概率與統(tǒng)計（解答題）-大數(shù)據(jù)之五年（2018-2022）高考真題匯編（新高考卷與全國理科）

概率與統(tǒng)計（解答題）——大數(shù)據(jù)之五年（2018-2022）高考真題匯編（新高考卷與全國理科）數(shù)學(xué)考試注意事項：1、填寫答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫2、提前xx分鐘收取答題卡第回卷主觀題第回卷的注釋閱卷人一、解答題（共31題；共350分）得分（15分）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.（5分）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（5分）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70）的概率；（5分）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患該種疾病的概率.（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）【答案】（1）解：平均年齡x=（5X0.001+15x0.002+25X0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002）x10=47.9（歲）(2)解：設(shè)人={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},則P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89(3)設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種族病｝,加小攵/"視罰八#陽D”?P(BC)0.1%x0.023xl0 0.001x0.23nnni.??cnnni.則由條件概率公式，得P(C|B)=,⑻，= 正跖 = =0.0014375?0.0014【解析】【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；(2)設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,根據(jù)對立事件的概率公式P(A)=1-P(N)即可解出；(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.(10分)甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(5分)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(5分)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.【答案】(1)解：設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.(2)解：依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，P(X=0)=0.5x0.4x0,8=0.16,P(X= 10)=0.5x 0.4x0.8+0.5x0.6x 0.8 +0.5x 0.4x0.2=0.44 ,P(X= 20)=0.5x 0.6x0.8+0.5x0.4x 0.2 +0.5x 0.6x0.2=0.34 ,P(X= 30)=0.5x 0,6x0.2=0.06.即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)=0x0.16+10x0.444-20x0.34+30x0.06=13【解析】【分析】(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可

求出期望.（10分）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B210302附. n(ad-bc) k_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.1000.0500.010k2.7063.8416.635（5分）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；（5分）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)?【答案】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，A共有班次240+20=260次，準(zhǔn)點班次有240次，設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點事件為M,miln/A/、 240 12則p（m）=旃=b；則A家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為1|；B共有班次210+30=240次，準(zhǔn)點班次有210次，設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點事件為N,則P（N）=||§=[B家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為g.（2）解：列聯(lián)表準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)合計A24020260B21030240合計450505002 9n(ad-bc) =500x(240x30-210x20)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-260x240x450x50-根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算K2,再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.（15分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3）,得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積Xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量匕0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得〉城=0.038,〉W=1.6158,〉々匕=0.2474.^^1=1 ^-^1=1￡1。1元）（%一刃 瑪用辛三柄「一11 -V1.896?1.377附：相關(guān)系數(shù) .〉（勺-元）〉仇-刃（5分）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（5分）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（5分）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.【答案】（1）解：樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值x=^=0.06樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值y=瑞=0.39據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,平均一棵的材積量為0.39m3（2）解：r= 2i=i（x「用.「刃 = 理i叩「1。取J型18一兄）2工昌仇一刃2J（鳴勺2-10/）礎(chǔ)1%2_ioy2） 0.2474-10x0.06x0.39 0.0134?0.0134j（0.038-10x0.062）（1.6158-10x0.392）V0.0001896°-01377?0.97則r?0.97（3）解：設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3,又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,可得揩=半，解之得Y=1209m3.