大地測量學(xué)基礎(chǔ)：17 正形投影與高斯克呂格投影

橢球面到平面的正形投影

高斯克呂格投影《大地測量學(xué)基礎(chǔ)》（FOUNDATIONOFGEODESY）一系大地測量教研室17maincontentsparttwo6.2橢球面到平面的正形投影6.3高斯克呂格投影1、正形投影的特點(diǎn)(Featuresofequivalentangleprojection)在微小范圍內(nèi)投影的長度比m與方向無關(guān)，但隨點(diǎn)位而改變。正形投影就是在微小區(qū)域內(nèi)，橢球面圖形投影后保持形狀不變，也就是說，投影到平面上的微小圖形與橢球面上的微小圖形相似。

6.2橢球面到平面的正形投影Equivalentangleprojectionfromellipsoidtoaplane1)定義

2)特點(diǎn)

正形投影是地圖投影的一種，高斯投影又是正形投影的一種，我們先導(dǎo)出正形投影的一般條件，然后再加上高斯投影的特定條件，就可以導(dǎo)出高斯投影公式。我們知道正形投影的特點(diǎn)是：投影的長度比m與方向A無關(guān)。

我們先寫出長度比

的具體表達(dá)式，然后再根據(jù)正形投影的特點(diǎn)導(dǎo)出正形投影的一般條件.橢球面到平面正形投影的一般條件

Conditionof

Equivalentangleprojectionfromellipsoidtoaplan

2、正形投影條件(ConditionofEquivalentangleprojection)6.2橢球面到平面的正形投影Equivalentangleprojectionfromellipsoidtoaplan1)等量坐標(biāo)

大地坐標(biāo)等量坐標(biāo)2、正形投影條件(ConditionofEquivalentangleprojection)2)公式推導(dǎo)(柯西-黎曼微分方程)

(柯西-黎曼微分方程)2、正形投影條件(ConditionofEquivalentangleprojection)3)說明

柯西-黎曼方程是正形投影的充要條件

平面到橢球面的柯西-黎曼方程為：

正形投影的長度比公式

休息！高斯（C.F.Gauss)高斯是德國數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯最出名的故事就是他十歲時(shí)，小學(xué)老師出了一道算術(shù)難題：“計(jì)算1＋2＋3…＋100＝？”。這可難為初學(xué)算術(shù)的學(xué)生，但是高斯卻馬上將答案解了出來，他利用算術(shù)級數(shù)（等差級數(shù)）的對稱性，然后就像求得一般算術(shù)級數(shù)和的過程一樣，把數(shù)目一對對的湊在一起：1＋100，2＋99，3＋98，……49＋52，50＋51而這樣的組合有50組，所以答案很快的就可以求出是：101×50＝5050。高斯（C.F.Gauss)他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才。1795年進(jìn)入格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)。第二年他就發(fā)現(xiàn)正十七邊形的尺規(guī)作圖法。并給出可用尺規(guī)作出的正多邊形的條件，解決了歐幾里得以來懸而未決的問題。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯的數(shù)論研究總結(jié)在《算術(shù)研究》（1801）中，這本書奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作，也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一。高斯對代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。高斯（C.F.Gauss)高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。1828年高斯出版了《關(guān)于曲面的一般研究》，全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學(xué)，并提出內(nèi)蘊(yùn)曲面理論。高斯的曲面理論后來由黎曼發(fā)展。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來。其著作還有《地磁概念》和《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。高斯（C.F.Gauss)1801年高斯有機(jī)會(huì)戲劇性地施展他杰出的計(jì)算技巧。那年的元旦，有一個(gè)后來被證認(rèn)為小行星并被命名為谷神星的天體被發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)它好像在向太陽靠近，天文學(xué)家雖然有40天的時(shí)間可以觀察它，但還不能計(jì)算出它的軌道。高斯只作了3次觀測就提出了一種計(jì)算軌道參數(shù)的方法，而且達(dá)到的精確度使得天文學(xué)家在1801年末和1802年初能夠毫無困難地再次確定谷神星的位置。高斯在這一計(jì)算方法中用到了他大約在1794年創(chuàng)造的最小二乘法（一種可從特定計(jì)算得到最小的方差和求出最佳估值的方法）在天文學(xué)中這一成就立即得到公認(rèn)。他在《天體運(yùn)動(dòng)理論》中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應(yīng)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的要求。高斯在小行星”智神星”方面也獲得類似的成功。高斯（C.F.Gauss)

1820~1830年間，高斯對德國漢諾威地區(qū)的三角測量成果進(jìn)行處理時(shí)，曾采用了由他本人研究的將一條中央子午線長度投影規(guī)定為固定尺度的橢球正形投影?？墒撬]有把該成果發(fā)表和公布。人們只是從他給朋友的部分信件中知道這種投影的結(jié)論性公式。高斯投影的理論是他去世之后，由史賴伯1866年出版的《漢諾威大地測量投影方法的理論》中進(jìn)行了整理和加工，從而讓這一理論公布于世。更詳細(xì)地闡明這一理論并給出實(shí)用公式的是德國大地測量學(xué)家克呂格在1912年給出的。克呂格對高斯投影進(jìn)行了深入的研究和補(bǔ)充，從而使之在許多國家得以應(yīng)用。因此人們將這種投影稱之為高斯-克呂格投影，簡稱高斯投影。1、高斯-克呂格投影概念（Conception）6.3高斯—克呂格投影

Gauss—Krugerprojection

高斯－克呂格投影又稱為等角橫切橢圓柱投影。是德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、大地測量學(xué)家高斯于十九世紀(jì)二十年代提出的，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格于1912年對投影公式加以補(bǔ)充和完善。通常簡稱高斯投影。

高斯投影的幾何概念

高斯投影的幾何概念

1、高斯-克呂格投影概念（Conception）6.3高斯—克呂格投影

Gauss—Krugerprojection

高斯投影條件

高斯投影的幾何概念

1）正形條件；2）中央子午線投影為一直線；3）中央子午線投影后長度不變。1）分帶的原因及原則2、高斯投影的分帶

控制長度變形

減少換帶計(jì)算將橢球面沿子午線劃分成若干個(gè)經(jīng)差相等的狹窄地帶各帶分別投影

2)分帶的方法

六度帶：自零子午線起向東劃分，每隔60為一帶。三度帶：在六度帶基礎(chǔ)上，其中央子午線：奇數(shù)帶與六度帶中央子午線一致；偶數(shù)帶與六度帶中央分帶子午線重合。6.3高斯—克呂格投影

Gauss—Krugerprojection

6.3高斯—克呂格投影

Gauss—Krugerprojection

6°帶中央子午線的經(jīng)度計(jì)算公式

已知6°帶中央子午線的經(jīng)度反算帶號

計(jì)算任意經(jīng)度所在投影帶的帶號公式

3°帶中央子午線的經(jīng)度計(jì)算公式

已知3°帶中央子午線的經(jīng)度反算帶號

計(jì)算任意經(jīng)度所在投影帶的帶號公式

3、高斯平面直角坐標(biāo)系

6.3高斯—克呂格投影

Gauss—Krugerprojection

例：在六度帶第19帶中A、B兩點(diǎn)自然坐標(biāo)

A

??

B

xyxyXY西移500km

A

?