指數(shù)以及指數(shù)運(yùn)算講義-2022年暑假初高銜接高一數(shù)學(xué)

專題4.1指數(shù)以及指數(shù)塞運(yùn)算【重點(diǎn)題型歸類】型型型型型型

題題題題題題1型型型型型型

題題題題題題2根式的化簡3指數(shù)幕的運(yùn)算4根據(jù)條件求值5指數(shù)幕等式及幕的方程問題6指數(shù)幕運(yùn)算綜合【選講】【知識點(diǎn)框架梳理】知識點(diǎn)1根式.〃次方根(1)定義：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根，其中">1,且〃gN*.(2)個數(shù)：n是奇數(shù)a>0x>0X僅有.一個值，記為加。<0x<0〃是偶數(shù)以>0X有兩個值，且互為相反數(shù)，記為土加以<0X不存在.根式(1)定義：式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(2)性質(zhì)：函)"=a,4a"fa,〃為奇數(shù)[|4〃為偶數(shù)(其中〃>1且〃gN*).知識點(diǎn)2指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì).分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)幕正分?jǐn)?shù)指數(shù)基m 規(guī)定：a；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕_巴 1 1規(guī)定：Cln- = (4>0,m,7T￡N,〃>1)an'a0的分?jǐn)?shù)指數(shù)事0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲沒有意義ni注：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是根式的一種新的寫法，不可理解為‘個。n相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基是表示相同意義的量，只是形式不同而已..有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)塞也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①a"'=am+n(a>0,6，〃eQ).②(ab)"=a"-h'\a>0,b〉0,〃eQ)③(a'")"=a""’(a>0,/〃,〃eQ).(2)指數(shù)幕的幾個常用結(jié)論：①當(dāng)a>0時，a*>0；②當(dāng)a視時，a°=\,而當(dāng)a=0時，a"無意義；③若a'=a*(a>0,且a#l),則r=s：④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕.3,無理數(shù)指數(shù)幕(1)無理數(shù)指數(shù)幕一般地，無理數(shù)指數(shù)某a"(a>0,a是無理數(shù))是一個確定的實(shí)數(shù).這樣，我們就將指數(shù)事優(yōu)(〃>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù).(2)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)幕，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)的取值范圍實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)箕性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)的取值范圍(1,a-am.nEZ.aERa,a-ar9sER,且a>0/m\m_,a)=am.nEZ,ri€R(ar)*=anr,s￡R,且a>0(aby-abKnGZ,</eR.6GR(abY=abrrER,Sa>0,6>04.化簡求值的方法與技巧(1)在進(jìn)行幕和根式的化簡時，一般是先將根式化成幕的形式，并化小數(shù)指數(shù)幕為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，并盡可能統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)累的性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值、計算.(2)結(jié)果必須化為最簡的形式.(3)巧妙公式變形：完全平方公式，立方和、立方差等.【經(jīng)典例題解析】【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化】【方法點(diǎn)撥】化為 化為（1）根指數(shù)一分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)（式）的指數(shù)一分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.（2）當(dāng)根式為多重根式時，要清楚哪個是被開方，由內(nèi)向外、由外向內(nèi)化解?！纠?】求解下列試題。.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)基和根式的轉(zhuǎn)化求下列各式的值.（1）32：； ⑵9； （3）（1f3； （4）85..用分?jǐn)?shù)指數(shù)累表示下列各式（a>0/>0）：（4）而2G⑴。2向 ⑵W（4）而2G【變式1-1］計算［（_2）-21的結(jié)果是（）TOC\o"1-5"\h\zL 1 八L 1A-V2 B.- c.-y/2 D.--【變式1?2】（2019秋?南關(guān)區(qū)校級月考）化簡G?好（a>0）的結(jié)果是（ ）i/a B.療 C.-^［a D.蚣a

【變式1-3】(2020秋?余姚市校級期中【變式1-3】(2020秋?余姚市校級期中)3 3A.(―%)2 B.—(―x)2【變式1?4】下列式子的互化正確的是(A.=y5(y<0)C.x~l=^(|)5(x>0)【變式1-5](2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué))1A.無2 B.C. D.一工2)x-5=—Vx(x*0)D.—Vx=(-x)^(x>0)TOC\o"1-5"\h\z(Jxs-VF7)三化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為( )4 2xF D.X5【題型2根式的化簡】【方法點(diǎn)撥】(D思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.⑵注意點(diǎn)：①正確區(qū)分(板)"與V/兩式；②運(yùn)算時注意變式、整體代換，以.及平方差、.立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，必要時要進(jìn)行討論.【例2】化簡下列各式..(1).(3_冗)4； (2)y](a-h)2(a>b)； (3) +J”//+.(j)3(4)-y/s+2^6_5/6—4V2+.【變式2-1]若x<0,則|x|-4?+七*=.【變式2-2](2019秋?景泰縣校級期中)J3+2VI+J3-2&等于( )A.2& B.2 C.76 D.2

