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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或73.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.4.已知雙曲線:(,)的右焦點(diǎn)與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.35.羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級從名男生,,和名女生,,中各隨機(jī)選出兩名,把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為()A. B. C. D.6.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,7.設(shè)直線過點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么()A. B.3 C. D.18.為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)兩科成績得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長度相同),用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系,根據(jù)圖形,以下結(jié)論最有可能成立的是()A.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為1.25B.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為0.83C.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為-0.87D.線性相關(guān)關(guān)系太弱,無研究價(jià)值9.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像10.已知拋物線C:,過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.311.在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),且,,則()A. B. C. D.12.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,,則______________.14.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù),每天安排一人,每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加,且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí),他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰,那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)15.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________________.16.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí),三棱錐的外接球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),求;(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.20.(12分)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)(1)當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程;(2)當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記分別為的面積,求的最小值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.22.(10分)如圖,四棱錐的底面中,為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,平面平面,為中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.
2023學(xué)年模擬測試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【答案解析】
由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【題目詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【答案解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡即可求得的值.【題目詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡可得.∴解得.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.B【答案解析】
根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【題目詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于常考題型.4.A【答案解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【題目詳解】由已知,,漸近線方程為,因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.5.B【答案解析】
根據(jù)組合知識(shí),計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為,然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為,最后簡單計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細(xì)心計(jì)算,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.6.B【答案解析】
根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】對于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無法得出.對于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無法得出.對于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.7.B【答案解析】
過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【題目詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),∴;∴;故選:B.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.8.B【答案解析】
根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出,二者具有相關(guān)關(guān)系,且斜率小于1.【題目詳解】散點(diǎn)圖里變量的對應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線附近,且比較密集,故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,且直線斜率小于1,故選B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查散點(diǎn)圖的理解,側(cè)重考查讀圖識(shí)圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).9.B【答案解析】
化簡到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【題目詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?,故不可能為,錯(cuò)誤.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.10.B【答案解析】
設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因?yàn)?,所以,得,所以,即,,所?故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.11.A【答案解析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及,計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?所以,所以,故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.12.D【答案解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【答案解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出,再根據(jù)計(jì)算可得;【題目詳解】解:因?yàn)?,所以又所以所以故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14.5040.【答案解析】分兩類,一類是甲乙都參加,另一類是甲乙中選一人,方法數(shù)為。填5040.【答案點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中,甲與乙是兩個(gè)特殊元素,對于特殊元素“優(yōu)先法”,所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題,采用“插空法”。15.【答案解析】
令,則,恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【題目詳解】解:令,則,恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.16.【答案解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】如圖所示:過點(diǎn)作面,垂足為,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)從而的分布列為012;(3).【答案解析】
(1)運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布,再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,他同時(shí)加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率為.18.(Ⅰ)6(Ⅱ)【答案解析】
(Ⅰ)化簡得到直線的普通方程化為,,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計(jì)算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因?yàn)?,所以,所?【答案點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19.(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【答案解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.【題目詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對求導(dǎo)可得從而,是的兩個(gè)變號零點(diǎn),因此下證:,即證令,即證:,對求導(dǎo)可得,,,因?yàn)楣?,所以在上單調(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.20.(1)x2=4y.(2).【答案解析】試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求導(dǎo)y′=,因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以拋物線C1的方程為x2=4y.(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切,得d=r,即,化簡得x04=4x02+4p2,由方程組,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點(diǎn)F(0,)到切線PQ的距離是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號,即x02=4+2,此時(shí),p=.所以的最小值為2+1.考點(diǎn):求拋物線的方程,與拋物線有關(guān)的最值問題.21.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即,直線的普通方程為;(2).【答案解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【題目詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐
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