分形理論講稿課件

分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一分形理論

1

前言

一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)

（一）什么是分形（FRACTAL）

（二）自相似性

（三）標(biāo)度不變性

二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）

三、分形理論的應(yīng)用

結(jié)束語

前言

一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)

（一）什么是分形（FRACT2

分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一前言

自然界大部分不是有序的、平衡的、穩(wěn)定的和確定性的，而是處于無序的、不穩(wěn)定的、非平衡的和隨機(jī)的狀態(tài)之中，它存在著無數(shù)的非線性過程，如流體中的湍流就是其中一個例子。在生命科學(xué)和社會科學(xué)中，生命現(xiàn)象和社會現(xiàn)象都是一種復(fù)雜現(xiàn)象，非線性關(guān)系更是常見。客觀世界是復(fù)雜的，所以科學(xué)家們認(rèn)為“世界在本質(zhì)上是非線性的”。但以往人們對復(fù)雜事物的認(rèn)識總是通過還原論方法把它加以簡化，即把非線性問題簡化為線性問題。這種認(rèn)識方法雖然在科學(xué)研究中發(fā)揮過巨大作用，但是隨著科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展，已經(jīng)暴露出它的局限性，從而要求人分形理論3們直接研究復(fù)雜事物，以便更準(zhǔn)確、更充分地反映其本來面目。因此，一門研究復(fù)雜現(xiàn)象的非線性科學(xué)應(yīng)運而生。在非線性世界里，隨機(jī)性和復(fù)雜性是其主要特征，但同時，在這些極其復(fù)雜的現(xiàn)象背后，存在著某種規(guī)律性。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題，透過撲朔迷離的無序的混亂現(xiàn)象和不規(guī)則的形態(tài)，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律、局部和整體之間的本質(zhì)聯(lián)系。

們直接研究復(fù)雜事物，以便更準(zhǔn)確、更充分地反映其本來面目。因此4目前國內(nèi)外定期召開有關(guān)分形的學(xué)術(shù)會議，出版會議論文集和關(guān)于分形的專著，在重要期刊上經(jīng)常發(fā)表涉及分形理論和應(yīng)用的論文。世界上1257種學(xué)術(shù)刊物在80年代后期發(fā)表的論文中,與分形有關(guān)的占據(jù)37.5%。從發(fā)表論文來看，所涉及的領(lǐng)域包括哲學(xué)、物理、化學(xué)、材料化學(xué)、電子技術(shù)、表面科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)、地震學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、人口學(xué)、情報學(xué)、商品學(xué)、電影美學(xué)、思維、音樂、藝術(shù)等。分形是一門新的學(xué)科，它的歷史很短，目前正處在發(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強(qiáng)大的生命力。目前國內(nèi)外定期召開有關(guān)分形的學(xué)術(shù)會議，出版會議論文集5研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這6英國的海岸線地圖英國的海岸線地圖7研究對象（續(xù)）當(dāng)你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細(xì)小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。

研究對象（續(xù)）當(dāng)你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，8研究對象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。研究對象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的9Koch曲線Koch曲線10Koch曲線（續(xù)）Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個魔鬼。同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界”。另外，有一個特點：當(dāng)取其中的一部分展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數(shù)次的自我復(fù)制。Koch曲線（續(xù)）Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個魔鬼。11自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。England的海岸線從視覺上也感覺有某種自相似性自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性12一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)（一）什么是分形（fractal）“分形”這個名詞是由美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授曼德勃羅特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（創(chuàng)造）的，其原義是“不規(guī)則的，分?jǐn)?shù)的，支離破碎的”物體，這個名詞是參照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出來的。它含有英文中frature(分裂)fraction（分?jǐn)?shù)）的雙重意義。而我國在山西五臺山南山寺的影壁墻上的碑文中，早在清朝時代就有了“日月光明，分形變化”的語句。一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)（一）什么是分形（fractal）13

人類在認(rèn)識世界和改造世界的活動中離不開幾何學(xué)。在歷史上，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與幾何學(xué)的進(jìn)步始終是密切相關(guān)的。在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，人們用以描述客觀世界的幾何學(xué)是歐幾里德幾何學(xué)，以及解析幾何、射影幾何、微分幾何等，它們能有效地描述三維世界的許多現(xiàn)象，如各種工業(yè)產(chǎn)品的現(xiàn)狀，建筑的外形和結(jié)構(gòu)等。但是，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復(fù)雜而且不規(guī)則的。例如：海岸線、山形、河川、巖石、樹木、森林、云團(tuán)、閃電、海浪等等，例如圖1.1、圖1.2和圖1.3所示。用歐幾里德幾何學(xué)是無能為力的。分形理論講稿14圖1.1布達(dá)拉宮中藏族壁畫中的云的形狀圖1.2日本傳統(tǒng)繪畫中對海浪的描述圖1.1布達(dá)拉宮中15圖1.3山脈的復(fù)雜形態(tài)

另外，在科學(xué)研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分析，如星系分布、滲流、金融市場的價格浮動等復(fù)雜對象，都需要一種新的幾何學(xué)來描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒有特征長度的圖形和構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何，又稱為描述大自然的幾何。另外，在科學(xué)研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分16

下面給出“分形”的兩個定義，在物理上易于理解，但不夠精確，也不夠數(shù)學(xué)化。

定義1（Mandelbrot,1986）:部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。

定義2（Edgar,1990）:分形集合是這樣一種集合，它比傳統(tǒng)幾何學(xué)研究的所有集合還更加不規(guī)則（irregular）,無論是放大還是縮小，甚至進(jìn)一步縮小，這種集合的不規(guī)則性仍然是明顯的。

下面給出“分形”的兩個定義，在物理上易于理解，17分形的概念

分形是具有如下所列性質(zhì)的集合F：F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計意義下的。F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的撲維數(shù)。F的定義常常是非常簡單的，或許是遞歸的。分形的概念分形是具有如下所列性質(zhì)的集合F：18JuliaSetJuliaSet:Zn+1=Zn2+C令復(fù)數(shù)C為一定值，將Z平面上任意一點代入，則Z平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)散，而發(fā)散與收斂間的邊界，即為JuliaSet的圖形。根據(jù)C、Z0的不同會生成不同的Julia集合JuliaSetJuliaSet:19MandelbrotSet在復(fù)平面中，M集是通過下述迭代式產(chǎn)生的：Zn+1=Zn^2+C。其中，Z和c都是復(fù)數(shù)，由各自的實部和虛部組成 Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCyMandelbrotSet在復(fù)平面中，M集是通20展開得：Xn+1=Xn2

