不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件

§6.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理第6章方程與方程組的迭代解法§6.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理第6章方程與方一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)=0化為一個(gè)同解方程繼續(xù)--------(3)稱(chēng)(3)式為求解非線性方程(2)的簡(jiǎn)單迭代法一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)則稱(chēng)迭代法(3)收斂,否則稱(chēng)為發(fā)散--------(4)例1.解:(1)將原方程化為等價(jià)方程則稱(chēng)迭代法(3)收斂,否則稱(chēng)為發(fā)散--------(4)例1顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此類(lèi)推,得已經(jīng)收斂,故原方程的解為同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果什么形式的迭代法能夠收斂呢?迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)仍取初值x2=0.9644依此類(lèi)推,得已經(jīng)收斂,故原方程如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收斂性)迭代過(guò)程的收斂性定理1.--------(5)--------(6)----證:由條件(1)由根的存在定理,證:由條件(1)由根的存在定理,證:由證:由由微分中值定理由微分中值定理不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件證畢.證畢.定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿(mǎn)足定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿(mǎn)足由(6)式,只要因此,當(dāng)?shù)涂梢越K止,--------(8)由(6)式,只要因此,當(dāng)?shù)涂梢越K止,--------(8定義1：如果存在的某個(gè)鄰域，使迭代過(guò)程對(duì)于任意初值均收斂，則稱(chēng)迭代過(guò)程在根鄰近具有局部收斂性。定義1：如果存在的某個(gè)鄰域例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于|d7|=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解為x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251d1=0.1000000由于|d7|=0.1000由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.

--------(9)迭代法收斂速度由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件定理3.

定理3.例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收斂.(1)例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開(kāi):——Taylor展開(kāi)線性化f(x)=0

近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開(kāi):它對(duì)應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為

在f(x)=0的根x*的某個(gè)鄰域內(nèi),在x*的鄰域R內(nèi)，對(duì)任意初值，應(yīng)用公式（2）來(lái)解方程的方法就稱(chēng)為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.它對(duì)應(yīng)的迭代方程為2.Newton迭代法的幾何意義

與x軸(y=0)的交點(diǎn)x,作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xn+1,即用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱(chēng)切線法.2.Newton迭代法的幾何意義與x軸(y=0例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到由Newton迭代法x1

=1.4666667,…,x4

=1.3688081x5

=1.3688081迭代5次精度達(dá)10-7x*

≈

1.368808由Newton迭代法x1=1.4666667迭代5次精度4.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設(shè)f(x*)=0,,且在x*的鄰域上存在,連續(xù),則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開(kāi),并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故4.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故所以，Newton法至少二階收斂.注意到ξn在xn例3.為線性收斂證明:所以例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以

Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代矩陣為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.方法有效前提:

Newton迭代法的特征

Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代矩陣5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開(kāi)方公式對(duì)于給定正數(shù)應(yīng)用牛頓迭代法解二次方程可導(dǎo)出求開(kāi)方值的計(jì)算公式

設(shè)是的某個(gè)近似值，則自然也是一個(gè)近似值，上式表明，它們兩者的算術(shù)平均值將是更好的近似值。

定理

開(kāi)方公式對(duì)于任意給定的初值均為平方收斂。

5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開(kāi)方公式牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過(guò)程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確解。

缺點(diǎn):1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計(jì)算量比較大:因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:

1.局部線性收斂------改進(jìn)公式或加速2.每步都要計(jì)算微商值-----簡(jiǎn)化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似問(wèn)題-------二分法求初值或”下山算法”牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時(shí),,至少2階收斂.不實(shí)用:m往往不確定.方法二.取,再對(duì)函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時(shí),X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.但要用到二階導(dǎo)數(shù).6.Newton法的改進(jìn)(I)---重根情形方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)雜！這種格式稱(chēng)為簡(jiǎn)化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改進(jìn)(II)Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱(chēng)為弦截法收斂階約為1.618則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱(chēng)為弦截法收斂階約為1.61例4用簡(jiǎn)化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比較

