(完整)高中數(shù)學競賽講義(八)平面向量

講義八講義八/8【證明】如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設正方形邊長為1,則A,B坐標分別為（-1,1）和（0,1）,設E點的坐標為（x,y）,則=（x,y-1）,，因為AC,所以-x-（y-1）=o.又因為Il=lAaI,所以x2+y2=2.1+V31-

黑= y- 由①，②解得- 二亞/巴巴士宣近『一+2四所以21設F（VD,則=51）。由礪和而共線得2工一2所以工=-（2+出），即腎-2―昆1）,所以I將『=4+上出T屋/，所以AF=AE。三、基礎訓練題1.以下命題中正確的是.①a=b的充要條件是|a|=|b|,且a//b;②（a-b）-c=（a?c）?b;③若a-b=a-c,貝Ub=c;④若a,b不共線,貝Uxa+yb=ma+nb的充要條件是x=m,y=n;⑤若*“="且a,b共線，則a,b,c,D共線；⑥a=（8,1）在b=（-3,4）上的投影為-4。2.已知正六邊形2.已知正六邊形ABCDEF,在下列表達式中：①語+五+而；②2而十沅.5.已知a,b不共線,條件.5.已知a,b不共線,條件.6.在3BC中，M是AC中點,N是AB的三等分點，且2H=2M,BM與CN交③RS+即；④2ED—艮4與AC相等的有.已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a-b=0,則|x|+|y尸..設s,t為非零實數(shù)，a,b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|,則a和b的夾角為,W=a+kb,〃尸=la+b,則“kl-1=?！笔恰癕,N,P共線”的則入=—.a- .j, ,八上百匕l(fā)a珀h4OC*=AOA+口OE —￡1=.已知‘不共線，點C分a萬所成的比為2, 尸，則“.已知"月"④"。=b,a-b=|a-b|=2,當"OB面積最大時，a與b的夾角為.5/8

.把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1),若值,匕,c?b=4,貝Ub的坐標為..將向量a=(2,1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)4得到向量b,則b的坐標為..在RtABAC中，已知BC=a,若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問加與夕口的夾角日取何值時RFDQ的值最大？并求出這個最大值。.在四邊形ABCD中，二巴心;二0二七‘必^一d,如果ab=bc=cd=da,試判斷四邊形ABCD的形狀。四、高考水平訓練題P滿足點O是平面上一定點， A,B,CP滿足QF=OA^rAADACABACUefo^-hoo)則點QF=OA^rAADACABACUefo^-hoo)則點P的軌跡一定通過AABC的心。在3BC中，**=工3匚=3,且a?b<0,則3BC的形狀是非零向量。內(nèi)=2。且=&,若點B關(guān)于口工所在直線對稱的點為B1,則"14,若。為AABC的內(nèi)心，且3- -乩㈢=°,則那bc的形狀為..設O點在那BC內(nèi)部，且辦+20以+3℃=°,則9OB與GAOC的面積比為.P是那BC所在平面上一點，若叫F田二F田,尸尸°,尸』，則P是"BC的心.「左0戶=氏地吸。0n(1 垃即+0必0)(白V旭)ntPQ.仃/土什.已知上‘心憶'，八L，」」，則|匕|的取值范圍是..已知a=(2,1),b=( ，入若1)a與b的夾角為銳角，則入的取值范圍是..在3BC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2,則。乩①“十口匕)的最小值為.N=N=10.已知集合10.已知集合M={a|a=(1,2)+入(3,4)R},N={a|a=(-2,-2)+入(4,5)￡R},mjM門.設G為AABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q,已知=工。應。。=yOA,Aoab與z\qpq的面積分別為s和t,T(1)求y=f(x)的解析式及定義域；(2)求*的取值范圍。?Cn如由上〃/、小…“小士上c/卡/曰MP.MN -F0虱M-PN.已知兩點M(-1,0),N(1,0),有一點P使得成公差小于零的等差數(shù)列。(1)試問點P的軌跡是什么？(2)若點P坐標為(Xo,yo),H為產(chǎn)科與FH的夾角，求tanh.五、聯(lián)賽一試水平訓練題1.在直角坐標系內(nèi)，O為原點，點A,B坐標分別為(1,0),(0,2),當實數(shù)p,q1 r—十一二］ ——> 滿足占0時，若點C,D分別在x軸，y軸上，且=pQ4= ,則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為..p為9BC內(nèi)心，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c.O為平面內(nèi)任意一點，CM-x,OB-y.OC—z.mir /ffiu 主二、八 則J廠=(用a,b,c,x,y,z表不)..已知平面上三個向量a,b,c均為單位向量，且兩兩的夾角均為 120°,若|ka+b+c|>1(kCR),則k的取值范圍是..平面內(nèi)四點A,B,C,D滿足近「刃而|=7.|阿=11,同=9則辭項的取值有個..已知A1A2A3A4A5是半徑為r的。O內(nèi)接正五邊形， P為。O上任意一點，則?可f+?而『+1西"而|'|可『取值的集合是..。為那BC所在平面內(nèi)一點，A,B,C為那BC的角，若sinA?辦+sinB-口3■b to+sinC?口已二°,則點O為那BC的心..對于非零向量a,b, “|a圈b『(a+b)，(a-b)”的條件..在GABC中，二區(qū)S"='C月="，又(c?功：e?a)：(a.c)=1：2：3,則GABC三邊長之比|a|：|b|：|c|=..已知P為GABC內(nèi)一點，且「工+ =",CP交AB于D,求證：口尸二空.已知"BC的垂心為H,AHBC,AHCA,AHAB的外心分別為Oi,O2,。3,令名二屯誣=3名二屯誣=3而=*京0\=P,求證:(1)2p=b+c-a；(2)H為△O1O2O3的外心。.設坐標平面上全部向量的集合為 V,a=(ai,a2)為V中的一個單位向量，已知從V到『的變換T,由T(x)=-x+2(x-a)a(xCV)確定,(1)對于V的任意兩個向量x,y,求證：T(x)?T(y)=x?y;(2)對于V的任意向量x,計算T[T(x)]-x;(3)設u=(1,0);沅=(?！?若了⑻二夕，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓練題.已知A,B為兩條定直線AX,BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為APAR射線BY上的兩點，鴕BC為定比，M,N,T分別為線段AB,PQ,RS上的點，AMPNRT兒值NQ整為另一定比，試問M,N,T三點的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。已知AC,CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M,N分別內(nèi)分AC,CE,使得AM:AC=CN:CE=r,如果B,M,N三點共線，求r.在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A,B的點M,點巳Q,R,S是M分別在直線AD,AB,BC,CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。在3BC內(nèi)，設D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點，G是AB的中點，又設H是線段EG和DF的交點，求比值EH:HG。是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？已知點O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的乙AiOAj,這里的i,j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有 n-1個不是銳角。如圖，在AABC中，。為外心，三條高AD,BE,CF交于點H,直線ED和AB交于點M,FD和AC交于點N,求證：(1)