-Yn2+Cx（實部）Yn+1=2*XnYn+Cy（虛部）

對上述迭代式反復(fù)進(jìn)行迭代，得到的數(shù)集，稱為Mandelbrot集，簡稱M集。在迭代過程中，Z的初值定為0，而C選擇一個不為0的數(shù),使C在復(fù)平面的某個區(qū)域內(nèi)有規(guī)律地變化，對于二次函數(shù)fc(Z)=Z^2+C的迭代，定義M集為：M={c∈C:fck(0)/→∞(k→∞)}。展開得：21用不同的C值反復(fù)進(jìn)行迭代，由此產(chǎn)生的Zk序列有兩種情況： （1）Zk序列自由地朝著無窮大的方向擴(kuò)散，即發(fā)散；（2）Zk序列被限制在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)，即收斂。建立判斷收斂與發(fā)散的判斷準(zhǔn)則，對于那些收斂的Zk序列的點，設(shè)置某種顏色的色調(diào)，就可以顯示M集的計算機(jī)圖象。對于那些發(fā)散的Zk序列的點，根據(jù)發(fā)散速度的不同，按照給定的規(guī)則著上不同顏色的色調(diào)，就能顯示M集周圍的圖象。用不同的C值反復(fù)進(jìn)行迭代，由此產(chǎn)生的Zk序列有兩種情況：22分形理論講稿23自然界中的分形山星云自然界中的分形山星云24星云星云25天空中的云朵植物的葉子天空中的云朵植物的葉子26

視網(wǎng)膜中央動脈顳上支阻塞視乳頭旁毛細(xì)血管瘤毛細(xì)血管分布

27河流分布圖河流分布圖28自然界中的分形股票價格曲線巖石裂縫金屬損傷裂縫道路分布神經(jīng)末梢的分布…………自然界中的分形股票價格曲線29局部結(jié)論從分析上述現(xiàn)象可以看到，Julia、Mandelbrot集合所顯現(xiàn)出來的圖形是極端復(fù)雜的，而且存在著自相似性（即局部等于全體），而這么復(fù)雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復(fù)迭代得到的結(jié)果。反推回來，一個具有分形特征的自然現(xiàn)象是否可以認(rèn)為是有一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復(fù)迭代得到的結(jié)果？如果是，只要找到方程和初值，就可以隨意地生成我們所希望的圖形？局部結(jié)論從分析上述現(xiàn)象可以看到，Julia、Mandelbr30如何來研究分形？Mandelbrot提出了一個分形維數(shù)的概念。在Euchlid幾何學(xué)中我們知道維數(shù)的概念點---0維；線---1維；面---2維；體---3維。如何來研究分形？Mandelbrot提出了一個分形維數(shù)的概念31（二）自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單地和整體完全重合。人們在觀察和研究自然界的過程中，認(rèn)識到自相似性可以存在于物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及社會科學(xué)等眾多的科學(xué)之中，可以存在于物質(zhì)系統(tǒng)的多個層次上，它是物質(zhì)運動、發(fā)展的一種普遍的表現(xiàn)形式，即是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。（二）自相似性32

太陽系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。物質(zhì)系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進(jìn)化到一定程度的產(chǎn)物，解剖學(xué)研究表明，人體中的大腦、神經(jīng)系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結(jié)構(gòu)上都具有高度的自相似性。圖1.4是人體小腸的結(jié)構(gòu)，由圖可以看到，當(dāng)以不同的放大倍數(shù)觀察小腸結(jié)構(gòu)時，即從a到e較大的形態(tài)與較小的形態(tài)之間的相似表明小腸結(jié)構(gòu)具有自相似性。太陽系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩33圖1.4人體小腸的自相似結(jié)構(gòu)分形理論講稿34

一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構(gòu)成形式上完全相似。又會發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長出來的更小的細(xì)枝條，仍具有大樹構(gòu)成的特點。當(dāng)然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會無限擴(kuò)展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細(xì)觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結(jié)構(gòu)。由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴(yán)格的，而是，在統(tǒng)計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。凡是滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱之為無規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形,由于它是按一定的數(shù)學(xué)法則呈現(xiàn)，因此具有嚴(yán)格的自相似性。所謂koch曲線，就是屬于有規(guī)分形,如圖1.5所示。一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與35圖1.5三次koch曲線

它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二條等長（1/3）的折線來代替，形成一個生成單元，如圖1.5(b).然后再把每一條直線段用生成單元進(jìn)行代替，經(jīng)過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的。圖1.5三次koch曲線它的生成方法是把一36

koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內(nèi)部還有圖形。從圖1.5（e）中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一部分放大，其形狀與整體相同。設(shè)想把圖1.5（e）中的koch曲線區(qū)間[0,1/3]中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區(qū)間[2/3,1]放大3倍，也會得到同樣的結(jié)果。雖然區(qū)間[1/3,1/2]，[1/2,2/3]的圖形是傾斜的，但是把它放大，也會得到同樣的結(jié)果。若把區(qū)間[0,1/9]的圖形放大9倍，同樣也可以產(chǎn)生與原來相同的圖形。對更小的部分進(jìn)行放大也是如此，不論多小部分，若把它放大到適當(dāng)大小，應(yīng)該能得出與原來相同的圖形。koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相37（三）標(biāo)度不變性所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進(jìn)行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數(shù)如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數(shù)。所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標(biāo)度不變性，或者說這類物體設(shè)有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴(yán)格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標(biāo)度不變性。因此,可以看到,自相似性與標(biāo)度不變性是密切相關(guān)的。自相似性和標(biāo)度不變性是分形的兩個重要特性。（三）標(biāo)度不變性38

對于“特征長度”這一名詞，作一簡單的說明，自然界存在的所有物體的形狀和人類迄今所考慮的一切圖形，大致可分為如下兩種：具有特征長度的圖形和不具有特征長度的圖形。對于特征長度，并沒有嚴(yán)格的定義，一般認(rèn)為能代表物體的幾何特征的長度，就稱之為該物體的特征長度。如一個球的半徑、正方體的邊長、人的身高、汽車的長度，這些都是各個物體的特征長度，它們很好地反映了這些物體的幾何特征。對具有特征長度的物體的形狀，對它們即使稍加簡化，但只要其特征長度不變，其幾何性質(zhì)也不會有太大的變化。如豎起一個代替人的、與人具有相同高度的圓柱，那么從遠(yuǎn)處去看，也不會有太大的差錯；如果再精細(xì)一點，以小圓柱代替手和腿，以矩形代替身軀，以球代替頭，那么就會很像人了。換句話說，關(guān)于這類物體,可以用幾何學(xué)上熟知的矩形體、圓柱、球等簡單形狀加以組合，就能很好地與其構(gòu)造近似。對于“特征長度”這一名詞，作一簡單的說明，自39二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）