則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為12097713【解析】【分析】(1)計算出樣本中10棵這種樹木根部橫截面積的平均值及10棵這種樹木材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；(3)依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.(10分)在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎，為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：TOC\o"1-5"\h\z甲：9.80, 9.70, 9.55, 9.54, 9.48, 9.42, 9.40,9.35,9.30, 9.25；乙：9.78, 9.56, 9.51, 9.36, 9.32, 9.23；丙：9.85, 9.65, 9.20, 9.16.假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立(I)估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(II)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；(Ill)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證明)【答案】(D由題意得：設(shè)甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎為事件A：比賽成績達(dá)到9.50m以上獲優(yōu)秀獎，甲的比賽成績達(dá)到9.50以上的有：9.80,9.70,9.55,9.54四個，所以甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為P(A)=0.4;(IDX所有可能取值為0,1,2,3甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為P(A)=0.4乙在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為事件B,則p=0.5丙在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為事件C,則P(C)=0.5P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15P(X=1)=0.4x0,5x0.5+0.6x0,5x0.54-0.6x0.5x0,5=0.4P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35P(X=3)=0.4x0.5x0.5=0.1X0123P0.150.40.350.1E(X)=0x0.15+1x0.44-2x0.354-3x0,1=1.4(III)甲的平均數(shù)：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.424-9.40+9.35+9.30+9.25)x0.1=9.479乙的平均數(shù)：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9,23)+6=9.457丙的平均數(shù)：(9.85+9.65+9.20+9.16)X0.25=9.465甲的方差：S(5分)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(5分)從該地的人群中任選一人，A表示事件”選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件=[(9.8-9,479)2+?+(9.25-9.479)2]+10=0.172乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2+...+(9.23-9.457)2]+6=0.0329丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2+…+(9.16(5分)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(5分)從該地的人群中任選一人，A表示事件”選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件【解析】【分析】(1)根據(jù)古典概型概率公式計算即可；(2)由題意X的可能取值為0,1,2,3,先分別求得甲、乙、丙在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率，再分別求取X取值的相應(yīng)概率，由此得分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)甲、乙、丙的比賽成績的平均值和方差即可判斷.(10分)一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在己患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組10902附.^2_n(ad-bc) ■A―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828

“選到的人患有該疾病“，黑爆與燥的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該i\D|/i) ryD|/1J疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.⑴證明:R_p(川8)⑴證明:—P(Z|B)P(A|月)'(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(AIB)的估計值，并利用⑴的結(jié)果給出R的估計值.7=24>6.625【答案:](1)172__200x(40x90-10x60)=24>6.625所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.(2)用局部估計總體PQ4B)尸畫)=p(gm)-p(pi&=p(叩)中(叱)=p(4)?P0)K一P(F|4)丁p[B\A)~p[b]A)P(B\A)~P(84)/(BZ)p^T~p^T(ii)P(A|B(ii)P(A|B)=P(AB)?P(BA)P(BA)-P(BA)n(4B)_40

n(B)=100P(BA)P(BA)=P(AIB)-P(AIB)n(AB)90-n(F)-=T00_P(AB)n(AB)60 _P(AB)n(AB)10P⑷8)=避=今鬲=頑‘°⑷8)=儲=溫=頑40x90

”60x10"故R的估計值為6【解析】【分析】(1)代入數(shù)據(jù)，求得K2,再對出表格，即可得結(jié)論;(2)(i)根據(jù)新定義，結(jié)合條件概率的計算公式，即可證明;(ii)由條件概率的計算公式分別求得PQ4IB),P(A|B),P(AIB),P(AIB),再代入R,求解即可.(15分)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第。代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)= =0,1,2,3).(5分)已知p0=0.4,P]=0.3,p2=0.2,p3=0.1>求E(X)；(5分)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：Po+PXX+P2x2+P3x3=x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)w1時，p=1,當(dāng)E(X)>1時，p<1;(5分)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.【答案】(1)E(X)=Ox0.4+1x0.3+2x0.2+3x0.1=1.(2)設(shè)/(x)=p3x3+p2x24-Qi-l)x+p0,因為p3+P2 +Pi+po=1，故/(x) =p3X3+p2X2-(p2 +p0 +P3)X+p0,TOC\o"1-5"\h\z若E(X)<1 ,則Pl+2P2+3p3<1 ,故P2+2P3WPo .f(x)=3P3/ +2p2x-(p2+Po+p3) ?