某師范大學數(shù)學分析課件

一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)無論是單元微積分還是多元微積分,其中所討論的函數(shù),最重要的一類就是連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化了些;而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的整體性質(zhì),二者完全相同.§3二元函數(shù)的連續(xù)性數(shù)學分析

第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)*點擊以上標題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的定義11.連續(xù)性若只要,就有則稱f關(guān)于集合D在點

連續(xù).在不致誤解的情形下,也稱f在點

連續(xù).若f在D上任何點都關(guān)于集合D連續(xù),則稱f為D

上的連續(xù)函數(shù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二元函數(shù)的連續(xù)性概念設(shè)f為定義在點集上的二元函數(shù),后退前進目錄退出定義11.連續(xù)性若只要,就有則稱f關(guān)由上述定義知道:若

是D的孤立點,則

必定是

若

是D的聚點,則f關(guān)于集合D在點連續(xù)等價于如果

是D的聚點,而(2)式不成立(其含義與一元函數(shù)的對應(yīng)情形相同),則稱

是f

的不連續(xù)點(或

特別當(2)式左邊極限存在,但不等于是f的可去間斷點.時,§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f的連續(xù)點.稱間斷點).由上述定義知道:若是D的孤立點,則§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)又若把上述例3的函數(shù)改為上，其中m為固定實數(shù),亦即函數(shù)f只定義在

因此f在原點沿著直線是連續(xù)的．§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這時由于又若把上述例3的函數(shù)改為上，其中m為固定實數(shù),亦即因此此時f

在原點連在坐標原點的連續(xù)性．例1討論函數(shù)解

由于當而當不存在，

此時在原點間斷．

§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)續(xù);因此此時f在原點連在坐標原點的連續(xù)性．例1討論函數(shù)2.全增量與偏增量設(shè)量形式來描述連續(xù)性,為函數(shù)f在點

的全增量.

時,f在點

連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和一元函數(shù)一樣,可用增即當2.全增量與偏增量設(shè)量形式來描述連續(xù)性,為函數(shù)f如果在全增量中取

則相應(yīng)得到的

增量稱為偏增量,一般說來,全增量并不等于相應(yīng)的兩個偏增量之和.若一個偏增量的極限為零,

如則表示當固定

時,

作為x的函數(shù),它

固定時，在y0連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分別記作則表示當

同理,在

x0連續(xù).如果在全增量中取則相應(yīng)得到的增量稱為偏增量,一般說來容易證明:當f在其定義域的內(nèi)點連續(xù)時,在x0與

在y0都連續(xù).由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，函數(shù)的連續(xù)性(除非另外增加條件).在原點處顯然不連續(xù),因此它在原點處對x和對y分別都連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是反過來,例如二元函數(shù)一般不能保證該但由于f(0,y)=f(x,0)=0,容易證明:當f在其定義域的內(nèi)點連續(xù)時,在x0與3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運算的各個法則.若二元函數(shù)在某一點連續(xù),則與一元函數(shù)一樣,可以證明它在這一點近旁具有局部有界性、局部保號性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理,其余留給讀者自己去練習.§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面只證明二元3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運算的各個法則.定理16.7（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）則復(fù)合函數(shù)

在點P0也連續(xù).

使得當

的某鄰域內(nèi)有定義,并在點Q0連續(xù),時,有§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)和

在點的某鄰域內(nèi)有定義,并在點連續(xù);

f(u,v)在點證

由f在點Q0連續(xù)可知：其中

定理16.7（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）則復(fù)合函數(shù)又由、在點P0連續(xù)可知:對上述

使得當時,有綜合起來,當

時,便有所以在點連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)時,有又由、在點P0連續(xù)可知:對上述使得當時定理16.8（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).這可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣.上有界且能取得最大值與最小值.倘若不然,則

存

使得在§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若二元函數(shù)f在有界閉域

上連續(xù),證

先證明

f在D上有界.則f在D,

定理16.8（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）本段討論有界閉域于是得到一個有界點列

,且能使中有無

由聚點定理的推論,

存在收斂

子列設(shè)又因f在D上連續(xù),當然在點

也連續(xù),這與不等式(3)矛盾，所以f

是D上的有界函數(shù).下面證明f

在D上能取到最大、小值.

§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)窮多個不同的點.因D是閉域,從而為此設(shè)于是有可證必有一點,使(同理可證最小值)

于是得到一個有界點列,且能使中有無由聚點定理的如若不然,對任意都有由前面的證明知道,F在D上有界.上達到上確界M,使

.在D上有界的結(jié)論相矛盾,到最大值.§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考察D上的正值連續(xù)函數(shù)又因f

不能在D于是有這導(dǎo)致與F

所以存在收斂點列從而證得f

在D上能取

如若不然,對任意都有由前面的證明知道,F在D定理16.9（一致連續(xù)性定理）證本定理可參照第七章的方法,運用有限覆蓋定理來證明.這里我們用聚點定理證明.