解:由簡(jiǎn)化Newton法由弦截法由Newton迭代法例4用簡(jiǎn)化Newton法和弦截法解下面方程的根，x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553簡(jiǎn)化Newton法由弦截法要達(dá)到精度10-8簡(jiǎn)化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553由Newton迭代法x0=0.5x0=0.5;簡(jiǎn)化Newton法由弦截法要達(dá)無(wú)論哪種迭代法：Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton法弦截法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收斂均與初值的位置有關(guān).例:x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性無(wú)論哪種迭代法：Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton法弦截法用6.Newton法的改進(jìn)(III):牛頓下山法一般地說(shuō)，牛頓法的收斂性依賴(lài)于初值的選取，如果偏離較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散。為了防止發(fā)散，通常對(duì)迭代過(guò)程再附加一項(xiàng)要求，即保證函數(shù)值單調(diào)下降：

滿(mǎn)足這項(xiàng)要求的算法稱(chēng)為下山法。

牛頓下山法采用以下迭代公式：其中稱(chēng)為下山因子。牛頓下山法只有線性收斂.6.Newton法的改進(jìn)(III):牛頓下山法例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.70724x5=6.54091x6=4.46497x7=3.13384x8=2.32607x9=1.90230x10=1.75248x11=1.73240x12=1.73205x13=1.73205迭代13次才達(dá)到精度要求例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.7072.用Newton下山法,結(jié)果如下k=0x0=-0.99fx0=0.666567k=1x1=32.505829f(x)=11416.4w=0.5x1=15.757915f(x)=1288.5w=0.25x1=7.383958f(x)=126.8w=0.125x1=3.196979f(x)=7.69w=0.0625x1=1.103489f(x)=-0.655k=2x2=4.115071f(x)=19.1w=0.5x2=2.60928f(x)=3.31w=0.25x2=1.85638f(x)=0.27k=3x3=1.74352f(x)=0.023k=4x4=1.73216f(x)=0.00024k=5x5=1.73205f(x)=0.00000k=6x6=1.73205f(x)=0.0000002.用Newton下山法,結(jié)果如下k=0故有且由例3.對(duì)于Newton迭代法趨于零Newton迭代法也只是線性收斂此時(shí)Newton迭代法可能不收斂故有且由例3.對(duì)于Newton迭代法趨于零Newton迭代法由定理2，迭代法至少是二階收斂由定理2，迭代法至少是二階收斂NumericalValueAnalysisSteffensen方法第6章方程與方程組的迭代解法NumericalValueAnalysisSteffe

簡(jiǎn)單迭代公式的加速設(shè)是根的某個(gè)近似值，用迭代公式校正一次得假設(shè)，則有據(jù)此可導(dǎo)出如下加速公式：其一步分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：

迭代:改進(jìn):簡(jiǎn)單迭代公式的加速設(shè)是根不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件埃特金迭代法求方程的實(shí)根埃特金迭代法求方程的實(shí)根定理設(shè)序列線性收斂于x*,則的Aitken序列存在,且即比更快收斂于x*.定理設(shè)序列線性收斂于x*不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件Steffensen迭代在Aitken加速法中,只要有三個(gè)相鄰的點(diǎn)就可以進(jìn)行家速,即對(duì)任意線性收斂序列構(gòu)建的.現(xiàn)將其與不動(dòng)點(diǎn)迭代方法結(jié)合起來(lái):迭代函數(shù)迭代初始值迭代序列Steffensen迭代在Aitken加速法中,只要有三個(gè)相或?qū)懗刹粍?dòng)點(diǎn)迭代形式或?qū)懗刹粍?dòng)點(diǎn)迭代形式§6.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理第6章方程與方程組的迭代解法§6.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理第6章方程與方一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)=0化為一個(gè)同解方程繼續(xù)--------(3)稱(chēng)(3)式為求解非線性方程(2)的簡(jiǎn)單迭代法一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)則稱(chēng)迭代法(3)收斂,否則稱(chēng)為發(fā)散--------(4)例1.解:(1)將原方程化為等價(jià)方程則稱(chēng)迭代法(3)收斂,否則稱(chēng)為發(fā)散--------(4)例1顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此類(lèi)推,得已經(jīng)收斂,故原方程的解為同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果什么形式的迭代法能夠收斂呢?迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)仍取初值x2=0.9644依此類(lèi)推,得已經(jīng)收斂,故原方程如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收斂性)迭代過(guò)程的收斂性定理1.--------(5)--------(6)----證:由條件(1)由根的存在定理,證:由條件(1)由根的存在定理,證:由證:由由微分中值定理由微分中值定理不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件證畢.證畢.定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿(mǎn)足定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿(mǎn)足由(6)式,只要因此,當(dāng)?shù)涂梢越K止,--------(8)由(6)式,只要因此,當(dāng)?shù)涂梢越K止,--------(8定義1：如果存在的某個(gè)鄰域，使迭代過(guò)程對(duì)于任意初值均收斂，則稱(chēng)迭代過(guò)程在根鄰近具有局部收斂性。定義1：如果存在的某個(gè)鄰域例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于|d7|=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解為x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251d1=0.1000000由于|d7|=0.1000由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.