【變式2-3］化解“一26+而—后+*1一6y=()A.73-1B.1->/3C.3-373D.30一3【題型3指數(shù)幕的運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】1.指數(shù)募運(yùn)算的常用技巧(1)有括號先算括號里的，無括號先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.(2)負(fù)指數(shù)寨化為正指數(shù)器的倒數(shù).(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用幕的形式表示,便于用指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).【例3】計算下列各式：⑴(21)。+ x(2:尸-(0.01嚴(yán)； (2)(2-)05+0.產(chǎn)+(2與尸一3二+條(5)(』)&.((5)(』)&.(""221T,(4>o,b>0).(0.1產(chǎn)(°%-3)5(6)4 2。§一8。3b2 24〃+2病+涼(3)(0.064)^-(-g)°+(一2廠4+16?75(4)齊.(-3a .( 5A4—戶(4>0,人>0)1 )< J

【變式3-1】計算(32-(-2.5)°一磅f+昌-2的結(jié)果為( )5A.-21 25 3B.- C.— D.-2 18 2【變式3-2]3?（2020秋?徐州期末）化簡（2。4飛）?（-3。％）4-（4a4h-3）（a,b>0）得（3, 37 3ZA.—尹B.-h2 C.-5&3 D.-h32 2 2【變式3-3]（1）化間：Jxy \xy；（2）求值：廣（廣）+（尸+J（x/5百）.\J2—1 y/24-1 8【變式3-4】計算下列各式的值:（1）遭"—。（1）遭"—。4。）,-3WI1 x士3（2）（2/2_（_9.6）。-（53+（式.【題型4根據(jù)條件求值】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)黑的運(yùn)算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論.⑵當(dāng)直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點(diǎn)，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進(jìn)行化簡，再用整體代入法來求值.⑶適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】求解下列試題。.已知/+屋3=3,求下列各式的值：3 _3a+a'； (2)a2+a~2. (3)a^+a^

.若x>0,y>0,且x—Jxy-2y=0>則 =的值為“ * y+2j孫TOC\o"1-5"\h\zcc【變式4?1】（2020秋?開封期中）已知正數(shù)x滿足X2+%-2=①，則/+/2=（ ）A.6 B.7 C.8 D.91 1【變式4?2】（2020秋?秦淮區(qū)校級期中）已知〃+\=4,則成一。一2等于（ ）A.2 B.V2 C.-V2 D.+V211

■>,>【變式4-3］已知x+y=12,xy=9S.x<y,求?的值 .x2+y21 3 3【變式4-4］（2020秋?亭湖區(qū)校級月考）已知e產(chǎn)一。一產(chǎn)=2,求e產(chǎn)一e一產(chǎn)的值為（ ）A.2 B.8 C.10 D.14【變式4-5］若是方程/一6%+4=0的兩根，且。>力>0,則平二的值為 y/a+y/b【題型5指數(shù)幕等式及幕的方程問題】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)方程常見的類型有：（1）。—1Ax）=g（x）;（2）/（十）=0.其中類型（1）利用同底法解，類型（2）利用換元法解.TOC\o"1-5"\h\z【例5】（2020?閻良區(qū)校級自主招生）方程5廠1?1038=8'的解集是（ ）1 1A.{1,4} B.{-） C.{1,-} D.（4,-）4 4 4【變式5-1］（2020秋?興慶區(qū)校級期末）方程/-1=3的解是（ ）-2-1-2-1C.2D.1【變式5-2】方程4X-10?2'+16=0的解集是.【變式5-3］（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）方程2戶2-3?2“4=0的解是【題型6指數(shù)塞運(yùn)算綜合選講】【方法點(diǎn)撥】（1）有時適當(dāng)?shù)剡x用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔。（2）對于某些實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的求值問題，不需要將未知數(shù)一一求出來，此時就需要認(rèn)真分析已知式和所求式的結(jié)構(gòu)特征，通過變形并結(jié)合乘法公式把它們聯(lián)系起來，然后用“整體代換”或“先求值后代換”的方法求值。（3）對于指數(shù)幕等式的證明問題常常是將指數(shù)嘉化為同底，利用指數(shù)塞相等的規(guī)律進(jìn)行證明?！纠?】對于正整數(shù)a,伍c（aW04c）和非零實(shí)數(shù)x,y,z,w,若優(yōu)=c'=70"片1,-=-+-+wxyz求a,力,c的值?！纠?【例7】已知〃X)=4A4x+2(1)求/(a)+/(l-a)(a>0且awl)的值;⑵求康)+/(急)+，(盛卜???+，(豢)的直3 -3 3-3【變式7-1](2019秋?臨沂期中)己知了(初二三匚，g(x)=' .(1)求證：/(x)是奇函數(shù)，并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)分別計算/(4)-5/(2)g(2)和/(9)-5/(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)/(x)和g(x)對所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.【課后訓(xùn)練】1n21.（2021春?浦城縣月考）（2男尸=（)4 1693A.- B.一C.—D.一3 91642.（2020秋?興慶區(qū)校級期末）方程3、t=E的解是（ ）A.-2 B.-1C.2D.13.若2<a<3,化簡J(2-a)2+#(3-a)4的結(jié)果是（）A.5—2。B.2a—5C.1D.—14.根式、%的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式為（）4 4 3 3A?尸(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)己知，+x-2=3,則x+/i的值為( )A.V5 B.1(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)己知，+x-2=3,則x+/i的值為( )A.V5 B.1 C.±V5 D.±1(2021?西安模擬)已知3"-1+3“-2+3。-3=117,則(a+1)(?+2)(a+3)=( )A.120 B.210 C.336 D.504(2021?讓胡路區(qū)校級開學(xué))計算述于-(1)°+0.