歐幾里德幾何學(xué)（簡稱歐氏幾何學(xué)），是一門具有2000多年歷史的數(shù)學(xué)分支，它是以規(guī)整幾何圖形為研究圖象。所謂規(guī)整幾何圖形就是我們熟悉的點、直線與線段；平面與平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各種三角形以及正多邊形等?？臻g中的正方體、長方體、正四面體等。另外一類就是曲線或由曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱以及圓臺等。這些點、直線、平面圖形、空間圖形的維數(shù)（歐氏維數(shù)）分為為0、1、2、和3。對規(guī)整幾何圖形的幾何測量是指長度（邊長、周長以及對角線長等）、面積與體積的測量。二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）40數(shù)學(xué)的不規(guī)則圖形實際上，在曼德爾勃朗特的問題提出之前，數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)構(gòu)造過多種不規(guī)則的幾何圖形，他們具有和海岸線相似的性質(zhì)。數(shù)學(xué)的不規(guī)則圖形實際上，在曼德爾勃朗特的問41Cantor集Cantor在1883年構(gòu)造了如下一類集合：取一段歐式長度為l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個操作進(jìn)行下去，直至無窮，可得到一個離散的點集，點數(shù)趨于無窮多，而長度趨于零。經(jīng)無限次操作所得到的離散點集稱為Cantor集。Cantor集Cantor在1883年構(gòu)造了如下一42Koch雪花線瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoch)在1904年提出了一種曲線，它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進(jìn)行代換，經(jīng)無窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無窮多彎曲的Koch曲線。Koch雪花線瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoc43Sierpinski集

首先，將一個等邊三角形四等分，得到四個小等邊三角形，去掉中間的一個，保留它的邊。將剩下的三個小三角形再分別進(jìn)行四等分，并分別去掉中間的一個，保留它的邊。重復(fù)操作直至無窮，得到一個面積為零，線的歐式長度趨于無窮大的圖形。這個圖形被人們稱為謝爾賓斯基縷墊。Sierpinski集首先，將一個等邊三44Sierpinski地毯將一個正方形九等分，去掉中間的一個，保留四條邊，剩下八個小正方形。將這九個小正方形再分別進(jìn)行九等分，各自去掉中間的一個保留它們的邊。重復(fù)操作直至無窮。Sierpinski地毯將一個正方形九等分45對一個正六面體，將它的每條邊進(jìn)行三等分，即對正六面體進(jìn)行27等分，去掉體心和面心處的7個小正六面體，剩下20個小正六面體，并保留它們的表面，重復(fù)操作直無窮，得到的圖形。體積趨于零，而其表面的歐式面積趨于無窮大。Sierpinski海綿對一個正六面體，將它的每條邊進(jìn)行三等分，即對正六46Sierpinski集的共同特點它們都是經(jīng)典幾何無法描述的圖形，是一種“只有皮沒有肉”的幾何集合。它們都具有無窮多個自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，任何一個分割后的圖形放大后都是原來圖形的翻版。Sierpinski集的共同特點它們都是經(jīng)典幾何無法描述的圖47問題在哪里？以上是一些經(jīng)典幾何意義下的“病態(tài)”圖形，以Koch曲線為例，以一維來度量它，它的長度趨于無窮，而以二維來度量它，它的面積為零，那么，它究竟是幾維圖形?1維？2維？1．？？？？維嗎？經(jīng)典的維度定義有問題嗎？問題在哪里？以上是一些經(jīng)典幾何意義下的“病態(tài)”圖形，以Koc48經(jīng)典幾何的維度定義在經(jīng)典幾何下，點被定義成0維的，點沒有長度；直線被定義成1維，只有長度，沒有面積，平面圖形被定義成2維的，有面積，沒有體積，立體圖形是3維的，有體積。經(jīng)典幾何討論的維度都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度是一致的，這是一個很自然的想法。經(jīng)典幾何的維度定義在經(jīng)典幾何下，點被定義成0維的，點沒有長度49換一個角度看維度根據(jù)相似性來看線段、正方形和立方體的維數(shù)。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長度一半的兩條線段，正方形變成邊長為原來邊長1/2的四個小正方形，而立方體而成為八個小立方體，邊長為原來邊長的1/2。原來的線段、正方形和立方體分別由2，4，8個把全體分成1/2的相似形組成。而2，4，8可改寫成2的1，2，3次方，這里的1，2，3分別與其圖形的經(jīng)驗維數(shù)相一致。換一個角度看維度根據(jù)相似性來看線段、正方形和立方體50

(1)長度=,面積=2,體積=3（正方體）；(2)長度（半徑）=,面積=,體積=(球）；由上面兩式可以看到，長度、面積和體積的量綱是長度單位的1、2和3次方，它們恰好與這些幾何圖形存在空間的歐氏維數(shù)相等，而且均為整數(shù)。除了正方體和球以外的那些幾何圖形的體積，都可以用正方體或球來進(jìn)行測量?？偨Y(jié)歐氏幾何的測量可以看到：第一類幾何圖形的測量是以長度為基礎(chǔ)；第二類幾何圖形也是以長度（兩點間的距離r）為基礎(chǔ)的，平面圖形以圓為基礎(chǔ)，空間圖形以球為基礎(chǔ)。所以，在歐氏幾何中對規(guī)整幾何圖形的測量，可以用下式來表示：在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以正方體和球作為代表）歸納為如下二點：在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以51長度=面積=

(2.1)體積=

式中a和b為常數(shù)，稱為幾何因子，與具體的幾何圖形的形狀有關(guān)，如對圓；對球.由式（2.1）可以得出如下結(jié)論：

它們是以兩點間的距離為基礎(chǔ)的，而且它們的量綱數(shù)分別等于幾何圖形存在的空間的維數(shù)。在物理學(xué)中，大于3維的空間也是存在的，如把時間和空間一起加以考慮，就得到了所謂的四維空間。以上討論的維數(shù)都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度數(shù)是一致的。也就是說，直線上的任意點可用1個實數(shù)來表示，平面上的點可用由2個實數(shù)組成的數(shù)組來表示……長度=式中a和b為常數(shù)，稱為幾何因子，與具體52

我們把自由度數(shù)作為維數(shù)，也稱為經(jīng)驗維數(shù)?，F(xiàn)在我們會問:是否有非整數(shù)維的幾何存在呢？實際上,若對長度為1的線段n等分，每段長為r，則(2.2)

對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，則(2.3)

對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，則(2.4)

上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數(shù)，于是有如下公式(2.5)我們把自由度數(shù)作為維數(shù)，也稱為經(jīng)驗維數(shù)。53