倘若f在D上連續(xù)而不一致連續(xù),則存在某對于任意小的例如相應(yīng)的,雖然,§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)f在有界閉域上連續(xù),即存在只依賴于的必有

的點切滿足致連續(xù).則

f在D上一使得對一總有

定理16.9（一致連續(xù)性定理）證本定理可由于D為有界閉域,因此存在收斂子列并設(shè)再在中取出與下

標相同的子列

有.這與相矛盾,上一致連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是

則因最后,由f在P0連續(xù),得所以f在D

由于D為有界閉域,因此存在收斂子列并設(shè)再在中取出與下定理16.10（介值性定理）任意兩點,且則對任何滿足不等式證作輔助函數(shù)的實數(shù),必存在點易見F仍在D上連續(xù),且由(4)式知道下面證明必存在,使§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)

f

在區(qū)域

上連續(xù),若P1,P2為D中使得定理16.10（介值性定理）任意兩點,且則對圖16-18

由于D為區(qū)域,我們可以用有限段都在D中的折線連結(jié)P1和P2(如圖16-18).的函數(shù)值為0,則定理得證.

否則從一端開始逐段檢查,在它兩端的函數(shù)值異號.必定存在某直線段,使得F

§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若有某一個連接點所對應(yīng)圖16-18由于D為區(qū)域,我們可以用有限段不失一般性,設(shè)連結(jié)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線段含于D,

在此直線段上,F變?yōu)殛P(guān)于t的復(fù)合函數(shù)：由于G為[0,1]上的一元連續(xù)函數(shù),且§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)其方程為不失一般性,設(shè)連結(jié)P1(x1,y1),P2(x2,y因此由一元函數(shù)根的存在定理,在(0,1)內(nèi)存在一點使得記則有,使得續(xù)函數(shù),則f(D)必定是一個區(qū)間(有限或無限).注1由定理16.10又可知道,若f為區(qū)域D上的連§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)因此由一元函數(shù)根的存在定理,在(0,1)內(nèi)存在一點有連通性的.界閉集(證明過程無原則性變化).中所考察的點集D只能假設(shè)是一區(qū)域,這是為了保證它具有連通性,注2定理16.8與16.9中的有界閉域D可以改為有例3§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是介值性定理而一般的開集或閉集是不一定具有連通性的.界閉證

由定理16.9知道這就證得§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證由定理16.9知道這就證得§3二元函數(shù)的連續(xù)性1.在一元函數(shù)連續(xù)性定義中,如何引入“孤立點必為連續(xù)點”這個概念？這兩種說法有何不同？你喜歡哪一種說法?等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)”.當引入了“孤立點必為連續(xù)點”后，上述結(jié)論便可簡單地說成是:“任何初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù).”試討論2.在討論一元初等函數(shù)時有一個重要結(jié)論:“任何初1.在一元函數(shù)連續(xù)性定義中,如何引入“孤立點必為連續(xù)點”一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)無論是單元微積分還是多元微積分,其中所討論的函數(shù),最重要的一類就是連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化了些;而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的整體性質(zhì),二者完全相同.§3二元函數(shù)的連續(xù)性數(shù)學分析

第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)*點擊以上標題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的定義11.連續(xù)性若只要,就有則稱f關(guān)于集合D在點

連續(xù).在不致誤解的情形下,也稱f在點

連續(xù).若f在D上任何點都關(guān)于集合D連續(xù),則稱f為D

上的連續(xù)函數(shù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二元函數(shù)的連續(xù)性概念設(shè)f為定義在點集上的二元函數(shù),后退前進目錄退出定義11.連續(xù)性若只要,就有則稱f關(guān)由上述定義知道:若

是D的孤立點,則

必定是

若

是D的聚點,則f關(guān)于集合D在點連續(xù)等價于如果

是D的聚點,而(2)式不成立(其含義與一元函數(shù)的對應(yīng)情形相同),則稱

是f

的不連續(xù)點(或

特別當(2)式左邊極限存在,但不等于是f的可去間斷點.時,§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f的連續(xù)點.稱間斷點).由上述定義知道:若是D的孤立點,則§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)又若把上述例3的函數(shù)改為上，其中m為固定實數(shù),亦即函數(shù)f只定義在

因此f在原點沿著直線是連續(xù)的．§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這時由于又若把上述例3的函數(shù)改為上，其中m為固定實數(shù),亦即因此此時f

在原點連在坐標原點的連續(xù)性．例1討論函數(shù)解

由于當而當不存在，

此時在原點間斷．

§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)續(xù);因此此時f在原點連在坐標原點的連續(xù)性．例1討論函數(shù)2.全增量與偏增量設(shè)量形式來描述連續(xù)性,為函數(shù)f在點

的全增量.

