊松分布,即,所求概率為11.某試驗(yàn)的成功概率為0.75,失敗概率為0.25,若以X表示試驗(yàn)者獲得首次成功所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),寫出X的分布律。解設(shè)事件表示第次試驗(yàn)成功,則,且相互獨(dú)立。隨機(jī)變量X取意味著前次試驗(yàn)未成功,但第次試驗(yàn)成功,因此有所求的分布律為X12……概率0.75……12.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,0,其他,試求：〔1常數(shù)；〔2X的分布函數(shù)。解〔1成為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)必須滿足二個(gè)條件,其一為；其二為,因此有,解得,其中舍去,即取。〔2分布函數(shù)==13.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求：〔1系數(shù)；〔2；〔3X的分布函數(shù)。解〔1系數(shù)必須滿足,由于為偶函數(shù),所以解得；〔2；〔3====14.證明：函數(shù)〔為正的常數(shù)為某個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。證由于,且,因此滿足密度函數(shù)的二個(gè)條件,由此可得為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。15.求出與密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)的表達(dá)式。解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜合有16.設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布,求方程有實(shí)根的概率。解X的密度函數(shù)為；其他.方程有實(shí)根的充分必要條件為,即,因此所求得概率為。17.設(shè)某藥品的有效期X以天計(jì),其概率密度為;0,其他.求：<1>X的分布函數(shù)；<2>至少有200天有效期的概率。解<1>==<2>。18.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的密度函數(shù),并計(jì)算和。解由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系,可得在的一切連續(xù)點(diǎn)處有,因此所求概率；。19.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求<1>常數(shù)；<2>；<3>隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。解：<1>要使成為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),必須滿足,即計(jì)算后得解得另外,可驗(yàn)證當(dāng)時(shí),也滿足分布函數(shù)其余的幾條性質(zhì)。〔2〔3X的密度函數(shù)。20.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間〔單位：min服從的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為,某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10min,他就離開?！?設(shè)某顧客某天去銀行,求他未等到服務(wù)就離開的概率；〔2設(shè)某顧客一個(gè)月要去銀行五次,求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。解〔1設(shè)隨機(jī)變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間,依題意X服從的指數(shù)分布,且顧客等待時(shí)間超過10min就離開,因此,顧客未等到服務(wù)就離開的概率為；〔2設(shè)Y表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù),則Y服從的二項(xiàng)分布,所求概率為21.設(shè)X服從,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5。解查正態(tài)分布表可得〔1；〔2；〔3；〔4〔5。22.設(shè)X服從,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6。解當(dāng)時(shí),,借助于該性質(zhì),再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可求得〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6。23.某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布,合格品的規(guī)格規(guī)定為,求該廠滾珠的合格率。解所求得概率為24.某人上班所需的時(shí)間〔單位：min已知上班時(shí)間為8：30,他每天7：50出門,求：〔1某天遲到的概率；〔2一周〔以5天計(jì)最多遲到一次的概率。解〔1由題意知某人路上所花時(shí)間超過40分鐘,他就遲到了,因此所求概率為；〔2記Y為5天中某人遲到的次數(shù),則Y服從的二項(xiàng)分布,5天中最多遲到一次的概率為。習(xí)題五解答1.二維隨機(jī)變量只能取下列數(shù)組中的值：,且取這些組值的概率依次為,求這二維隨機(jī)變量的分布律。解由題意可得的聯(lián)合分布律為X\Y01-100002002.一口袋中有四個(gè)球,它們依次標(biāo)有數(shù)字。從這袋中任取一球后,不放回袋中,再?gòu)拇腥稳∫磺?。設(shè)每次取球時(shí),袋中每個(gè)球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求的分布律及。解X可能的取值為,Y可能的取值為,相應(yīng)的,其概率為或?qū)懗蒟\Y12310230。3.箱子中裝有10件產(chǎn)品,其中2件為次品,每次從箱子中任取一件產(chǎn)品,共取2次,定義隨機(jī)變量X、Y如下：X=0,若第一次取出正品；Y=0,若第二次取出正品；1,若第一次取出次品；1,若第二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律：〔1放回抽樣；〔2不放回抽樣。解〔1在放回抽樣時(shí),X可能取的值為,Y可能取的值也為,且或?qū)懗蒟\Y0101〔2在無放回情形下,X、Y可能取的值也為0或1,但取相應(yīng)值的概率與有放回情形下不一樣,具體為或?qū)懗蒟\Y01014.對(duì)于第1題中的二維隨機(jī)變量的分布,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解把第1題中的聯(lián)合分布律按行相加得X的邊緣分布律為X-102概率按列相加得Y的邊緣分布律為Y01概率5.