因為f(0)= ~(P2+Po+P3)<°'/(1)=P2+2p3-p0 < 0 ,故/(x)有兩個不同零點Xi，X2)且<0<1W*2，且XW(—00,xx)u(x2,+8)時，/(X)>0；X6 x2)時，/(x)<0;故f(x)在(-00,#1),(%2，+oo)上為增函數(shù)，在。1，小)上為減函數(shù)，若冷=1，因為f(x)在(*2，+°°)為增函數(shù)且/(I)=0,而當(dāng)》6(0,%2)時，因為f(x)在(Xi，X2)上為減函數(shù)，故/(x)>/(x2)=/(I)=0,故1為p0+PXX+P2x2+P3x3=x的一個最小正實根，若#2>1，因為/(I)=0且在(0,%2)上為減函數(shù)，故1為Po+VXX+P2X2+p3X3=X的一個最小正實根，綜上，若E(X)<1,貝|Jp=1.若E(X)>1,則Pi+2P2+3p3>1,故P2+2P3>Po.此時/(0)=-(P2+Po+P3)<0，/(l)=P2+2p3-Po>0，故f(X)有兩個不同零點Xj,X4?且X3<0<X4<1,且Xe(—00,X3)u(x4,+8)時，/(%)>0：%G(%31%4)時，/(X)<0?故/(%)在(-00,X3)，(%4，+0°)上為增函數(shù)，在(*3，X4)上為減函數(shù)，而/(I)=0,故/(X4)<0,又/(0)=p0>0,故/(x)在(0,x4)存在一個零點p,且p<1.所以P為po+PXX+p2X2+p3X3=X的一個最小正實根，此時p<1,故當(dāng)E(X)>1時，p<1.(3)每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.【解析】【分析】(1)利用公式計算可得E(X).(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f(l)=O及極值點的范圍可得f(x)的最小正零點.(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.(10分)為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取"合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有100人，己知其中2人感染病毒.(5分)①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為1,定義隨機(jī)變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(5分)若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)丫的期望為E(Y),試比較E(X)和E(K)的大小(直接寫出結(jié)果).【答案】(1)①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，X可以取20,30,1 1inP(X=20)=在，P(X=30)=l一直=與,則X的分布列：X2030p1TT1011所以E(X)=20x^-+30x1y=^;(2)由題意，Y可以取25,30,設(shè)兩名感染者在同一組的概率為p,P(Y=25)=p, =30)=1-p,則E(y)=25p+30(1-p)=30-5p,若p=條時，E(X)=E(Y)；若p>4時，E(X)>E(Y)；若p<條時，￡(X)<E(Y)【解析】【分析】(1)①根據(jù)"k合1檢測法”，結(jié)合隨機(jī)抽樣的定義求解即可；②根據(jù)“k合1檢測法”，以及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列和期望求解即可；(2)根據(jù)“k合1檢測法“，以及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望求解即可.(10分)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一■級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400(5分)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(5分)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：k2=n(ad-bc)(a-\-b)(c+d)(q+c)(b-Vd)P（K：Nk）0.05000100.001K3.8416.635010,828【答案】(1)(1)由題意可知：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是：黑乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是：揣2⑵由于K?=400+(150x80-50x120) 400 256>6635k270x130x200x200 39所以，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?！窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù)頻率=頻數(shù)/總體直接求解即可；(2)根據(jù)獨立性檢驗的方法直接求解即可.(10分)某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為無和歹，樣本方差分別記為短和S22(1)(5分)求元，y,si2,S22；(2)(5分)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y-x>2尾互，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)乩的該項指標(biāo)的均俏.較設(shè)備有髭著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).【答案】(1)解：各項所求值如下所示x= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7>10.0y=A(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3x[(9.7-l0.0)2+2x(9.8-l0.0)2+(9.9-l0.0)2+2X(l0.0-10.0)2+(10.1-l0.0)2+2x(10.2-10.0)2+(l0.3-10.0)2]=0.36,=-Lx[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.(2)由⑴中數(shù)據(jù)得y-x=0.3,2sl+s2-0.551J10顯然》-元V2 ,所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。J10【解析】【分析】(1)先計算新舊樣本平均數(shù)五區(qū)再直接用公式計算si2,s22；(2)由(1)中的數(shù)據(jù)，計算得：y-x=0.3,2sl+s2=0.34,顯然9-5V2sl+s2,可得110 4io到答案。11.(10分)某學(xué)校組織"一帶一路''知識競賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從中隨機(jī)抽U又一個問題問答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6.且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)。(5分)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：(5分)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由?！敬鸢浮?1)X的取值可能為0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,：-X的分布列為X02()1(X)p0.20.320.48(2)假設(shè)先答b類題，得分為r,則Y可能為0,80,100,P(y=0)=1_0.6=0.4,P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6x0.8=0.48,???Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,由（1）可知E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,:.E（Y）>E（X）,...應(yīng)先答B(yǎng)類題.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率，并列出X的分布列即可；（2）根據(jù)獨立事件的概率，并列出丫的分布列，根據(jù)期望公式求得E（X）,E（Y）并比較即可判斷.（15分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0,200](200,400](400,600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）7202附./_n(通玩) ,一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（5分）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；（5分）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（5分）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次“00人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好【答案】（1）解：由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為2+搟2s=0.43,等級為2的概率為5+滯12=027,等級為3的概率為耳律=0.21,等級為4的概率為7+2+°_0eg100一K2（2）解：由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為10°x20+30：/35+500x45二K2人次＜400人次＞400空氣質(zhì)量不好3337空氣質(zhì)量好228（3）解：2x2列聯(lián)表如下:7100x(33x8-37x22)~55x45x70x30?5.820>3,841因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計算出K2的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.（15分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20

20y.=1200，i=l個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（Xi,yi）（i=l,2，…，20y.=1200，i=l蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得￡當(dāng)期=60,yZ20 i20 fi20（Xi-xy=80,〉fy.-yy=9000,〉（xk-x）（y.-y）=800.（5分）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（5分）求樣本（x?yi）（i=l,2, 20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（5分）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)>/2附：相關(guān)系數(shù)>/2=1.414.1 120 1【答案】⑴解：樣區(qū)野生動物平均數(shù)為-^2J]y（.=^xl200=60,地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200X60=12000（2）解：樣本（%,%）的相關(guān)系數(shù)為xgi(Xf-x)(yt-y) 800 242鬲8T)2鵡港三標(biāo)減F（3）解：由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本即可.【解析】【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式 ZZ20計算即可：（3）各地塊間植物覆蓋面積差異2（-霓一仇-刃之較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.（15分）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為1,(5分)求甲連勝四場的概率；(5分)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；(5分)求丙最終獲勝的概率.【答案】⑴解：記事件M:甲連勝四場，則P(M)=(J)4= ;(2)解：記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBQ+P(BABA)=4x(》=/，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為P=l-P'=l(3)解：記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，則甲扇的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,所以，甲贏的概率為P(M)=(1)4+7x&)5=備.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為P(N)=l-2x^=《.【解析】【分析】(1)根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；(2)計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；(3)列舉出甲扁的基本事件，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.15.(15分)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：l^g/m3),得下表：so2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812

(75,115]37102附.iz2_n(ad-bc) K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 22,n(ad-bc)“_100x(64x10- 22,n(ad-bc)“_100x(64x10-16x10)/_3600? 、,K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)- 80x20x74x26 - ?74844>6635因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)(5分)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S02濃度不超過150”的概率；(2)(5分)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:so2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)(5分)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？【答案】(1)解：由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率為倦=, 1000.64；(2)解：由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為：so2PM2.5[0,150](150,475]合計[0,75]641680(75,115]101020合計7426100(3)解：根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得（10分）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.