對上式兩邊取對數(shù)，則得到空間維數(shù)D的表達(dá)式：（2.6）

對koch曲線而言，在第n步時，其等長折線段總數(shù)為4n，每段長度為

，于是koch曲線的維數(shù)D應(yīng)為

（2.7）

這是一個非整數(shù)值，它定量地表示koch曲線的復(fù)雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比較復(fù)雜，但其復(fù)雜程度可用非整數(shù)維數(shù)去定量化，維數(shù)愈大，其復(fù)雜性就會相應(yīng)提高。對上式兩邊取對數(shù)，則得到空間維數(shù)D的表達(dá)式：54

我們上面講的維數(shù)又稱為相似維數(shù)，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，則有：

，(2.8)

因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構(gòu)成的，按式（2.8），koch曲線的相似維數(shù)則為(2.9)

下面我們再看看KOCH曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然，，，，那么我們上面講的維數(shù)又稱為相似維數(shù)，常用Ds表示。55

由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統(tǒng)的歐氏幾何領(lǐng)域不可度量。而分維恰好反映了這種曲線的不規(guī)則性和復(fù)雜性。

由以上的討論，我們可以看到，從傳統(tǒng)的幾何學(xué)出發(fā)，我們用非常簡單的一把直尺去研究koch曲線，會發(fā)現(xiàn)它十分的復(fù)雜，它包含無限的層次結(jié)構(gòu)，用什么樣的尺子都很難測量它，所以我們說koch曲線是很復(fù)雜的幾何對象。從分形幾何學(xué)出發(fā)，我們用一個看起來很復(fù)雜的測量單位——一個小的koch曲線——去測量koch曲線，所得的結(jié)果卻十分簡單。對比以上兩種情況：歐氏幾何用簡單的圖形作為工具，研究某些對象時發(fā)現(xiàn)存在著復(fù)雜性；分形幾何用復(fù)雜的圖形（恰恰是利用自相似性，利用復(fù)雜圖形的本身或其一部分）作工具,研究對象時得到非常簡單的結(jié)果。由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積56維數(shù)的含義分形是復(fù)雜不規(guī)則的系統(tǒng),而描述這系統(tǒng)的粗糙,破碎,不規(guī)則,不光滑程度及復(fù)雜性的定量指標(biāo)和手段就是非整數(shù)維數(shù):分維,分?jǐn)?shù)維數(shù)是描述復(fù)雜對象或系統(tǒng)的最基本特征--分形特征的定量參數(shù).分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統(tǒng)的無序性,表征了動力學(xué)系統(tǒng)最低的基本或獨立變量的個數(shù).維數(shù)的含義分形是復(fù)雜不規(guī)則的系統(tǒng),而描述這系統(tǒng)的粗糙,破碎,57描述的對象層次性自相似性特征長度表達(dá)方式維數(shù)人類創(chuàng)造的簡單的標(biāo)準(zhǔn)物體(可微,可導(dǎo),連續(xù),光滑,規(guī)整)常無有用數(shù)學(xué)公式0及正整數(shù)1或2或3大自然創(chuàng)造的復(fù)(非歐幾何學(xué))雜的真實物體(不連續(xù),不可導(dǎo),不規(guī)則,粗糙,不光滑,曲折)有無用迭代語言,分維一般是分?jǐn)?shù)(可是正整數(shù))分形幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)的差異分形幾何學(xué)歐氏幾何學(xué)描述的對象層次性自相似性特征長度表達(dá)方式維數(shù)人類創(chuàng)造的簡單的58三、分形理論的應(yīng)用分形幾何的誕生接近30年，但它對多種學(xué)科的影響是極其巨大的。分形理論在生物學(xué)、地球物理學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)、天文學(xué)、材料科學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)、語言學(xué)與情報學(xué)、信息科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。生物學(xué)：肺（人肺的分形維數(shù)約為2.17；血管（血管直徑分布的分形維數(shù)約為2.3），人腦（人腦表面的皺紋的分形維數(shù)約為2.73-2.79）；蛋白質(zhì)。地球物理學(xué)：海岸線、河流的干流和支流分布、地震研究。物理學(xué)和化學(xué)：超導(dǎo)；固體表面；高分子。三、分形理論的應(yīng)用59下面我們舉一個經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子。所謂股票價格的變動。股票價格變動圖雖然經(jīng)?？稍趫蠹垼ɑ螂娨暤龋┥峡吹?，但因價格漲落得非常厲害，而且完全是隨機(jī)的，因此使人感到幾乎無規(guī)律可循。但若從統(tǒng)計學(xué)觀點解析這一變動，就會發(fā)現(xiàn)有很好的規(guī)律。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)下面兩個法則：

⑴每個單位時間內(nèi)的股票價格變動分布，服從特性指數(shù)D≈1.7的對稱穩(wěn)定分布。⑵單位時間不論取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說，適當(dāng)?shù)馗淖兂叨?，就可成為同樣的分布。分形理論講稿60關(guān)于穩(wěn)態(tài)分布,只討論與分形有關(guān)的一些性質(zhì)。若把單位時間T之間的股票價格變動x的分布密度記為P（x），則下述關(guān)系成立：

此關(guān)系式表示股票價格變動的大小分布為分形。例如，一天的股票價格變動在x元以上，比2x元以上的變動次數(shù)多21.7≈3.2倍。法則（2）表示股票價格變動在時間上也是分形的。一天的股票價格變動圖形與一年的股票價格變動圖形相比，不同的只是股票價格的尺度，而對變動情況則很難加以區(qū)別。分形理論講稿61

下面我們再介紹分形對哲學(xué)的影響。分形中充滿著辯證法思想，它不僅為辯證法提供新的事例，而且可以豐富人們對辯證法的認(rèn)識。分形理論中具有確定性與隨機(jī)性、內(nèi)在隨機(jī)性與外在隨機(jī)性、局部與整體、簡單與復(fù)雜等幾對矛盾的辯證關(guān)系。后面，僅對所謂整體與局部這一對矛盾，存在著辯證的關(guān)系，加以簡要的闡述。很早以前，人們對部分（局部）與整體的關(guān)系，是認(rèn)為整體可以分解為一些部分，整體是由部分組成的；部分包含在整體之中，是整體的組成部分，部分相加可以構(gòu)成整體。因此，整體等于部分。在這一認(rèn)識中,把部分與整體的關(guān)系理解為機(jī)械的分解和相加。比如，人們在求面積的過程中就充分體現(xiàn)了這一思想。人們正是基于這種整體與部分的關(guān)系的看法，形成簡化事物的方法——還原論方法。這種方法確實為我們解決了許多問題，推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，說明它并非總是有效的。下面我們再介紹分形對哲學(xué)的影響。分形中62