--------(9)迭代法收斂速度由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理課件定理3.

定理3.例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收斂.(1)例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開(kāi):——Taylor展開(kāi)線性化f(x)=0

近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開(kāi):它對(duì)應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為

在f(x)=0的根x*的某個(gè)鄰域內(nèi),在x*的鄰域R內(nèi)，對(duì)任意初值，應(yīng)用公式（2）來(lái)解方程的方法就稱(chēng)為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.它對(duì)應(yīng)的迭代方程為2.Newton迭代法的幾何意義

與x軸(y=0)的交點(diǎn)x,作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xn+1,即用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱(chēng)切線法.2.Newton迭代法的幾何意義與x軸(y=0例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到由Newton迭代法x1

=1.4666667,…,x4

=1.3688081x5

=1.3688081迭代5次精度達(dá)10-7x*

≈

1.368808由Newton迭代法x1=1.4666667迭代5次精度4.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設(shè)f(x*)=0,,且在x*的鄰域上存在,連續(xù),則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開(kāi),并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故4.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故所以，Newton法至少二階收斂.注意到ξn在xn例3.為線性收斂證明:所以例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以

Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代矩陣為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.方法有效前提:

Newton迭代法的特征

Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代矩陣5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開(kāi)方公式對(duì)于給定正數(shù)應(yīng)用牛頓迭代法解二次方程可導(dǎo)出求開(kāi)方值的計(jì)算公式

設(shè)是的某個(gè)近似值，則自然也是一個(gè)近似值，上式表明，它們兩者的算術(shù)平均值將是更好的近似值。

定理

開(kāi)方公式對(duì)于任意給定的初值均為平方收斂。

5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開(kāi)方公式牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過(guò)程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確解。

缺點(diǎn):1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計(jì)算量比較大:因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:

1.局部線性收斂------改進(jìn)公式或加速2.每步都要計(jì)算微商值-----簡(jiǎn)化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似問(wèn)題-------二分法求初值或”下山算法”牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時(shí),,至少2階收斂.不實(shí)用:m往往不確定.方法二.取,再對(duì)函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時(shí),X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.但要用到二階導(dǎo)數(shù).6.Newton法的改進(jìn)(I)---重根情形方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)雜！這種格式稱(chēng)為簡(jiǎn)化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改進(jìn)(II)Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱(chēng)為弦截法收斂階約為1.618則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱(chēng)為弦截法收斂階約為1.61例4用簡(jiǎn)化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比較

解:由簡(jiǎn)化Newton法由弦截法由Newton迭代法例4用簡(jiǎn)化Newton法和弦截法解下面方程的根，x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553簡(jiǎn)化Newton法由弦截法要達(dá)到精度10-8簡(jiǎn)化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553由Newton迭代法x0=0.5x0=0.5;簡(jiǎn)化Newton法由弦截法要達(dá)無(wú)論哪種迭代法：Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton法弦截法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收斂均與初值的位置有關(guān).例:x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性無(wú)論哪種迭代法：Newton迭代法簡(jiǎn)化Newton法弦截法用6.Newton法的改進(jìn)(III):牛頓下山法一般地說(shuō)，牛頓法的收斂性依賴(lài)于初值的選取，如果偏離較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散。為了防止發(fā)散，通常對(duì)迭代過(guò)程再附加一項(xiàng)要求，即保證函數(shù)值單調(diào)下降：

滿(mǎn)足這項(xiàng)要求的算法稱(chēng)為下山法。

牛頓下山法采用以下迭代公式：其中稱(chēng)為下山因子。牛頓下山法只有線性收斂.6.Newton法的改進(jìn)(III):牛頓下山法例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.70724x5=6.54091x6=4.46497x7=3.13384x8=2.32607x9=1.90230x10=1.75248x11=1.73240x12=1.73205x13=1.73205迭代13次才達(dá)到精度要求例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.7072.用Newton下山法,結(jié)果如下k=0x0=-0.99fx0=0.666567k=1x1=32.505829f(x)=114