（I）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（H）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（III）將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為P。，假設(shè)該校年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為Pi,試比較Po與外的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】解：（I）該校男生支持方案一的概率為?nn=I，NUU十一UU5該校女生支持方案一的概率為飛爵訪=X;3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：（》（1一3+以0）（1一：）,=||;Pi<p0【解析】【分析】（I）根據(jù)頻率估計概率，即得結(jié)果；（II）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結(jié)果；（IH）先求p0,再根據(jù)頻率估計概率Pi,即得大小.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點集4,=｛（。，0），（1，0）,（2,0）（n,0）｝,Bn=｛（0,1）,（n,1）｝,Cn=｛（0,2）,（1,2）,（2,2）,…,（n,2）｝,neN*.令Mn=AnUBnUCn.從集合中任取兩個不同的點，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.（1）（5分）當(dāng)〃=1時，求X的概率分布；（5分）對給定的正整數(shù)〃（n>3）,求概率尸（X<n）（用〃表示）.【答案】（1）解：當(dāng)n=l時，X的所有可能取值是1,V2,2,V5.7 7 /-4 4X的概率分布為P（X=1）=R=謳,P（x=&）=薦=正，% c62 2L2 2P(X=2)=—=F,P(X=v5)=2=正06 06(2)解：設(shè)A(a,b)和B(c,d)是從中取出的兩個點.因為P(X<n)=l-P(X>n),所以僅需考慮X>n的情況.①若b=d,則ABWn,不存在X>n的取法；②若b=0, d=1,則 48=J(a-c)2 +1<"TT ,所以X >n當(dāng)且僅當(dāng) AB=Vn2+1，此時a=0,c =n或a=n, c=0,有2種取法；③若b=0, d=2>則 AB=-J(a—c)2 +4<Vn2+4 >因為當(dāng) nN3時，-1)之+4Wn,所以X> n當(dāng)且僅當(dāng)AB=Vn2+4，此時a=0, ?=71或。=71,c= 0 >有2種取法；④若b=1,d=2,貝1JZB=V(a-c)2+1<Vn2+1,所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB=Vn2+1，此時a=0,c=n或a=n,c=0>有2種取法.綜上，當(dāng)X>n時，X的所有可能取值是"TT和后有7，且 4 7P(X=Vn2+1)=■?-,P(X=Vn2+4)=C2n+4 C2n+4"因此，P(XJn)=1-P(X=Vn?+1)-P(X=加+4)=i-C2n+4【解析】【分析】利用已知條件求出離散型隨機(jī)變量X的概率分布。(2)設(shè)A(a,b)和B(c,d)是從Mn中取出的兩個點.因為P(XW71)=1-P(X>n),所以僅需考慮X>n的情況，再利用分類討論的方法結(jié)合求最值的方法得出a,c的取值的取法，從而求出當(dāng)X>n時，X的所有可能取值是"TT和"Ti，且P(X=Vn2+1)=J—,P(X=Vn2+4)=J—,“2n+4 02n+4因此，求出用n表示的概率P(X</i)為：P(X<n)=1-P(X=Vn2+1)-P(X=Vn2+4)=]__C2n+4(10分)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(I)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(II)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如右表，其中“3”表示享受，“x”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育OOXOXO繼續(xù)教育XXOXOO大病醫(yī)療XXXOXX住房貸款利息OOXXOO住房租金XXOXXX贍養(yǎng)老人OOXXXO(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)M為事件”抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率.【答案】解：(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{4周,{4。},{4。},{44,{4札{3?,{3刀},{民耳,但用,{。,刀},{。國＜。,尸},{萬國,{，尸}{瓦尸,共15種.(公式顯示不全)(ii)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為[A,B}(A,E}{A,D}{A,F}{B,D}[B,E}{B,F}{C,E}{C,F}{D,F}{E,F},共H種.所以，事件M發(fā)生的概率P(M)=||【解析】【分析】(I)根據(jù)老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10,采用分層抽樣，從中抽取25人調(diào)查，分別求出應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取的人數(shù)；(II)(i)根據(jù)題意列舉出從6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪可能出現(xiàn)的結(jié)果；(ii)根據(jù)表格所給條件求出事件M出現(xiàn)的情況有多少種，進(jìn)而求出事件M發(fā)生的概率。(10分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為|.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.(I)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(H)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.【答案】解：(I)解：因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為1,故X?8(3,1),從而P(X=k)=C抬)"砂-k,k=0,1,2,3.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1272949827隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x5=2.(II)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為丫，則y~B(3,金，且M=｛X=3,y=i｝u｛x=2,r=0｝.由題意知事件｛x=3,r=1｝與｛x=2,r=0｝互斥，且事件｛X=3｝與W=1｝,事件｛X=2｝與｛丫=0｝均相互獨立，從而由(I)知p(m)=p(｛x=3,y=1｝u｛x=2,y=o｝)=p(x=3,y=1)+p(x=2,y=o)8241 20=p(x=3)p(y=i)+p(x=2)p(y=0)=27x9+9x27=奔【解析】【分析】本題主要考查隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式。(I)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為|,利用P(X=k)=C抬)怕嚴(yán)，k=0,1,2,3分別求出相應(yīng)的概率，即可求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。(II)先列出發(fā)生事件m的幾種情況，由題意知事件｛x=3,丫=1｝與｛X=2,r=0)互斥，且事件｛X=3｝與｛丫=1｝,事件｛X=2｝與｛丫=0｝均相互獨立，由此即可求出事件M發(fā)生的概率。(10分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組10()只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百

