高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第八篇第五節(jié)配套（教師用） 理

第5節(jié)空間中的垂直關(guān)系編輯ppt(對應(yīng)學(xué)生用書第104頁)編輯ppt(對應(yīng)學(xué)生用書第104～105頁)1．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直編輯ppt(2)直線與平面垂直的判定定理編輯ppt(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理編輯ppt編輯ppt質(zhì)疑探究1：當(dāng)直線AP與平面垂直時(shí)，它們所成的角是多少？當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)呢？編輯ppt3．平面與平面垂直(1)二面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖，記作：二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.②二面角的平面角如圖，二面角αlβ，若有(i)O∈l，(ii)OA?α，OB?β，(iii)OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．編輯ppt(2)平面與平面的垂直①定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．②平面與平面垂直的判定定理.編輯ppt③平面與平面垂直的性質(zhì)定理.編輯ppt質(zhì)疑探究2：垂直于同一平面的兩平面是否平行？提示：不一定．可能平行也可能相交．編輯ppt1．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

A

)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析：l⊥α?l⊥m，l⊥n，反之因?yàn)閙、n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.編輯ppt2．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，則圖中互相垂直的平面共有(

B

)(A)4對(B)3對(C)2對(D)1對解析：∵PA⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，又AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，又PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故平面PBC⊥平面PAC，共3對，選B.編輯ppt3．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面．則下列命題中正確的是(

B

)(A)m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β(B)α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n(C)α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n(D)α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β解析：A：m⊥α，m⊥n，n?β，則有可能α∥β或α與β相交，排除A.B：α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n成立．C、D顯然不正確．編輯ppt4．將正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.編輯ppt(對應(yīng)學(xué)生用書第105～106頁)借助幾何模型判斷有關(guān)垂直命題的真假【例1】下列命題中，m、n表示兩條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面．①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ.正確的命題是(

)(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④編輯ppt編輯ppt運(yùn)用幾何模型中的線與面、面與面的關(guān)系判斷命題的真假，是解決此類問題的常見方法，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是力求熟練畫出幾何體，最終達(dá)到不用畫圖，也能在頭腦中想象出幾何體的形狀及其線面之間的關(guān)系；二是只要存在反例，則結(jié)論錯(cuò)誤，而對于看似正確的結(jié)論，也要反復(fù)驗(yàn)證，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行證明才能確定其正確性．編輯ppt變式探究11：(2010年江南模擬)已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.其中正確命題的序號是________．編輯ppt解析：①在正方體A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因?yàn)镃D∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯(cuò)誤．②因?yàn)閍、b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．③由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直，易知③正確．④當(dāng)a∥b時(shí)，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不能得出l⊥α，④錯(cuò)誤．答案：②③編輯ppt直線和平面垂直的判定和性質(zhì)【例2】如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD思路點(diǎn)撥：證MN垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線CD和CP，需取CD的中點(diǎn)E；也可取PD的中點(diǎn)F，轉(zhuǎn)化為證AF⊥平面PCD.編輯ppt編輯ppt編輯ppt證明線面垂直，常用證法有兩種：一是利用面面垂直的性質(zhì)，二是利用線面垂直的判定定理，即證明直線a與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直．編輯ppt變式探究21：若將例2條件改為“△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)”，試問直線MN與平面PCD是否仍然垂直？編輯ppt編輯ppt平面與平面垂直的判定和性質(zhì)編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”這三種垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化如下圖，要熟練掌握．當(dāng)兩平面垂直時(shí)，常在其中一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直問題，找到或作出直線與平面所成的角、二面角的平面角或得到點(diǎn)到平面的距離等．編輯ppt【例1】(2009年高考北京卷)如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)E使得二面角ADEP為直二面角？并說明理由．編輯ppt編輯ppt編輯ppt【例2】(2010年高考天津卷)如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求異面直線CE與AF所成角的余弦值；(2)證明CD⊥平面ABF；(3)求二面角BEFA的正切值．編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt【例3】如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線AB與平面EBC所成的角的大小；(3)求二面角AEBC的大小．(1)證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC.∵平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC.∵AM?平面EAC，∴BC⊥AM，又EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC.編輯ppt編輯ppt編輯ppt錯(cuò)源：錯(cuò)用平面幾何中的定理【例題】已知直線a?平面α，a⊥b，b⊥α.求證：a∥α.錯(cuò)解：由題設(shè)b⊥α知直線b與平面α有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為Q，過直線a和點(diǎn)Q作平面β交平面α于過點(diǎn)Q的一條直線a′，則a′?α(如圖所示)．編輯ppt∵b⊥α，∴b⊥a′，又∵a⊥b，∴a∥a′，∵a?α，a′?α，∴a∥α.錯(cuò)解分析：在錯(cuò)解中，應(yīng)用平面幾何中的定理“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，得a∥a′導(dǎo)致錯(cuò)誤，該定理要求涉及的三條直線都在同一平面內(nèi)，而現(xiàn)在僅有a和a′在平面β內(nèi)，直線b不能保證也在平面β內(nèi)，因而不能滿足使用定理的條件，從而給出了錯(cuò)誤的證明．編輯ppt編輯ppt【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號直線與平面垂直3、6、7、8、9平面與平面垂直4、9線面角6二面角5平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用1、2、10編輯ppt一、選擇題1．教室內(nèi)任意放一支鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線(

D

)(A)平行(B)相交(C)異面(D)垂直解析：這支鉛筆與地面存在三種位置關(guān)系，若在地面內(nèi)，則C排除；若與地面平行則B排除；若與地面相交，則A排除選D.編輯ppt2．若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是(

C

)(A)若m?β，α⊥β，則m⊥α(B)若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β(C)若m⊥β，m∥α，則α⊥β(D)若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ解析：兩平面垂直并不能得到一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都與另一平面垂直，故A為假命題；以三棱柱的側(cè)面和側(cè)棱為例知B為假命題；若m∥α，則α中必存在直線l與m平行，又m⊥β，∴l(xiāng)⊥β，故α⊥β，故選C.編輯ppt3．(2010年煙臺模擬)如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(

A

)(A)直線AB上(B)直線BC上(C)直線AC上(D)△ABC內(nèi)部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在底面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．編輯ppt4．如圖，在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是(

D

)(A)BC∥平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面PAE(D)平面PDE⊥平面ABC解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結(jié)論B、C均成立；點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，不在中位線DE