2016年高考理科數(shù)學(xué)全國1卷-附答案

2016年高考數(shù)學(xué)全國1卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣）2．設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）A．100B．99C．98D．97B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）4．某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）A．B．C．D．5．已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）B．（﹣1，C．（0，3）D．（0，6．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積A．（﹣1，3）））是，則它的表面積是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A．B．C．D．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A．a(chǎn)c＜bcB．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogacD．logac＜logbc9．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點到準線的距離為（）A．2B．4C．6D．811．平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（）上單調(diào)，則ω的最大值為（），A．11B．9C．7D．5二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=．14．（2x+）5的展開式中，x3的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫答案）15．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．16．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．18．（12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？20．（12分）設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]23．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．[選修4-5：不等式選講]24．已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y=f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年高考數(shù)學(xué)全國1卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故選：D2．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即故選：B．，解得，即|x+yi|=|1+i|=，3．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項的和為27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故選：C4．【解答】解：設(shè)小明到達時間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，故P==，故選：B5．【解答】解：∵雙曲線兩焦點間的距離為4，∴c=2，當(dāng)焦點在x軸上時，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示雙曲線，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點在y軸上時，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，無解．故選：A．6．【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個球去掉后的幾何體，如圖：可得：=，R=2．它的表面積是：×4π?22+=17π．故選：A．7．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故排除C，故選：D8．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函數(shù)f（x）=xc在（0，+∞）上為增函數(shù)，故ac＞bc，故A錯誤；函數(shù)f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上為減函數(shù)，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B錯誤；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D錯誤；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正確；故選：C9．【解答】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，故選：C10．【解答】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦點到準線的距離為：4．故選：B．11．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．12．【解答】解：∵x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，∴，即，，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（）上單調(diào)，則﹣=≤，即T=+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，）不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω=9時，﹣≥，解得：ω≤12，當(dāng)ω=11時，﹣，此時f（x）在（+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此時f（x）在（故ω的最大值為9，故選：B，）單調(diào)，滿足題意；二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共25分.13．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．14．【解答】解：（2x+）5的展開式中，通項公式為：Tr+1=令5﹣=3，解得r=4∴x3的系數(shù)2=10．故答案為：10．=25﹣r，15．【解答】解：等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a(chǎn)1+q2a1=10，解得a1=8．則a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?=26=64．==，當(dāng)n=3或4時，表達式取得最大值：故答案為：64．16．【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過A時，直線的截距最大，目標函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=2﹣18=7，ab=，∴ab=6，∴（a+b）∴a+b=5，∴△ABC的周長為5+．18．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）設(shè)平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則﹣1）．，則，則，取=（，0，設(shè)平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則4）．，取=（0，，設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ===﹣，則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（P（X=17）=）2=，，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）=P（X=20）=P（X=21）==，==，=，P（X=22）=，∴X的分布列為：XP16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．買19個所需費用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，買20個所需費用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴買19個更合適．解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當(dāng)n=19時，費用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，當(dāng)n=20時，費用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴買19個更合適．20．【解答】解：（Ⅰ）證明：圓x2+y2+2x﹣15=0即為（x+1）2+y2=16，可得圓心A（﹣1，0），半徑r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即為∠D=∠EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，則點E的軌跡方程為+=1（y≠0）；（Ⅱ）橢圓C1：+=1，設(shè)直線l：x=my+1，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，則|MN|=?|y1﹣y2|=?=?=12?，A到PQ的距離為d==，|PQ|=2=2=，則四邊形MPNQ面積為S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24，當(dāng)m=0時，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）．21．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）ex=0?x=2，函數(shù)f（x）只有唯一的零點2，不合題意；②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取極小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函數(shù)f（x）在x＞1存在一個零點；當(dāng)x＜1時，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的兩根為t1，t2，且t1＜t2，則當(dāng)x＜t1，或x＞t2時，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函數(shù)f（x）在x＜1存在一個零點；即函數(shù)f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；③若﹣＜a＜0，則ln（﹣2a）＜lne=1，當(dāng)x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=ln（﹣2a）時，函數(shù)取極大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；④若a=﹣，則ln（﹣2a）=1，當(dāng)x＜1=ln（﹣2a）時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；⑤若a＜﹣，則ln（﹣2a）＞lne=1，當(dāng)x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時，函數(shù)取極大值，由f（1）=﹣e＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）證明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的兩個零點，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴當(dāng)x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；設(shè)m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，設(shè)h（m）=，m＞0，則h′（m）=＞0恒成立，即h