分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:f頻率/組距f頻率/組距0.30 10.20甲離子殘留百分比直方圖0505O1111OOOO0.15b0.050.20甲離子殘留百分比直方圖0505O1111OOOO0.15b0.052.53.54.55.56.57.58一5百分比乙離子殘留百分比直方圖記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到尸（C）的估計值為0.70.（5分）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；（5分）分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）【答案】（1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.【解析】【分析】（1）由已知利用頻率分布直方圖，百分比不低于5.5的估計值為0.70列式，即可求出a,b的值；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式，利用區(qū)間的中點值為代表列式，即可求出平均值.（10分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.（5分）求P（X=2）；（5分）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）解：X=2就是10：10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P（X=2）=0.5x04+（1-0.5）x（1-W）=05.（2）X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5x（1-0.4）+（1-0.5）x0.4]x0.5x0.4=0.1.【解析】【分析】（1）第一問要求X=2的概率，即把可能出現(xiàn)的情況列舉出來，有兩種情況分別為：①甲連贏兩球，②乙連贏兩球，再將兩種情況的概率相加求和即可。（2）第二問與第一問類似，把可能出現(xiàn)的情況列舉出來，有兩種情況分別為：①甲贏第一球，乙嬴第二球，甲贏第三球和第四球，②乙贏第一球，甲贏第二、第三和第四球，再將兩種情況的概率相加求和即可。（10分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（I）估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；（III）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中，隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】解：（I）據(jù)估計，100人中上個月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為100-5-27-3-24-1=40人，故該校學(xué)生中上個月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為400人；（II）該校學(xué)生上個月僅使用B支付的共25人，其中支付金額大于2000的有一人，故概率為125:（III）不能確定人數(shù)有變化，因為在抽取樣本時，每個個體被抽到的機(jī)會是均等的，也許抽取的樣本恰為上個月支付超過2000的個體，因此不能從抽取的一個個體來確定本月的情況有變化.【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，結(jié)合支付方式的分類直接計算，再根據(jù)樣本估計總體即可；（II）根據(jù)古典概型，求出基本事件總數(shù)和符合題意的基本事件數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率；（III）從統(tǒng)計的角度，對事件發(fā)生的不確定性進(jìn)行分析即可.（10分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了10（）人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化?，F(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元，根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】解：（I）抽取的100人中，A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為100-5-18-9-3-10-14-1=40,設(shè)A,B兩種支付方式都使用為事件A,則P（A）=需=看，TOC\o"1-5"\h\z100 5即A,B兩種支付方式都使用的概率為|；（IDX的可能取值為0,1,2；其中P（X=0）=1x|=A,P（X=l）= + = ,P（X=2）=1x3 6,□ □Zb所以分布列為X012P6251325625（III）不能認(rèn)為樣本僅使用A支付的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，因為概率是在大量重復(fù)試驗下得到的一個預(yù)測結(jié)合，不能確定是不是一定發(fā)生?！窘馕觥俊痉治觥浚↖）求出相應(yīng)的人數(shù)，結(jié)合古典概型求出相應(yīng)的概率即可；（II）求出離散型隨機(jī)變量X的可能取值和相應(yīng)的概率，即可得到相應(yīng)的分布列；（III）根據(jù)概率的含義，從統(tǒng)計的角度進(jìn)行分析即可.（10分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試

驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗。對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分：若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和0,一輪試驗中甲藥的得分記為X。(5分)求X的分布列；(5分)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pi(i=0,1 8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=O,Pk=1,pi=api-i+bpi+cpi+i(i=l,2,...?7),其中a=p(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=l)o假設(shè)a=0.5,p=0.8.(i)證明:(Pt+i-PJ(i=0,l,2,…，7)為等比數(shù)列；(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性?！敬鸢浮?1)解：P(X=-1)=(1-a?,P(X=1)=(1—0)a,P(X=0)=(1-a)(l-g)+耶,所以X的分布列為:X-101Pp-ctp1+2aB—a-Pa—ap(2)(i)證明：a=0.4,b=0.5,c=0.1,則5p,=4pi_1+pi+1(i=l,2,3,—,7),pi+1-pi=4(pf-Pi-i),(i=1,2,3,…,7),鼾1=4,利用等比數(shù)列的定義證出:數(shù)列{Pi+i—R}(i=0/2…,7)為等比數(shù)列。(ii)P1+1-p,=4f(P1-p0)=pf-4\p8=Cpa-p7)+(p7-p6)+-(pt-p0)=(1+4+(1+4+…+4‘)P]7 QQ,12S7,1+4+…+4 1—44—12S7,P4=(P4-P3)+(P3-P2)+電一Pi)+Pi=(1+4H 卜43)pt=表示在初始4分的情況下，甲藥累計得分為4時，認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率僅為急(<0.01),而事實上確實如此，因為乙藥的治愈率大于甲藥10,8>0.5),故這種試驗方案是合理的?！