對(duì)于第3題中的二維隨機(jī)變量的分布律,分別在有放回和無放回兩種情況下,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解在有放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率在無放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率6.求在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)及分布函數(shù),其中D為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域。解區(qū)域D見圖5.2。易算得D的面積為,所以的密度函數(shù)y1-101xy1-101x的分布函數(shù)當(dāng)或時(shí),；圖5.2當(dāng)時(shí),；圖5.2當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),綜合有7.對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解X的邊緣密度函數(shù)為==Y的邊緣密度函數(shù)為==8.在第3題的兩種情況下,X與Y是否獨(dú)立,為什么？解在有放回情況下,由于,而,即；容易驗(yàn)證,由獨(dú)立性定義知X與Y相互獨(dú)立。在無放回情況下,由于,而,易見,所以X與Y不相互獨(dú)立。9.在第6題中,X與Y是否獨(dú)立,為什么？解,而,易見,所以X與Y不相互獨(dú)立。10.設(shè)X、Y相互獨(dú)立且分別具有下列的分布律：X-2-100.5Y-0.513概率概率寫出表示的分布律的表格。解由于X與Y相互獨(dú)立,因此例如其余的聯(lián)合概率可同樣算得,具體結(jié)果為X\Y-0.513-2-100.511.設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X服從上的均勻分布,Y服從參數(shù)為5的指數(shù)分布,求的聯(lián)合密度函數(shù)及。解.由均勻分布的定義知由指數(shù)分布的定義知因?yàn)閄與Y獨(dú)立,易得的聯(lián)合密度函數(shù)y0.2x圖5.3概率,y0.2x圖5.3其中區(qū)域見圖5.3,經(jīng)計(jì)算有。12.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：〔1系數(shù)；〔2；〔3證明X與Y相互獨(dú)立。解〔1必須滿足,即,經(jīng)計(jì)算得；〔2；〔3關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)=同理可求得Y的邊緣密度函數(shù)為易見,因此X與Y相互獨(dú)立。13.已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1求常數(shù)；〔2分別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；〔3X與Y是否獨(dú)立？解〔1滿足,即解得；〔2X的邊緣密度函數(shù)=Y的邊緣密度函數(shù)為=〔3,而,易見,因此X與Y不相互獨(dú)立。14.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為X\Y01012且,〔1求常數(shù)的值；〔2當(dāng)取〔1中的值時(shí),X與Y是否獨(dú)立？為什么？解〔1必須滿足,即,可推出,另外由條件概率定義及已知的條件得由此解得,結(jié)合可得到,即〔2當(dāng)時(shí),可求得,易見因此,X與Y不獨(dú)立。15.對(duì)于第2題中的二維隨機(jī)變量的分布,求當(dāng)時(shí)X的條件分布律。解易知,因此時(shí)X的條件分布律為X|Y=2123概率16.對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布,求當(dāng)時(shí)Y的條件密度函數(shù)。解X的邊緣密度函數(shù)為〔由第7題所求得由條件密度函數(shù)的定義知當(dāng)時(shí)Y的條件密度函數(shù)為=習(xí)題六解答1.設(shè)X的分布律為X-2-0.5024概率求出：以下隨機(jī)變量的分布律?！?；〔2；〔3。解由X的分布律可列出下表概率-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出〔1的分布律為0246概率〔2的分布律為-3-113概率〔3的分布律為0416概率其中。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的泊松分布,記隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量Y的分布律。解由于X服從參數(shù)的泊松分布,因此而；。即Y的分布律為Y01概率3.設(shè)X的密度函數(shù)為求以下隨機(jī)變量的密度函數(shù)：〔1；〔2；〔3。解求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù),然后再求密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),則也可利用性質(zhì)求得?！?解法一：設(shè),則Y的分布函數(shù)==解法二：,,而,則==〔2設(shè),則,Y的密度函數(shù)=〔3設(shè),由于X只取中的值,所以也為單調(diào)函數(shù),其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為=4.對(duì)圓片直徑進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量值X服從上的均勻分布,求圓面積Y的概率密度。解圓面積,由于X均勻取中的值,所以X的密度函數(shù)且為單調(diào)增加函數(shù),其反函數(shù),Y的密度函數(shù)為=5.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,試求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解,所以,此時(shí)不為單調(diào)函數(shù)不能直接利用性質(zhì)求出。須先求Y的分布函數(shù)。.=6.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解的反函數(shù),因此所求的Y的密度函數(shù)為=7.設(shè)X服從,證明服從,其中為兩個(gè)常數(shù)且。證明由于,所以,記,則當(dāng)時(shí),為單增函數(shù),其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為,即證明了。8.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量函數(shù)Y的分布律。解,則而；；。因此所求分布律為Y-101概率09.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律X\Y１２３１２００３０求以下隨機(jī)變量的分布律：〔１；〔２；〔３；〔４。