時,f在點

連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和一元函數(shù)一樣,可用增即當2.全增量與偏增量設(shè)量形式來描述連續(xù)性,為函數(shù)f如果在全增量中取

則相應(yīng)得到的

增量稱為偏增量,一般說來,全增量并不等于相應(yīng)的兩個偏增量之和.若一個偏增量的極限為零,

如則表示當固定

時,

作為x的函數(shù),它

固定時，在y0連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分別記作則表示當

同理,在

x0連續(xù).如果在全增量中取則相應(yīng)得到的增量稱為偏增量,一般說來容易證明:當f在其定義域的內(nèi)點連續(xù)時,在x0與

在y0都連續(xù).由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，函數(shù)的連續(xù)性(除非另外增加條件).在原點處顯然不連續(xù),因此它在原點處對x和對y分別都連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是反過來,例如二元函數(shù)一般不能保證該但由于f(0,y)=f(x,0)=0,容易證明:當f在其定義域的內(nèi)點連續(xù)時,在x0與3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運算的各個法則.若二元函數(shù)在某一點連續(xù),則與一元函數(shù)一樣,可以證明它在這一點近旁具有局部有界性、局部保號性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理,其余留給讀者自己去練習.§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面只證明二元3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)以及相應(yīng)的有理運算的各個法則.定理16.7（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）則復(fù)合函數(shù)

在點P0也連續(xù).

使得當

的某鄰域內(nèi)有定義,并在點Q0連續(xù),時,有§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)和

在點的某鄰域內(nèi)有定義,并在點連續(xù);

f(u,v)在點證

由f在點Q0連續(xù)可知：其中

定理16.7（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）則復(fù)合函數(shù)又由、在點P0連續(xù)可知:對上述

使得當時,有綜合起來,當

時,便有所以在點連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)時,有又由、在點P0連續(xù)可知:對上述使得當時定理16.8（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).這可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣.上有界且能取得最大值與最小值.倘若不然,則

存

使得在§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若二元函數(shù)f在有界閉域

上連續(xù),證

先證明

f在D上有界.則f在D,

定理16.8（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性）本段討論有界閉域于是得到一個有界點列

,且能使中有無

由聚點定理的推論,

存在收斂

子列設(shè)又因f在D上連續(xù),當然在點

也連續(xù),這與不等式(3)矛盾，所以f

是D上的有界函數(shù).下面證明f

在D上能取到最大、小值.

§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)窮多個不同的點.因D是閉域,從而為此設(shè)于是有可證必有一點,使(同理可證最小值)

于是得到一個有界點列,且能使中有無由聚點定理的如若不然,對任意都有由前面的證明知道,F在D上有界.上達到上確界M,使

.在D上有界的結(jié)論相矛盾,到最大值.§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考察D上的正值連續(xù)函數(shù)又因f

不能在D于是有這導(dǎo)致與F

所以存在收斂點列從而證得f

在D上能取

如若不然,對任意都有由前面的證明知道,F在D定理16.9（一致連續(xù)性定理）證本定理可參照第七章的方法,運用有限覆蓋定理來證明.這里我們用聚點定理證明.

倘若f在D上連續(xù)而不一致連續(xù),則存在某對于任意小的例如相應(yīng)的,雖然,§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)f在有界閉域上連續(xù),即存在只依賴于的必有

的點切滿足致連續(xù).則

f在D上一使得對一總有

定理16.9（一致連續(xù)性定理）證本定理可由于D為有界閉域,因此存在收斂子列并設(shè)再在中取出與下

標相同的子列

有.這與相矛盾,上一致連續(xù).§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是

則因最后,由f在P0連續(xù),得所以f在D

由于D為有界閉域,因此存在收斂子列并設(shè)再在中取出與下定理16.10（介值性定理）任意兩點,且則對任何滿足不等式證作輔助函數(shù)的實數(shù),必存在點易見F仍在D上連續(xù),且由(4)式知道下面證明必存在,使§3二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)

f

在區(qū)域

上連續(xù),若P1,P2為D中使得定理16.10（介值性定理）任意兩點,且則對圖16-18

由于D為區(qū)域,我們可以用有限段都在D中的折線連結(jié)P1和P2(如圖16-18).的函數(shù)值為0,則定理得證.

否則從一端開始逐段檢查,在它兩