中科大數(shù)理方程課件

第三章分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普遍方法之一，它適用于各種類型的偏微分方程。基本思想是將多元函數(shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題.為此，我們首先給出二階線性常微分方程求解公式。第三章分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普1二階線性常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為y”+py’+qy=0特征方程：r2+pr+q=0特征根：r1

和r2.當(dāng)r1≠r2

都是實(shí)根時(shí)，其通解為

y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2x)r1

、r2是兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，其通解為

y(x)=Aexp(rx)+B

xexp(r

x)r1,2=α±iβ是一對共軛復(fù)根時(shí),其通解為

y(x)=exp(αx)(A

cosβx+Bsinβx)預(yù)備知識二階線性常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為預(yù)備知識2傅立葉級數(shù)傅立葉展開定理：周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。預(yù)備知識傅立葉級數(shù)傅立葉展開定理：周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開3傅立葉級數(shù)推廣若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式為傅立葉級數(shù)推廣若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式41.有界弦的自由振動(dòng)

例1.研究兩端固定均勻的自由振動(dòng).定解問題為：特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.1.有界弦的自由振動(dòng)例1.研究兩端固定均勻的自由振5

設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①

由不恒為零，有：取參數(shù)設(shè)6④

②

…..……..③④利用邊界條件④②7則⑤

特征值問題

參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)則⑤特征值問題參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值8由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C

2=0

從而，無意義.

無意義由邊值條件(i)方程通解為(ii9

由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得

10再求解T：其解為所以兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加…….⑤

再求解T：其解為所以兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加…….⑤11代入初始條件得：將展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得

定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在x＝0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。代入初始條件得：將展開為Fo12則無窮級數(shù)解為如下混合問題的解上，，且定理：若在區(qū)間則無窮級數(shù)解為如下混合問題的解上，13解：令,得化簡:引入?yún)?shù)得例2：研究兩端自由棒的自由縱振動(dòng)問題.第二類邊界條件解：令,14得C1=C

2=0從而，無意義分離變量：

時(shí)，由邊值條件得C1=C2=0從而，15(ii) 時(shí),,(iii)時(shí),則而由邊值條件由邊值條件從而(ii) 時(shí),16本征值本征函數(shù)T的方程其解為本征值本征函數(shù)T的方程其解為17所以故代入初始條件:將展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得

解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點(diǎn)處的二類齊次邊界條件決定.所以故代入初始條件:將展開為182.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題

對于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,其解題過程和波動(dòng)方程的過程類似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.2.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題

對于齊19其中為給定的函數(shù).

例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題

其中為給定的函數(shù).例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題20令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問題當(dāng)時(shí),由邊界條件

令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)21從而特征函數(shù)為：

從而特征函數(shù)為：22T的方程

解得

所以T的方程解得所以23將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件24分離變量流程圖分離變量流程圖25例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

長為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。

解：定解問題為

例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題長為的均勻細(xì)桿，設(shè)26設(shè)且

得本征值問題

由及齊次邊界條件，有設(shè)且27當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),

由得由得故

即

令有函數(shù)方程當(dāng)或時(shí),當(dāng)28ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：

ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為29對應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明函數(shù)系在上正交由初始條件得將展成以為基底的付氏級數(shù)，確定

對應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明函數(shù)系30（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解（三）將特征值代入另一常微分方程，得到（四）將疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程化為常微分方程－－（方程齊次）分離變量法解題步驟－－（邊界條件齊次）（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解（三）將特征值代入31

分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。注分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件32復(fù)習(xí)分離變量法：求解下列定解問題復(fù)習(xí)分離變量法：求解下列定解問題33解：設(shè)

代入方程，得令解：設(shè)代入方程，得令34代入邊界條件得特征值問題求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為代入邊界條件得特征值問題求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為35類似地,我們得到

其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為及特征值問題類似地,我們得到其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為及特征值問題36記代入關(guān)于t的方程上述方程通解為記代入關(guān)于t的方程上述方程通解為37于是得到利用疊加原理,得到定解問題的形式解其中系數(shù)

于是得到利用疊加原理,得到定解問題的形式解其中系數(shù)38下面,我們利用初始條件確定系數(shù)由于三角函數(shù)系的正交性,得下面,我們利用初始條件確定系數(shù)由于三角函數(shù)系的正交性,39感謝您的閱讀！為了便于學(xué)習(xí)和使用，本文檔下載后內(nèi)容可隨意修改調(diào)整及打印。

學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)不晚。JinTaiCollege感謝您的閱讀！學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)不晚。40第三章分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普遍方法之一，它適用于各種類型的偏微分方程?；舅枷胧菍⒍嘣瘮?shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題.為此，我們首先給出二階線性常微分方程求解公式。第三章分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普41二階線性常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為y”+py’+qy=0特征方程：r2+pr+q=0特征根：r1

和r2.當(dāng)r1≠r2

都是實(shí)根時(shí)，其通解為

y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2x)r1

、r2是兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，其通解為

y(x)=Aexp(rx)+B

xexp(r

x)r1,2=α±iβ是一對共軛復(fù)根時(shí),其通解為

y(x)=exp(αx)(A

cosβx+Bsinβx)預(yù)備知識二階線性常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為預(yù)備知識42傅立葉級數(shù)傅立葉展開定理：周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。預(yù)備知識傅立葉級數(shù)傅立葉展開定理：周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開43傅立葉級數(shù)推廣若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式為傅立葉級數(shù)推廣若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式441.有界弦的自由振動(dòng)

例1.研究兩端固定均勻的自由振動(dòng).定解問題為：特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.1.有界弦的自由振動(dòng)例1.研究兩端固定均勻的自由振45

設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①

由不恒為零，有：取參數(shù)設(shè)46④

②

…..……..③④利用邊界條件④②47則⑤

特征值問題

參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)則⑤特征值問題參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值48由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C

2=0

從而，無意義.

無意義由邊值條件(i)方程通解為(ii49

由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得

50再求解T：其解為所以兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加…….⑤

再求解T：其解為所以兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加…….⑤51代入初始條件得：將展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得

定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在x＝0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。代入初始條件得：將展開為Fo52則無窮級數(shù)解為如下混合問題的解上，，且定理：若在區(qū)間則無窮級數(shù)解為如下混合問題的解上，53解：令,得化簡:引入?yún)?shù)得例2：研究兩端自由棒的自由縱振動(dòng)問題.第二類邊界條件解：令,54得C1=C

2=0從而，無意義分離變量：

時(shí)，由邊值條件得C1=C2=0從而，55(ii) 時(shí),,(iii)時(shí),則而由邊值條件由邊值條件從而(ii) 時(shí),56本征值本征函數(shù)T的方程其解為本征值本征函數(shù)T的方程其解為57所以故代入初始條件:將展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得

解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點(diǎn)處的二類齊次邊界條件決定.所以故代入初始條件:將展開為582.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題

對于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,其解題過程和波動(dòng)方程的過程類似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.2.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題

對于齊59其中為給定的函數(shù).

例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題

其中為給定的函數(shù).例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題60令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問題當(dāng)時(shí),由邊界條件

令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)61從而特征函數(shù)為：

從而特征函數(shù)為：62T的方程

解得

所以T的方程解得所以63將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件64分離變量流程圖分離變量流程圖65例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

長為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。

解：定解問題為

例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題長為的均勻細(xì)桿，設(shè)66設(shè)且

得本征值問題

由及齊次邊界條件，有設(shè)且67當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),

由得由得故

即

令有函數(shù)方程當(dāng)或時(shí),當(dāng)68ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：

ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為