解概率０００２３４３４５４５６０-１-210-1210123246369從而得到〔1２３４５概率〔２-２-1012概率〔３從聯(lián)合分布律可求得Ｘ的邊緣分布律為Ｘ１２３概率由此得的分布律為Ｘ２４６概率〔４1236概率１０.設(shè)隨機(jī)變量Ｘ、Ｙ相互獨(dú)立,,記隨機(jī)變量,求的分布律；記隨機(jī)變量,求的分布律。從而證實(shí)：即使Ｘ、Ｙ服從同樣的分布,與的分布并不一定相同,直觀地解釋這一結(jié)論。解〔１由于,且Ｘ與Ｙ獨(dú)立,由分布可加性知,即,經(jīng)計(jì)算有０１２概率〔２由于０１概率因此０２概率易見與的分布并不相同。直觀的解釋是的與的取值并不相同,這是因?yàn)榕c并不一定同時(shí)取同一值,因而導(dǎo)致它們的分布也不同。１１.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為X\Y１２３１００２０３求的分布律；求的分布律。解〔１隨機(jī)變量可能取到的值為１,２,３中的一個(gè),且綜合有１２３概率〔２隨機(jī)變量可能取到的值為１,２,３中的一個(gè),且同理可求得綜合有１２３概率１２.設(shè)二維隨機(jī)變量服從在Ｄ上的均勻分布,其中Ｄ為直線,所圍成的區(qū)域,求的分布函數(shù)及密度函數(shù)。解的聯(lián)合密度函數(shù)為-202x圖6.2y2-202x圖6.2y2其中區(qū)域,當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.2,此時(shí)-202xy-202xy2當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.3,此時(shí)-202xy2-202xy2圖6.4圖6.3其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.4,此時(shí)-202xy-202xy2圖6.5其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.5,此時(shí)。綜合有的密度函數(shù)13.設(shè)的密度函數(shù)為,用函數(shù)表達(dá)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。解設(shè),則的分布函數(shù)。對(duì)積分變量作變換,得到于是,交換積分變量的次序得從而,的密度函數(shù)為,把與的地位對(duì)換,同樣可得到的密度函數(shù)的另一種形式。習(xí)題七解答1.設(shè)的分布律為,X-1012概率求〔1,〔2,〔3,〔4。解由隨機(jī)變量X的分布律,得X-1012-X+1210-1X21014P所以另外,也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,且已知,求的值。解3.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次命中目標(biāo)的概率為0.4,試求的數(shù)學(xué)期望。解所以故4.國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量,它在[2000,4000]〔單位：噸上服從均勻分布。若每售出一噸,可得外匯3萬美元,若銷售不出而積壓,則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源,才能使平均收益最大？解設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均收益〔單位：萬元,進(jìn)貨量為噸Y=則要使得平均收益最大,所以得〔噸5.一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1,0.2,0.3,假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解X的可能取值為0,1,2,3,有所以X的分布律為X0123Pr0.5040.3980.0920.0066.設(shè)X的密度函數(shù)為,求〔1；〔2。解〔1〔2注：求解〔1時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì),求解〔2時(shí)化簡(jiǎn)為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。7.某商店經(jīng)銷商品的利潤(rùn)率的密度函數(shù)為,求,。解〔1〔2故8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為0求、、、。解9.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為X\Y0100.30.210.40.1求、、、、、、、。解關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,它們的密度函數(shù)分別為求。解,所以,,所以,X,Y相互獨(dú)立,所以。11.設(shè)服從在A上的均勻分布,其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域,求〔1；〔2；〔3的值。y0x解先畫出Ay0x-1x-1xAy-1-1-yAy-1-1-y20其他0其他0其他12.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為0其他求。y101x解先畫出區(qū)域的圖y101xGG0其他0其他13.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且,求。解14.設(shè),求〔1；〔2。解：〔1〔215.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,,,求。解16.驗(yàn)證：當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),按公式及按公式算得的值相等。這里,、依次表示的分布密度。證明17.設(shè)的方差為2.5,利用契比曉夫不等式估計(jì)的值。解18.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)的值。解所以21.在人壽保險(xiǎn)公司里有3000個(gè)同齡的人參加人壽保險(xiǎn)。在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1%,參加保險(xiǎn)的人在1年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元,死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。試用中心極限定理求保險(xiǎn)公司虧本的概率。解設(shè)死亡人數(shù)為,保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng),即。于是,由棣莫弗—拉普拉斯定理,公司虧本的概率為習(xí)題九解答1.設(shè)是來自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本,試寫出樣本的聯(lián)合分布律。