9方向?qū)?shù)與梯度課件

三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向?qū)?shù)與梯度四、小結思考題三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向1一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點x0處沿x軸方向增大.二元函數(shù)函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿x軸方向增大函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿x軸方向減小.函數(shù)值在點x0處沿x軸方向減小.一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點x0處沿x軸方向增大2函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向減小二元函數(shù)【問題】二元函數(shù)在點P(x0,y0)處沿其它射線方向的變化率如何？函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點P(3討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）——l

的參數(shù)方程討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變4記為1.【定義】記為1.【定義】5(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價6（自己推導）綜上①②可知：若某點偏導數(shù)存在，能保證該點沿x、y

軸的四個射線方向的方向?qū)?shù)分別存在.其它方向的方向?qū)?shù)是否存在不能保證.【反例】（自己推導）綜上①②可知：若某點偏導數(shù)存在，能保證該點沿x、72.【方向?qū)?shù)的存在及計算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)有何關系，有如下定理【證明】由假設則2.【方向?qū)?shù)的存在及計算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)8(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當函數(shù)在該點可微時，函數(shù)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在且有：(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當函數(shù)在該點可9【解】【練習】求在點沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為【解】【練習】求10【補例2】教材習題9-7P108

第3題

【思考】取正號可否?【解】【補例2】教材習題9-7P108第3題【思考119方向?qū)?shù)與梯度課件12【解】令故方向余弦為【解】令故方向余弦為13故故14三、梯度的概念【問題】［實例］一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標分別是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？【問題的實質(zhì)】應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．三、梯度的概念【問題】［實例］一塊長方形的金屬板，四個頂點的15【注】梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi)的一個向量.【注】梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi)16其中其中17【結論】函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為【結論】函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向18曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值線梯度為等值線上的法向量2.【梯度的幾何意義】在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值19事實上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度方向相同事實上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度20等值線的畫法播放等值線的畫法播放21【例如】【例如】22【梯度與等值線的關系】

（即梯度的幾何意義）【梯度與等值線的關系】（即梯度的幾何意義）23類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)取得最大值，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)249方向?qū)?shù)與梯度課件25【解】由梯度計算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練習題】【解】由梯度計算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練26【解】【解】271、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結即該點方向?qū)?shù)取最大值的方向.1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注28【思考題】【思考題解答】【思考題】【思考題解答】299方向?qū)?shù)與梯度課件30等值線的畫法等值線的畫法31等值線的畫法等值線的畫法32等值線的畫法等值線的畫法33等值線的畫法等值線的畫法34等值線的畫法等值線的畫法35等值線的畫法等值線的畫法36等值線的畫法等值線的畫法37等值線的畫法等值線的畫法38等值線的畫法等值線的畫法39三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向?qū)?shù)與梯度四、小結思考題三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向40一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點x0處沿x軸方向增大.二元函數(shù)函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿x軸方向增大函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿x軸方向減小.函數(shù)值在點x0處沿x軸方向減小.一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點x0處沿x軸方向增大41函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向減小二元函數(shù)【問題】二元函數(shù)在點P(x0,y0)處沿其它射線方向的變化率如何？函數(shù)值在點P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點P(42討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）——l

的參數(shù)方程討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變43記為1.【定義】記為1.【定義】44(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價45（自己推導）綜上①②可知：若某點偏導數(shù)存在，能保證該點沿x、y

軸的四個射線方向的方向?qū)?shù)分別存在.其它方向的方向?qū)?shù)是否存在不能保證.【反例】（自己推導）綜上①②可知：若某點偏導數(shù)存在，能保證該點沿x、462.【方向?qū)?shù)的存在及計算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)有何關系，有如下定理【證明】由假設則2.【方向?qū)?shù)的存在及計算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)47(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當函數(shù)在該點可微時，函數(shù)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在且有：(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當函數(shù)在該點可48【解】【練習】求在點沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為【解】【練習】求49【補例2】教材習題9-7P108

第3題

【思考】取正號可否?【解】【補例2】教材習題9-7P108第3題【思考509方向?qū)?shù)與梯度課件51【解】令故方向余弦為【解】令故方向余弦為52故故53三、梯度的概念【問題】［實例］一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標分別是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？【問題的實質(zhì)】應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．三、梯度的概念【問題】［實例］一塊長方形的金屬板，四個頂點的54【注】梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi)的一個向量.【注】梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi)55其中其中56【結論】函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為【結論】函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向57曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值線梯度為等值線上的法向量2.【梯度的幾何意義】在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值58事實上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度方向相同事實上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度59等值線的畫法播放等值線的畫法播放60【例如】【例如】61【梯度與等值線的關系】

（即梯度的幾何意義）【梯度與等值線的關系】（即梯度的幾何意義）62類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)取得最大值，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)639方向?qū)?shù)與梯度課件64【解】由梯度計算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練習題】【解】由梯度計算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練65【解】【解】661、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結即該點方