17世紀(jì)，伽利略（Galileo，G.1564～1642）在1638年出版的《關(guān)于新科學(xué)的對話》一書中提出一個悖論：正整數(shù)集合s1的元素與正整數(shù)平方的集合s2的元素是一樣多的。人們稱伽利略悖論,可以表示如下：

s1：1，2，3，…，n…

s2：12，22，32，…，n2…一方面從常識來看，s1的元素顯然比s2的元素多。因為從12到22就少了2、3兩個數(shù)，從22到32缺少5、6、7、8四個數(shù)，一般地從n2到（n+1）2就缺少2n個正整數(shù)；另一方面從上面所列的一一對應(yīng)關(guān)系來看，s1與s2的元素確實是一樣多的，或者說s1的元素并不比s2的元素多。17世紀(jì)，伽利略（Galileo，G.63

當(dāng)時，人們用有限數(shù)的眼光來看待無限數(shù)的關(guān)系，無法理解這種奇特的現(xiàn)象，所以稱它為伽利略悖論。這個悖論說明什么呢？在無窮集合中，整體可以與部分相等，或者說整體不大于部分。這說明我們不能把有窮情況下得出的結(jié)論，不加限止地推廣到無窮的情況，說明我們以前對整體與部分的關(guān)系的認(rèn)識是有條件的，不是普遍有效的。在部分（局部）與整體的關(guān)系，分形幾何已經(jīng)揭示出一個重要特點：自相似，即取分形上任意一小部分加以放大，就可以發(fā)現(xiàn)部分與整體是相似的。這種自相似可以是嚴(yán)格的或有規(guī)律的，也可以是近似的或統(tǒng)計的。因此，自相似性為我們理解部分與整體的辯證關(guān)系提供了新的科學(xué)依據(jù)。當(dāng)時，人們用有限數(shù)的眼光來看待無限數(shù)的64

對于傳統(tǒng)的和分形理論中關(guān)于部分與整體的關(guān)系，可用圖3.1和圖3.2表示：

分解為相同的小塊相同小塊相加整體部分整體

圖3.1分解成一些與整體相似的小塊迭代法

整體部分整體

圖3.2

由圖3.1和圖3.2，我們可以看到：由部分是以自身同等的方式存在于整體之中的傳統(tǒng)看法，進(jìn)而認(rèn)識到部分以與整體相似的方式存在于整體之中。這是人類認(rèn)識史上的一大進(jìn)步，具有深遠(yuǎn)的哲學(xué)意義。

65

結(jié)束語分形理論是一門重要的新學(xué)科，它的歷史很短，但是卷入分形狂潮的除數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家外，還有化學(xué)家、生物學(xué)家、地貌學(xué)與地震學(xué)家、材料學(xué)家等，在社會科學(xué)與人文科學(xué)方面，大批哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家乃至作家畫家和電影制作家都蜂擁而入。著名的電影“星球大戰(zhàn)”就是利用分形技術(shù)創(chuàng)作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科學(xué)家對其情有獨鐘，分形圖像壓縮被認(rèn)為最具前景的圖像壓縮技術(shù)之一，分形圖形學(xué)被認(rèn)為是描繪大自然景色最誘人的方法。美國理論物理學(xué)家惠勒（Wheeler）說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能認(rèn)為是科學(xué)上的文化人?！痹谝恍┓中尉W(wǎng)站上寫著：“分形學(xué)，21世紀(jì)的數(shù)學(xué)?！狈中卫碚撜幱诎l(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，對它爭論也不少，但是由于已被廣泛應(yīng)用到自然科學(xué)和社會科學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域，所以成為當(dāng)今國際上許多學(xué)科的前沿研究課題之一。結(jié)束語66

參考文獻(xiàn)1.林夏水等著，《分形的哲學(xué)漫步》，首都師范大學(xué)出版社，19992.張濟(jì)忠，《分形》，清華大學(xué)出版社，19953.李水根、吳紀(jì)桃編著，《分形與小波》，科學(xué)出版社，20004.[法]B·曼德爾布洛特著，文志英、蘇虹譯，《分形對象——形、機(jī)遇和維數(shù)》，世界圖書出版公司北京公司，19995.陳颙、陳凌編著，《分形幾何學(xué)》，地震出版社，19986.胡瑞安、胡紀(jì)陽、徐樹公著，《分形的計算機(jī)圖象及其應(yīng)用》，中國鐵道出版社，19957.文志英編著，《分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，上?？萍冀逃霭嫔?，20008.謝和平、薛秀謙編著，《分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法》，科學(xué)出版社，19979.[英]肯尼思·法爾科內(nèi)著，曾文曲，王向陽，陸夷譯，《分形幾何中的技巧》，東北大學(xué)出版社，199910.吳敏金著，《分形信息導(dǎo)論》，上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，199411.辛厚文主編，《分形理論及其應(yīng)用》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1993參考文獻(xiàn)67

謝謝謝謝68分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一分形理論

69

前言

一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)

（一）什么是分形（FRACTAL）

（二）自相似性

（三）標(biāo)度不變性

二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）

三、分形理論的應(yīng)用

結(jié)束語

前言

一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)

（一）什么是分形（FRACT70

分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一前言

自然界大部分不是有序的、平衡的、穩(wěn)定的和確定性的，而是處于無序的、不穩(wěn)定的、非平衡的和隨機(jī)的狀態(tài)之中，它存在著無數(shù)的非線性過程，如流體中的湍流就是其中一個例子。在生命科學(xué)和社會科學(xué)中，生命現(xiàn)象和社會現(xiàn)象都是一種復(fù)雜現(xiàn)象，非線性關(guān)系更是常見?？陀^世界是復(fù)雜的，所以科學(xué)家們認(rèn)為“世界在本質(zhì)上是非線性的”。但以往人們對復(fù)雜事物的認(rèn)識總是通過還原論方法把它加以簡化，即把非線性問題簡化為線性問題。這種認(rèn)識方法雖然在科學(xué)研究中發(fā)揮過巨大作用，但是隨著科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展，已經(jīng)暴露出它的局限性，從而要求人分形理論71們直接研究復(fù)雜事物，以便更準(zhǔn)確、更充分地反映其本來面目。因此，一門研究復(fù)雜現(xiàn)象的非線性科學(xué)應(yīng)運而生。在非線性世界里，隨機(jī)性和復(fù)雜性是其主要特征，但同時，在這些極其復(fù)雜的現(xiàn)象背后，存在著某種規(guī)律性。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題，透過撲朔迷離的無序的混亂現(xiàn)象和不規(guī)則的形態(tài)，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律、局部和整體之間的本質(zhì)聯(lián)系。