解2.設(shè)是來自上的均勻分布的樣本,未知〔1寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；〔2指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量,哪些不是？為什么？〔3設(shè)樣本的一組觀察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,寫出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解〔10其他〔2和是,和不是。因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù),而和中含有未知參數(shù)?！?樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。3.查表求,,,。解,,,。4.設(shè),求常數(shù),使。解由t分布關(guān)于縱軸對(duì)稱,所以即為。由附表5.6可查得,所以。5.設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,試證：〔1；〔2。證明：〔1獨(dú)立同分布于,由分布的定義,,即?！?易見,,即,由分布的定義,,即。6.設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量,且每一個(gè)都服從。〔1試給出常數(shù),使得服從分布,并指出它的自由度；〔2試給出常數(shù),使得服從t分布,并指出它的自由度。解〔1易見,即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和,服從分布,即；自由度為2。〔2由于,則。又,與相互獨(dú)立,則即即,自由度為3。7.設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,在下列三種情況下,分別求：〔1；〔2；〔3,其中。解〔1〔2〔3,其中8.某市有100000個(gè)年滿18歲的居民,他們中10%年收入超過1萬,20%受過高等教育。今從中抽取1600人的隨機(jī)樣本,求：〔1樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率；〔2樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。解〔1引入新變量：1,第個(gè)樣本居民年收入超過1萬0,第個(gè)樣本居民年收入沒超過1萬其中易見：又因,故可以近似看成有放回抽樣,相互獨(dú)立。樣本中年收入超過1萬的比例即為,由于較大,可以使用漸近分布求解,即,所求概率即為〔2同〔1解法引入新變量：1,第個(gè)樣本居民受過高等教育0,第個(gè)樣本居民未受過高等教育其中答：〔1樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率為0.0918；〔2樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率為0.6826。習(xí)題十解答1.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,在下列情形下,試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)：〔1,其中未知,；〔2,其中未知,。解〔1,故的矩估計(jì)量有。另,X的分布律為,故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：令解得的最大似然估計(jì)量?？梢钥闯龅木毓烙?jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的?！?,令,故的矩估計(jì)量。另,X的密度函數(shù)為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量?？梢钥闯龅木毓烙?jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。2.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,其中X服從參數(shù)為的泊松分布,其中未知,,求的矩估計(jì)與最大似然估計(jì),如得到一組樣本觀測(cè)值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解,故的矩估計(jì)量。由樣本觀測(cè)值可算得另,X的分布律為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量,故的最大似然估計(jì)值。3.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,其中X服從區(qū)間的均勻分布,其中未知,求的矩估計(jì)。解,令,故的矩估計(jì)量。4.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,X的密度函數(shù)為其中未知,求的矩估計(jì)。解,令,故的矩估計(jì)量為。5.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,X的密度函數(shù)為其中未知,求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解,令,故的矩估計(jì)量為,另,似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為。6.設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,總體X服從參數(shù)為的幾何分布,即,其中未知,,求的最大似然估計(jì)。解似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)解得的最大似然估計(jì)量為。7.已知某路口車輛經(jīng)過的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布,其中未知,現(xiàn)在觀測(cè)到六個(gè)時(shí)間間隔數(shù)據(jù)〔單位：s：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,試求該路口車輛經(jīng)過的平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解根據(jù)習(xí)題1的結(jié)果,的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)量都為,故平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都為,即為。由樣本觀測(cè)值可算得。8.設(shè)總體X的密度函數(shù)為,其中未知,設(shè)是取自這個(gè)總體的一個(gè)樣本,試求的最大似然估計(jì)。解似然函數(shù),對(duì)數(shù)似然函數(shù)為得的最大似然估計(jì)量為。9.在第3題中的矩估計(jì)是否是的無偏估計(jì)？解故的矩估計(jì)量是的無偏估計(jì)