微分及其運算課件

微分及其運算一微分的定義二微分的基本公式三微分的四則運算法則四微分形式的不變性五微分在近似計算中的應(yīng)用微分及其運算一微分的定義1一、微分的定義當(dāng)正方形的邊長從變到時，相應(yīng)的面積增量.函數(shù)增量分成兩部分，一部分是的線性部分，一部分是關(guān)于的高階無窮小一、微分的定義當(dāng)正方形的邊長從變到2當(dāng)立方體的邊長從變到時，相應(yīng)的體積增量函數(shù)增量分成兩部分，一部分是的線性部分一部分是關(guān)于的高階無窮小當(dāng)立方體的邊長從變到時3定義設(shè)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域.若其中A與無關(guān)，而是關(guān)于的高階無窮小，則稱y=f(x)在可微，而稱為y=f(x)在點處的微分，記為定義設(shè)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，4定理3.7

y=f(x)可微的充分必要條件是y=f(x)可導(dǎo)，且有.由于，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之比，因此導(dǎo)數(shù)也稱微商.微分dy的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點處的切線的縱坐標(biāo)的增量.定理3.7y=f(x)可微的充分必要條件是y=f(x)5二、微分的基本公式微分的基本公式：二、微分的基本公式微分的基本公式：6微分及其運算課件7三、微分的四則運算法則定理3.8設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，則,u,v可微，且有證三、微分的四則運算法則定理3.8設(shè)u=u(x)，v=v8定理3.9設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，且，則可微,且有.證定理3.9設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，且9例1設(shè)解例1設(shè)解10例2設(shè)y=xtanx－sinx，求dy.解注意，當(dāng)然也可以直接用公式求微分.例2設(shè)y=xtanx－sinx，求dy.解注意，11例3設(shè)解例3設(shè)解12四、微分形式的不變性設(shè)y=f(u),u=g(x)都可微，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))也可微，此時有可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有，這就是微分形式的不變性.利用微分形式的不變性，可以計算復(fù)合函數(shù)的微分.四、微分形式的不變性設(shè)y=f(u),u=g(x)都可微，則復(fù)13例4設(shè)解如果不引入中間變量u，則可例4設(shè)解如果不引入中間變量u，則可14例5設(shè)解當(dāng)然，也可以直接用公式來求微分，即求出后再乘以dx得到dy.例5設(shè)解當(dāng)然，也可以直接用公式15五、微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)y=f(x)在可導(dǎo)，當(dāng)自變量從變到x(即取得增量)，則有當(dāng)x很接近時，即很小時，就有近似公式即當(dāng)容易計算時，就可以用上述的近似公式來計算附近點的函數(shù)值.五、微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)y=f(x)在可導(dǎo)，當(dāng)16例6解例6解17微分及其運算一微分的定義二微分的基本公式三微分的四則運算法則四微分形式的不變性五微分在近似計算中的應(yīng)用微分及其運算一微分的定義18一、微分的定義當(dāng)正方形的邊長從變到時，相應(yīng)的面積增量.函數(shù)增量分成兩部分，一部分是的線性部分，一部分是關(guān)于的高階無窮小一、微分的定義當(dāng)正方形的邊長從變到19當(dāng)立方體的邊長從變到時，相應(yīng)的體積增量函數(shù)增量分成兩部分，一部分是的線性部分一部分是關(guān)于的高階無窮小當(dāng)立方體的邊長從變到時20定義設(shè)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域.若其中A與無關(guān)，而是關(guān)于的高階無窮小，則稱y=f(x)在可微，而稱為y=f(x)在點處的微分，記為定義設(shè)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，21定理3.7

y=f(x)可微的充分必要條件是y=f(x)可導(dǎo)，且有.由于，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之比，因此導(dǎo)數(shù)也稱微商.微分dy的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點處的切線的縱坐標(biāo)的增量.定理3.7y=f(x)可微的充分必要條件是y=f(x)22二、微分的基本公式微分的基本公式：二、微分的基本公式微分的基本公式：23微分及其運算課件24三、微分的四則運算法則定理3.8設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，則,u,v可微，且有證三、微分的四則運算法則定理3.8設(shè)u=u(x)，v=v25定理3.9設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，且，則可微,且有.證定理3.9設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，且26例1設(shè)解例1設(shè)解27例2設(shè)y=xtanx－sinx，求dy.解注意，當(dāng)然也可以直接用公式求微分.例2設(shè)y=xtanx－sinx，求dy.解注意，28例3設(shè)解例3設(shè)解29四、微分形式的不變性設(shè)y=f(u),u=g(x)都可微，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))也可微，此時有可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有，這就是微分形式的不變性.利用微分形式的不變性，可以計算復(fù)合函數(shù)的微分.四、微分形式的不變性設(shè)y=f(u),u=g(x)都可微，則復(fù)30例4設(shè)解如果不引入中間變量u，則可例4設(shè)解如果不引入中間變量u，則可31例5設(shè)解當(dāng)然，也可以直接用公式來求微分，即求出后再乘以dx得到dy.例5設(shè)解當(dāng)然，也可以直接用公式32五、微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)y=f(x)在可導(dǎo)，當(dāng)自變量從