窘馕觥俊痉治觥?1)利用實際問題的已知條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列。(2)(i)利用實際問題的已知條件結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列，將實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題，再利用等比數(shù)列的定義證出：數(shù)列{乃+1-4}(i=0』,2 7)為等比數(shù)列；(ii)由⑴證出的數(shù)列｛%1-田(i=0,l,2 7)為等比數(shù)列求出等比數(shù)列出+i—PJ的通項公式，再利用累加法變形結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求出p4的值,再利用p4的值結(jié)合甲藥比乙藥更有效的概率僅為217(<0,01),得出乙藥的治愈率大于甲藥10,8>0,5),故這種試驗方案是合理的。(10分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格的概率為品p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。(5分)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求/(p)的最大值點p0(5分)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的Po作為p的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用⑴若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX；(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【答案】(1)解：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p)=C20p2(l-p)18.因此/(P)=C|o[2p(l-p)18-18p2(l-p)17]=2CzoP(l-p)17(l-10p).令/(p)=o,得p=0.1.當(dāng)pw(0,0.1)時，/(p)>0;當(dāng)PW(0.1,1)時，/(p)<0.所以f(P)的最大值點為Po=01.(2)解：由(1)知，p=0.1.(i)令y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫?8(180,0.1),%=20x2+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.【解析】【分析】(1)由20件產(chǎn)品恰有2件不合格的產(chǎn)品，則其余18件產(chǎn)品合格，得到f(p)的表達(dá)式，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值；(2)由題意得到X的可能取值為2,27,求出X=2和X=27時對應(yīng)的概率，得到分布列，再求期望值；(3)由于對每一箱產(chǎn)品都檢驗時費用為400元，由(2)中期望值為依據(jù)，則費用為90()元，由此作出決定.(10分)己知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】解：解：(I)由已知甲乙丙三個部門員工人數(shù)之比為3：2：2,.?.從甲乙丙三個部門中分「k03-k別抽到3人，2人，2人(H)(i)隨機(jī)變量<取值可能為0.1.2.3p(x=k)=上(k=0,1,2,3).??隨機(jī)變量x的分布列為X0123P13512351835435.??X的數(shù)學(xué)期望為E(x)=0x親+lxj|+2xj|+3x2=￥(ii)解：設(shè)事件B為：“抽取3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”，事件C為：“抽取3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人“，則A=BUC,力BC互斥由①知P⑻=P(x=2),P(C)=P(x=1)則：P(A)=P(BUC)=P(x=2)+P(x=1)=g則事件A發(fā)生的概率為1.【解析】【分析】(I)分層抽樣對應(yīng)成比例；(II)概率分布列通式寫出來，再算期望。(10分)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(II)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級“，求事件M發(fā)生的概率.【答案】解：(I)V240：160：：160=3：2：2則應(yīng)從甲乙丙三個年級的學(xué)習(xí)志愿者抽3人，2人，2人(II)(i)共有如下情形ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECFCGDEDFDGEFEGFGp=3+1+1=AJ1 21-21【解析】【分析】（1）分層抽樣，對應(yīng)成比例；（2）（i）列舉法依次列出來；（ii）古典概型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2, ,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t.根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2 7）建立模型②：y=99+17.5t（1）（5分） 分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資的預(yù)測值；（2）（5分） 你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由?！敬鸢浮浚?）由題意可知模型①中，2018年對應(yīng)的t=19,預(yù)測值y=-30.4+13.5x19=226.1億元此時基礎(chǔ)設(shè)施的投資預(yù)測值為226.1億元；模型②中，2018年對應(yīng)的t=9,預(yù)測值y=99+17.5x9=256.5億元此時基礎(chǔ)設(shè)施的投資預(yù)測值為：256.5億元；（2）用模型②預(yù)測得到的2018年的基礎(chǔ)設(shè)施的投資更可靠。因為從折線圖上看，基礎(chǔ)設(shè)施的投資在2009年到2010年發(fā)生了很大程度上的突變，所以用模型①預(yù)測2018年的會有一定程度的失真?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可求預(yù)估值；（2）看圖易知可靠性.29.（15分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成項目生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式，為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨即分成兩組，每組20人，第一組工

人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位:min）繪制了如下莖葉圖：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090（1）（5分）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）（5分）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）（5分）根據(jù)2中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？2附.iz2 n（ad-be） 八一（a+b）（c+d）（Q+c）（b+d）P（K?>k）00500.0100.001~k3.8416.63510.828【答案】（1）解：第二種生產(chǎn)方式效率更高，因為第二組多數(shù)數(shù)據(jù)集中在70min?80min之間，第一5r20組多數(shù)數(shù)據(jù)集中在80min?90min,所以第一組完成任