們直接研究復(fù)雜事物，以便更準(zhǔn)確、更充分地反映其本來面目。因此72目前國內(nèi)外定期召開有關(guān)分形的學(xué)術(shù)會議，出版會議論文集和關(guān)于分形的專著，在重要期刊上經(jīng)常發(fā)表涉及分形理論和應(yīng)用的論文。世界上1257種學(xué)術(shù)刊物在80年代后期發(fā)表的論文中,與分形有關(guān)的占據(jù)37.5%。從發(fā)表論文來看，所涉及的領(lǐng)域包括哲學(xué)、物理、化學(xué)、材料化學(xué)、電子技術(shù)、表面科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)、地震學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、人口學(xué)、情報學(xué)、商品學(xué)、電影美學(xué)、思維、音樂、藝術(shù)等。分形是一門新的學(xué)科，它的歷史很短，目前正處在發(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強(qiáng)大的生命力。目前國內(nèi)外定期召開有關(guān)分形的學(xué)術(shù)會議，出版會議論文集73研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這74英國的海岸線地圖英國的海岸線地圖75研究對象（續(xù)）當(dāng)你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細(xì)小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。

研究對象（續(xù)）當(dāng)你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，76研究對象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。研究對象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的77Koch曲線Koch曲線78Koch曲線（續(xù)）Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個魔鬼。同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界”。另外，有一個特點：當(dāng)取其中的一部分展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數(shù)次的自我復(fù)制。Koch曲線（續(xù)）Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個魔鬼。79自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。England的海岸線從視覺上也感覺有某種自相似性自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性80一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)（一）什么是分形（fractal）“分形”這個名詞是由美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授曼德勃羅特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（創(chuàng)造）的，其原義是“不規(guī)則的，分?jǐn)?shù)的，支離破碎的”物體，這個名詞是參照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出來的。它含有英文中frature(分裂)fraction（分?jǐn)?shù)）的雙重意義。而我國在山西五臺山南山寺的影壁墻上的碑文中，早在清朝時代就有了“日月光明，分形變化”的語句。一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)（一）什么是分形（fractal）81

人類在認(rèn)識世界和改造世界的活動中離不開幾何學(xué)。在歷史上，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與幾何學(xué)的進(jìn)步始終是密切相關(guān)的。在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，人們用以描述客觀世界的幾何學(xué)是歐幾里德幾何學(xué)，以及解析幾何、射影幾何、微分幾何等，它們能有效地描述三維世界的許多現(xiàn)象，如各種工業(yè)產(chǎn)品的現(xiàn)狀，建筑的外形和結(jié)構(gòu)等。但是，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復(fù)雜而且不規(guī)則的。例如：海岸線、山形、河川、巖石、樹木、森林、云團(tuán)、閃電、海浪等等，例如圖1.1、圖1.2和圖1.3所示。用歐幾里德幾何學(xué)是無能為力的。分形理論講稿82圖1.1布達(dá)拉宮中藏族壁畫中的云的形狀圖1.2日本傳統(tǒng)繪畫中對海浪的描述圖1.1布達(dá)拉宮中83圖1.3山脈的復(fù)雜形態(tài)

另外，在科學(xué)研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分析，如星系分布、滲流、金融市場的價格浮動等復(fù)雜對象，都需要一種新的幾何學(xué)來描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒有特征長度的圖形和構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何，又稱為描述大自然的幾何。另外，在科學(xué)研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分84

下面給出“分形”的兩個定義，在物理上易于理解，但不夠精確，也不夠數(shù)學(xué)化。

定義1（Mandelbrot,1986）:部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。

定義2（Edgar,1990）:分形集合是這樣一種集合，它比傳統(tǒng)幾何學(xué)研究的所有集合還更加不規(guī)則（irregular）,無論是放大還是縮小，甚至進(jìn)一步縮小，這種集合的不規(guī)則性仍然是明顯的。

下面給出“分形”的兩個定義，在物理上易于理解，85分形的概念

分形是具有如下所列性質(zhì)的集合F：F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計意義下的。F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的撲維數(shù)。F的定義常常是非常簡單的，或許是遞歸的。分形的概念分形是具有如下所列性質(zhì)的集合F：86JuliaSetJuliaSet:Zn+1=Zn2+C令復(fù)數(shù)C為一定值，將Z平面上任意一點代入，則Z平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)散，而發(fā)散與收斂間的邊界，即為JuliaSet的圖形。根據(jù)C、Z0的不同會生成不同的Julia集合JuliaSetJuliaSet:87MandelbrotSet在復(fù)平面中，M集是通過下述迭代式產(chǎn)生的：Zn+1=Zn^2+C。其中，Z和c都是復(fù)數(shù)，由各自的實部和虛部組成 Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCyMandelbrotSet在復(fù)平面中，M集是通88展開得：Xn+1=Xn2

-Yn2+Cx（實部）Yn+1=2*XnYn+Cy（虛部）

對上述迭代式反復(fù)進(jìn)行迭代，得到的數(shù)集，稱為Mandelbrot集，簡稱M集。在迭代過程中，Z的初值定為0，而C選擇一個不為0的數(shù),使C在復(fù)平面的某個區(qū)域內(nèi)有規(guī)律地變化，對于二次函數(shù)fc(Z)=Z^2+C的迭代，定義M集為：M={c∈C:fck(0)/→∞(k→∞)}。展開得：89用不同的C值反復(fù)進(jìn)行迭代，由此產(chǎn)生的Zk序列有兩種情況： （1）Zk序列自由地朝著無窮大的方向擴(kuò)散，即發(fā)散；（2）Zk序列被限制在復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)，即收斂。建立判斷收斂與發(fā)散的判斷準(zhǔn)則，對于那些收斂的Zk序列的點，設(shè)置某種顏色的色調(diào)，就可以顯示M集的計算機(jī)圖象。對于那些發(fā)散的Zk序列的點，根據(jù)發(fā)散速度的不同，按照給定的規(guī)則著上不同顏色的色調(diào)，就能顯示M集周圍的圖象。用不同的C值反復(fù)進(jìn)行迭代，由此產(chǎn)生的Zk序列有兩種情況：90分形理論講稿91自然界中的分形山星云自然界中的分形山星云92星云星云93天空中的云朵植物的葉子天空中的云朵植物的葉子94

視網(wǎng)膜中央動脈顳上支阻塞視乳頭旁毛細(xì)血管瘤毛細(xì)血管分布

95河流分布圖河流分布圖96自然界中的分形股票價格曲線巖石裂縫金屬損傷裂縫道路分布神經(jīng)末梢的分布…………自然界中的分形股票價格曲線97局部結(jié)論從分析上述現(xiàn)象可以看到，Julia、Mandelbrot集合所顯現(xiàn)出來的圖形是極端復(fù)雜的，而且存在著自相似性（即局部等于全體），而這么復(fù)雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復(fù)迭代得到的結(jié)果。反推回來，一個具有分形特征的自然現(xiàn)象是否可以認(rèn)為是有一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復(fù)迭代得到的結(jié)果？如果是，只要找到方程和初值，就可以隨意地生成我們所希望的圖形？局部結(jié)論從分析上述現(xiàn)象可以看到，Julia、Mandelbr98如何來研究分形？Mandelbrot提出了一個分形維數(shù)的概念。在Euchlid幾何學(xué)中我們知道維數(shù)的概念點---0維；線---1維；面---2維；體---3維。如何來研究分形？Mandelbrot提出了一個分形維數(shù)的概念99（二）自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單地和整體完全重合。人們在觀察和研究自然界的過程中，認(rèn)識到自相似性可以存在于物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及社會科學(xué)等眾多的科學(xué)之中，可以存在于物質(zhì)系統(tǒng)的多個層次上，它是物質(zhì)運動、發(fā)展的一種普遍的表現(xiàn)形式，即是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。（二）自相似性100

