保險(xiǎn)精算生存年金課件講解

第六章生存年金1第六章生存年金1生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給付，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取在投保時(shí)一次性繳付的躉繳方式或者在一定時(shí)期內(nèi)的均衡繳付的方式。生存年金形式：即期年金（immediateannuities）延期年金(deferredannuities)定期確定的生存年金指數(shù)化年金聯(lián)合生存年金2生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給生存年金精算現(xiàn)值純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)人存活將得到規(guī)定的保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)。

【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險(xiǎn)公司得到1000元的一次性給付。設(shè)利率i=6%，試寫出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。3生存年金精算現(xiàn)值純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)解：李明從20歲活到60歲的概率是，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險(xiǎn)這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：根據(jù)附表中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990～1993年）（男女混合表）的資料得，l20

=983992，l40=877671，可以計(jì)算得,

所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1000×0.89195×1.06-40=86.72（元）。4解：李明從20歲活到60歲的概率是，他在一般地：假設(shè)某人

x歲時(shí)開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險(xiǎn)金，（x）存活n年的概率為，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個(gè)，每人存入元，到年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。以表示1單位元n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值，即純生存保險(xiǎn)變換上式得，5一般地：假設(shè)某人

x歲時(shí)開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)，為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。

純生存保險(xiǎn)它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。6與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，n年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險(xiǎn)人在規(guī)定的時(shí)期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。一般類型：終身年金、定期年金、延期年金7年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給終身生存年金【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：

代入相應(yīng)的存活概率和利率，就可以計(jì)算出這一年金的精算現(xiàn)值。8終身生存年金【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存期首付終身生存年金一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險(xiǎn)期逐步延長(zhǎng)的純粹生存保險(xiǎn)之和，如下圖所示：其中，0Ex=1，求和上限實(shí)際是ω-x-1，為方便通常寫成∞。9期首付終身生存年金一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存期末付終身生存年金對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示：

10期末付終身生存年金對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖定期生存年金一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以表示，

類似地，對(duì)(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：11定期生存年金一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期生存年金n年延期生存年金:從計(jì)算時(shí)點(diǎn)起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據(jù)定義,顯然，12對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地，

13延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地，13延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以或表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金14延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。延期定期對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1

起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金或表示，根據(jù)定義：

15對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。

延期定期生存年金16期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。延期定期生存連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金17連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金17連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金延期定期連續(xù)生存年金18連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金18生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系19生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系19背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設(shè)下近似計(jì)算。

對(duì)（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，這一年金在每個(gè)(k=0,1,2,……)上收付1/m，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。年付m次生存年金

20背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生近似公式對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值21近似公式對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存近似公式對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：22近似公式對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對(duì)當(dāng)時(shí)，上面的年金稱為終身變額年金。變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時(shí)期的不同而變動(dòng)。變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(duì)(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，…，x+n-1上分別為，則精算現(xiàn)值（ActuarialPresentValue，簡(jiǎn)記為APV）為，變額生存年金23當(dāng)時(shí)，上面的年金稱為終身變一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金24一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變?nèi)绻杲鹗崭额~系列為1，2，3…等差遞增，這一年金稱為標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金，對(duì)終身期首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金，其精算現(xiàn)值用表示，如下圖所示：等差遞增生存年金

25如果年金收付額系列為1，2，3…等差遞增，這期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金精算現(xiàn)值，期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值等差遞增生存年金

26期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金精算現(xiàn)值，期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年等差遞增生存年金為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè)有，27等差遞增生存年金為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè)有，27當(dāng)變額年金收付額系列為n，n-1，…1等差遞減時(shí)，這時(shí)期首付的年金現(xiàn)值以表示，如下圖所示：等差遞減生存年金

期末付的年金現(xiàn)值28當(dāng)變額年金收付額系列為n，n-1，…1等差遞設(shè)，即上式成為，實(shí)踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計(jì)劃和社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個(gè)簡(jiǎn)化計(jì)算公式。如果對(duì)(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，…，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，…，b(1+g)n-1，其精算現(xiàn)值為，（這是一個(gè)以利率j計(jì)算的給付額為b的確定年金的精算現(xiàn)值）等比例變額生存年金29設(shè)生存年金遞推公式可見，對(duì)(x)的終身生存年金的躉繳凈保費(fèi)，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來(lái)年金部分之差。30生存年金遞推公式可見，對(duì)(x)的終身生存年金的躉繳凈保費(fèi)，等第六章生存年金31第六章生存年金1生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給付，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取在投保時(shí)一次性繳付的躉繳方式或者在一定時(shí)期內(nèi)的均衡繳付的方式。生存年金形式：即期年金（immediateannuities）延期年金(deferredannuities)定期確定的生存年金指數(shù)化年金聯(lián)合生存年金32生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給生存年金精算現(xiàn)值純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)人存活將得到規(guī)定的保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)。

【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險(xiǎn)公司得到1000元的一次性給付。設(shè)利率i=6%，試寫出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。33生存年金精算現(xiàn)值純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)解：李明從20歲活到60歲的概率是，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險(xiǎn)這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：根據(jù)附表中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990～1993年）（男女混合表）的資料得，l20

=983992，l40=877671，可以計(jì)算得,

所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1000×0.89195×1.06-40=86.72（元）。34解：李明從20歲活到60歲的概率是，他在一般地：假設(shè)某人

x歲時(shí)開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險(xiǎn)金，（x）存活n年的概率為，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個(gè)，每人存入元，到年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。以表示1單位元n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值，即純生存保險(xiǎn)變換上式得，35一般地：假設(shè)某人

x歲時(shí)開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)，為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。

純生存保險(xiǎn)它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。36與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，n年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險(xiǎn)人在規(guī)定的時(shí)期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。一般類型：終身年金、定期年金、延期年金37年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給終身生存年金【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：

代入相應(yīng)的存活概率和利率，就可以計(jì)算出這一年金的精算現(xiàn)值。38終身生存年金【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存期首付終身生存年金一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險(xiǎn)期逐步延長(zhǎng)的純粹生存保險(xiǎn)之和，如下圖所示：其中，0Ex=1，求和上限實(shí)際是ω-x-1，為方便通常寫成∞。39期首付終身生存年金一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存期末付終身生存年金對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示：

40期末付終身生存年金對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖定期生存年金一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以表示，

類似地，對(duì)(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：41定期生存年金一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期生存年金n年延期生存年金:從計(jì)算時(shí)點(diǎn)起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據(jù)定義,顯然，42對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地，

43延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地，13延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以或表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金44延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。延期定期對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1

起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金或表示，根據(jù)定義：

45對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。

延期定期生存年金46期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。延期定期生存連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金47連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金17連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金延期定期連續(xù)生存年金48連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金18生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系49生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系19背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設(shè)下近似計(jì)算。

對(duì)（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，這一年金在每個(gè)(k=0,1,2,……)上收付1/m，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。年付m次生存年金

50背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生近似公式對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值51近似公式對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存近似公式對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：52近似公式對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對(duì)當(dāng)時(shí)，上面的年金稱為終身變額年金。變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時(shí)期的不同而變動(dòng)。變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(duì)(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，…，x+n-1上分別為，則精算現(xiàn)值（ActuarialPresentValue，簡(jiǎn)記為APV）為，變額生存年金53當(dāng)時(shí)，上面的年金稱為終身變一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金54一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變?nèi)绻杲鹗崭额~