上海市華師大第一附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是單調(diào)遞減的，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.2．設(shè)集合，則（）A. B.C. D.3．如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p34．已知，則的值為A. B.C. D.5．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動車屬于醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上點(diǎn)鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時的速度減少，則他次日上午最早（）點(diǎn)（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒駕．（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.6．的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.7．已知點(diǎn)在第二象限，則角的終邊所在的象限為A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按逆時針方向沿周長為的平面圖形運(yùn)動一周，，兩點(diǎn)連線的距離與點(diǎn)走過的路程的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則點(diǎn)所走的圖形可能是A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，最小正周期是且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的值為（）A. B.C. D.11．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時，，若時，對任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．若角的終邊過點(diǎn)，則A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．命題的否定是__________14．已知扇形的弧長為，且半徑為，則扇形的面積是__________.15．已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1，1]，則函數(shù)f(log2x)的定義域?yàn)開___16．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式：.18．已知向量，，.（Ⅰ）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若且，求.19．已知函數(shù)f(x)＝coscos－sinxcosx＋(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間20．若實(shí)數(shù)，，滿足，則稱比遠(yuǎn)離.（1）若比遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，試問：與哪一個更遠(yuǎn)離，并說明理由.21．已知f(x)＝log3x.(1)作出這個函數(shù)圖象；(2)若f(a)<f(2)，利用圖象求a的取值范圍22．求證：角為第二象限角的充要條件是

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、A【解析】先判斷出上單調(diào)遞增，由，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對稱，且.又在上是單調(diào)遞減的，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所?，所以,即.故選：A2、D【解析】根據(jù)絕對值不等式的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，即可求解.【詳解】由，解得，即，即，又由，即，所以.故選：D.3、A【解析】首先設(shè)出直角三角形三條邊的長度，根據(jù)其為直角三角形，從而得到三邊的關(guān)系，然后應(yīng)用相應(yīng)的面積公式求得各個區(qū)域的面積，根據(jù)其數(shù)值大小，確定其關(guān)系，再利用面積型幾何概型的概率公式確定出p1，p2，p3的關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，所以有，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問題，題中需要解決的是概率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果.4、C【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α，然后給分子分母求除以cos2α，把原式化為關(guān)于tanα的關(guān)系式，把tanα的值代入即可求出值【詳解】因?yàn)閠anα＝3，所以故選C【點(diǎn)睛】本題是一道基礎(chǔ)題，考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值的能力，做題的突破點(diǎn)是“1”的靈活變形5、D【解析】根據(jù)題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點(diǎn)，該駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕.故選：D.6、C【解析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式的性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】由題意得，解得，所以的定義域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了具體函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由題意利用角在各個象限符號，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，點(diǎn)在第二象限，則角的終邊所在的象限位于第四象限，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)在各個象限的符號，其中熟記三角函數(shù)在各個象限的符號是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】認(rèn)真觀察函數(shù)圖像，根據(jù)運(yùn)動特點(diǎn)，采用排除法解決.【詳解】由函數(shù)關(guān)系式可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到圖形周長一半時O,P兩點(diǎn)連線的距離最大，可以排除選項(xiàng)A,D,對選項(xiàng)B正方形的圖像關(guān)于對角線對稱，所以距離與點(diǎn)走過的路程的函數(shù)圖像應(yīng)該關(guān)于對稱，由圖可知不滿足題意故排除選項(xiàng)B，故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別和判斷，考查對于運(yùn)動問題的深刻理解，解題關(guān)鍵是認(rèn)真分析函數(shù)圖象的特點(diǎn)．考查學(xué)生分析問題的能力9、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，A正確.B選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，B錯誤.C選項(xiàng)，的最小正周期為，且是奇函數(shù)，C錯誤.D選項(xiàng)，的最小正周期是，且是偶函數(shù)，D錯誤.故選：A10、D【解析】求出，由三角函數(shù)定義求得，再由誘導(dǎo)公式得結(jié)論【詳解】依題有，∴，∴.故選：D11、B【解析】由可求解出和時，的解析式，從而得到在上的最小值，從而將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用分離變量法可將問題轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)單調(diào)性求得在上的最大值，從而得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，時，當(dāng)時，，時，時，，即對恒成立即：對恒成立令，，，解得：故選：B12、D【解析】角的終邊過點(diǎn)，所以.由角，得.故選D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、；【解析】根據(jù)存在量詞的命題的否定為全稱量詞命題即可得解；【詳解】解：因?yàn)槊}“”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題為故答案為：14、##【解析】由扇形面積公式可直接求得結(jié)果.【詳解】扇形面積.故答案為：.15、【解析】根據(jù)給定條件列出使函數(shù)f(log2x)有意義的不等式組，再求出其解集即可.【詳解】因函數(shù)f(x)的定義域是[-1，1]，則在f(log2x)中，必有，解不等式可得：，即，所以函數(shù)f(log2x)的定義域?yàn)?故答案為：16、【解析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，最后解一元二次不等式得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且在R上單調(diào)遞增因此由得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；（3）由得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，可得，則，所以，，則，因此，.【小問2詳解】證明：函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因?yàn)?，則，，故，即.因此，函數(shù)在上是增函數(shù).【小問3詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集為.18、(1)(2)【解析】（Ⅰ）向量，，，所以.關(guān)于的方程有解，即關(guān)于的方程有解.因?yàn)?，所以?dāng)時，方程有解，即解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?當(dāng)時，，由，解得當(dāng)時，，由，解得.試題解析：（Ⅰ）∵向量，，，∴.關(guān)于的方程有解，即關(guān)于的方程有解.∵，∴當(dāng)時，方程有解.則實(shí)數(shù)的取值范圍為.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?當(dāng)時，，.當(dāng)時，，.19、（1）最小正周期為T＝π，最大值為（2）[kπ－58π,kπ【解析】（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最大值為（II）由得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-5π20、（1）；（2）比更遠(yuǎn)離，理由見解析.【解析】（1）由絕對值的幾何意義可得，即可求的取值范圍；（2）只需比較大小，討論、分別判斷代數(shù)式的大小關(guān)系，即知與哪一個更遠(yuǎn)離.【小問1詳解】由比遠(yuǎn)離，則，即.∴或，得：或.∴的取值范圍是.【小問2詳解】因?yàn)?，有，因?yàn)?，所以從而，①?dāng)時，，即；②當(dāng)時，，又，則∴，即綜上，，即比更遠(yuǎn)離21、（1）見解析（2）0<a<2.【解析】(1)有對數(shù)函數(shù)作數(shù)圖像；(2)利用圖象可求a的取值范圍【詳解】(1)作出函數(shù)y＝log3x的圖象如圖所示(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由圖象知，當(dāng)0<a<2時，恒有f(a)<f(2)∴所求a的取值范圍為0<a<2.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.22、證明見解析【解析】先證明充分性，即由可以推