太陽系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。物質(zhì)系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進(jìn)化到一定程度的產(chǎn)物，解剖學(xué)研究表明，人體中的大腦、神經(jīng)系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結(jié)構(gòu)上都具有高度的自相似性。圖1.4是人體小腸的結(jié)構(gòu)，由圖可以看到，當(dāng)以不同的放大倍數(shù)觀察小腸結(jié)構(gòu)時，即從a到e較大的形態(tài)與較小的形態(tài)之間的相似表明小腸結(jié)構(gòu)具有自相似性。太陽系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩101圖1.4人體小腸的自相似結(jié)構(gòu)分形理論講稿102

一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構(gòu)成形式上完全相似。又會發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長出來的更小的細(xì)枝條，仍具有大樹構(gòu)成的特點。當(dāng)然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會無限擴(kuò)展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細(xì)觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結(jié)構(gòu)。由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴(yán)格的，而是，在統(tǒng)計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。凡是滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱之為無規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形,由于它是按一定的數(shù)學(xué)法則呈現(xiàn)，因此具有嚴(yán)格的自相似性。所謂koch曲線，就是屬于有規(guī)分形,如圖1.5所示。一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與103圖1.5三次koch曲線

它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二條等長（1/3）的折線來代替，形成一個生成單元，如圖1.5(b).然后再把每一條直線段用生成單元進(jìn)行代替，經(jīng)過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的。圖1.5三次koch曲線它的生成方法是把一104

koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內(nèi)部還有圖形。從圖1.5（e）中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一部分放大，其形狀與整體相同。設(shè)想把圖1.5（e）中的koch曲線區(qū)間[0,1/3]中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區(qū)間[2/3,1]放大3倍，也會得到同樣的結(jié)果。雖然區(qū)間[1/3,1/2]，[1/2,2/3]的圖形是傾斜的，但是把它放大，也會得到同樣的結(jié)果。若把區(qū)間[0,1/9]的圖形放大9倍，同樣也可以產(chǎn)生與原來相同的圖形。對更小的部分進(jìn)行放大也是如此，不論多小部分，若把它放大到適當(dāng)大小，應(yīng)該能得出與原來相同的圖形。koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相105（三）標(biāo)度不變性所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進(jìn)行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數(shù)如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數(shù)。所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標(biāo)度不變性，或者說這類物體設(shè)有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴(yán)格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標(biāo)度不變性。因此,可以看到,自相似性與標(biāo)度不變性是密切相關(guān)的。自相似性和標(biāo)度不變性是分形的兩個重要特性。（三）標(biāo)度不變性106

對于“特征長度”這一名詞，作一簡單的說明，自然界存在的所有物體的形狀和人類迄今所考慮的一切圖形，大致可分為如下兩種：具有特征長度的圖形和不具有特征長度的圖形。對于特征長度，并沒有嚴(yán)格的定義，一般認(rèn)為能代表物體的幾何特征的長度，就稱之為該物體的特征長度。如一個球的半徑、正方體的邊長、人的身高、汽車的長度，這些都是各個物體的特征長度，它們很好地反映了這些物體的幾何特征。對具有特征長度的物體的形狀，對它們即使稍加簡化，但只要其特征長度不變，其幾何性質(zhì)也不會有太大的變化。如豎起一個代替人的、與人具有相同高度的圓柱，那么從遠(yuǎn)處去看，也不會有太大的差錯；如果再精細(xì)一點，以小圓柱代替手和腿，以矩形代替身軀，以球代替頭，那么就會很像人了。換句話說，關(guān)于這類物體,可以用幾何學(xué)上熟知的矩形體、圓柱、球等簡單形狀加以組合，就能很好地與其構(gòu)造近似。對于“特征長度”這一名詞，作一簡單的說明，自107二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）

歐幾里德幾何學(xué)（簡稱歐氏幾何學(xué)），是一門具有2000多年歷史的數(shù)學(xué)分支，它是以規(guī)整幾何圖形為研究圖象。所謂規(guī)整幾何圖形就是我們熟悉的點、直線與線段；平面與平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各種三角形以及正多邊形等。空間中的正方體、長方體、正四面體等。另外一類就是曲線或由曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱以及圓臺等。這些點、直線、平面圖形、空間圖形的維數(shù)（歐氏維數(shù)）分為為0、1、2、和3。對規(guī)整幾何圖形的幾何測量是指長度（邊長、周長以及對角線長等）、面積與體積的測量。二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）108數(shù)學(xué)的不規(guī)則圖形實際上，在曼德爾勃朗特的問題提出之前，數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)構(gòu)造過多種不規(guī)則的幾何圖形，他們具有和海岸線相似的性質(zhì)。數(shù)學(xué)的不規(guī)則圖形實際上，在曼德爾勃朗特的問109Cantor集Cantor在1883年構(gòu)造了如下一類集合：取一段歐式長度為l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個操作進(jìn)行下去，直至無窮，可得到一個離散的點集，點數(shù)趨于無窮多，而長度趨于零。經(jīng)無限次操作所得到的離散點集稱為Cantor集。Cantor集Cantor在1883年構(gòu)造了如下一110Koch雪花線瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoch)在1904年提出了一種曲線，它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進(jìn)行代換，經(jīng)無窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無窮多彎曲的Koch曲線。Koch雪花線瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoc111Sierpinski集

首先，將一個等邊三角形四等分，得到四個小等邊三角形，去掉中間的一個，保留它的邊。將剩下的三個小三角形再分別進(jìn)行四等分，并分別去掉中間的一個，保留它的邊。重復(fù)操作直至無窮，得到一個面積為零，線的歐式長度趨于無窮大的圖形。這個圖形被人們稱為謝爾賓斯基縷墊。Sierpinski集首先，將一個等邊三112Sierpinski地毯將一個正方形九等分，去掉中間的一個，保留四條邊，剩下八個小正方形。將這九個小正方形再分別進(jìn)行九等分，各自去掉中間的一個保留它們的邊。重復(fù)操作直至無窮。Sierpinski地毯將一個正方形九等分113對一個正六面體，將它的每條邊進(jìn)行三等分，即對正六面體進(jìn)行27等分，去掉體心和面心處的7個小正六面體，剩下20個小正六面體，并保留它們的表面，重復(fù)操作直無窮，得到的圖形。體積趨于零，而其表面的歐式面積趨于無窮大。Sierpinski海綿對一個正六面體，將它的每條邊進(jìn)行三等分，即對正六114Sierpinski集的共同特點它們都是經(jīng)典幾何無法描述的圖形，是一種“只有皮沒有肉”的幾何集合。它們都具有無窮多個自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，任何一個分割后的圖形放大后都是原來圖形的翻版。Sierpinski集的共同特點它們都是經(jīng)典幾何無法描述的圖115問題在哪里？以上是一些經(jīng)典幾何意義下的“病態(tài)”圖形，以Koch曲線為例，以一維來度量它，它的長度趨于無窮，而以二維來度量它，它的面積為零，那么，它究竟是幾維圖形?1維？2維？1．？？？？維嗎？經(jīng)典的維度定義有問題嗎？問題在哪里？以上是一些經(jīng)典幾何意義下的“病態(tài)”圖形，以Koc116經(jīng)典幾何的維度定義在經(jīng)典幾何下，點被定義成0維的，點沒有長度；直線被定義成1維，只有長度，沒有面積，平面圖形被定義成2維的，有面積，沒有體積，立體圖形是3維的，有體積。經(jīng)典幾何討論的維度都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度是一致的，這是一個很自然的想法。經(jīng)典幾何的維度定義在經(jīng)典幾何下，點被定義成0維的，點沒有長度117換一個角度看維度根據(jù)相似性來看線段、正方形和立方體的維數(shù)。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長度一半的兩條線段，正方形變成邊長為原來邊長1/2的四個小正方形，而立方體而成為八個小立方體，邊長為原來邊長的1/2。原來的線段、正方形和立方體分別由2，4，8個把全體分成1/2的相似形組成。而2，4，8可改寫成2的1，2，3次方，這里的1，2，3分別與其圖形的經(jīng)驗維數(shù)相一致。換一個角度看維度根據(jù)相似性來看線段、正方形和立方體118

(1)長度=,面積=2,體積=3（正方體）；(2)長度（半徑）=,面積=,體積=(球）；由上面兩式可以看到，長度、面積和體積的量綱是長度單位的1、2和3次方，它們恰好與這些幾何圖形存在空間的歐氏維數(shù)相等，而且均為整數(shù)。除了正方體和球以外的那些幾何圖形的體積，都可以用正方體或球來進(jìn)行測量?？偨Y(jié)歐氏幾何的測量可以看到：第一類幾何圖形的測量是以長度為基礎(chǔ)；第二類幾何圖形也是以長度（兩點間的距離r）為基礎(chǔ)的，平面圖形以圓為基礎(chǔ)，空間圖形以球為基礎(chǔ)。所以，在歐氏幾何中對規(guī)整幾何圖形的測量，可以用下式來表示：在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以正方體和球作為代表）歸納為如下二點：在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以119長度=面積=

(2.1)體積=

式中a和b為常數(shù)，稱為幾何因子，與具體的幾何圖形的形狀有關(guān)，如對圓；對球.由式（2.1）可以得出如下結(jié)論：

它們是以兩點間的距離為基礎(chǔ)的，而且它們的量綱數(shù)分別等于幾何圖形存在的空間的維數(shù)。在物理學(xué)中，大于3維的空間也是存在的，如把時間和空間一起加以考慮，就得到了所謂的四維空間。以上討論的維數(shù)都是整數(shù)，它們的數(shù)值與決定幾何形狀的變量個數(shù)及自由度數(shù)是一致的。也就是說，直線上的任意點可用1個實數(shù)來表示，平面上的點可用由2個實數(shù)組成的數(shù)組來表示……長度=式中a和b為常數(shù)，稱為幾何因子，與具體120

我們把自由度數(shù)作為維數(shù)，也稱為經(jīng)驗維數(shù)?，F(xiàn)在我們會問:是否有非整數(shù)維的幾何存在呢？實際上,若對長度為1的線段n等分，每段長為r，則(2.2)

對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，則(2.3)

對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，則(2.4)

上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數(shù)，于是有如下公式(2.5)我們把自由度數(shù)作為維數(shù)，也稱為經(jīng)驗維數(shù)。121

對上式兩邊取對數(shù)，則得到空間維數(shù)D的表達(dá)式：（2.6）

對koch曲線而言，在第n步時，其等長折線段總數(shù)為4n，每段長度為

，于是koch曲線的維數(shù)D應(yīng)為

（2.7）

這是一個非整數(shù)值，它定量地表示koch曲線的復(fù)雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比較復(fù)雜，但其復(fù)雜程度可用非整數(shù)維數(shù)去定量化，維數(shù)愈大，其復(fù)雜性就會相應(yīng)提高。對上式兩邊取對數(shù)，則得到空間維數(shù)D的表達(dá)式：122

我們上面講的維數(shù)又稱為相似維數(shù)，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，則有：

，(2.8)

因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構(gòu)成的，按式（2.8），koch曲線的相似維數(shù)則為(2.9)

下面我們再看看KOCH曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然，，，，那么我們上面講的維數(shù)又稱為相似維數(shù)，常用Ds表示。123

由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統(tǒng)的歐氏幾何領(lǐng)域不可度量。而分維恰好反映了這種曲線的不規(guī)則性和復(fù)雜性。

由以上的討論，我們可以看到，從傳統(tǒng)的幾何學(xué)出發(fā)，我們用非常簡單的一把直尺去研究koch曲線，會發(fā)現(xiàn)它十分的復(fù)雜，它包含無限的層次結(jié)構(gòu)，用什么樣的尺子都很難測量它，所以我們說koch曲線是很復(fù)雜的幾何對象。從分形幾何學(xué)出發(fā)，我們用一個看起來很復(fù)雜的測量單位——一個小的koch曲線——去測量koch曲線，所得的結(jié)果卻十分簡單。對比以上兩種情況：歐氏幾何用簡單的圖形作為工具，研究某些對象時發(fā)現(xiàn)存在著復(fù)雜性；分形幾何用復(fù)雜的圖形（恰恰是利用自相似性，利用復(fù)雜圖形的本身或其一部分）作工具,研究對象時得到非常簡單的結(jié)果。由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積124維數(shù)的含義分形是復(fù)雜不規(guī)則的系統(tǒng),而描述這系統(tǒng)的粗糙,破碎,不規(guī)則,不光滑程度及復(fù)雜性的定量指標(biāo)和手段就是非整數(shù)維數(shù):分維,分?jǐn)?shù)維數(shù)是描述復(fù)雜對象或系統(tǒng)的最基本特征--分形特征的定量參數(shù).分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松