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從一道易錯(cuò)題談動(dòng)量守恒定律的理解重慶市豐都中學(xué)付紅周動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中的重要定律，具有系統(tǒng)性、矢量性，瞬時(shí)性、同參考系性，在用動(dòng)量守恒定律求解實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生往往理解不到位，忽視這幾個(gè)方面，造成解題的錯(cuò)誤。那么怎樣在解題的過程理解動(dòng)量守恒定律的四性呢？下面通過一個(gè)例子來說明對(duì)動(dòng)量守恒定律四性的理解：例：質(zhì)量為M的小車，以速度V。在光滑水平地面前進(jìn)，上面站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，問：當(dāng)人以相對(duì)車的速度u向后水平跳出后，車速度為多大？一、典型錯(cuò)解錯(cuò)解一：設(shè)人跳出后的瞬間車速為V，則其動(dòng)量為Mv，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：(M+狀)為=Mv_M+狀解得：V=^^V°錯(cuò)解二：設(shè)人跳出后的車速為V，車的動(dòng)量為Mv，人的動(dòng)量為m(u+v)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：(M+地)％=Mv+v)M得"寸布”錯(cuò)解三：設(shè)車的前進(jìn)方向?yàn)檎较?，人在跳出車后，車的?dòng)量為Mv，人的動(dòng)量為一mu，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：(M+^)v0=Mv-muM-\-mm解得：V-MV°-~MU錯(cuò)解四：設(shè)車的前進(jìn)方向?yàn)檎较?，則人跳出車后小車的動(dòng)量Mv，人的動(dòng)量為一m(u—vo)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：(M+湖氣=Mv-m(u-v0)解得：V=二、錯(cuò)解原因分析.系統(tǒng)的選擇不一致造成錯(cuò)解如錯(cuò)解一，原因是動(dòng)量守恒的對(duì)象應(yīng)為車和人的系統(tǒng)，而不是只有車，即以系統(tǒng)的一部分(車)來代替系統(tǒng)(車和人)。.沒有考慮矢量方向造成錯(cuò)解如錯(cuò)解二，錯(cuò)解是沒有考慮到，人跳離車前后動(dòng)量方向的變化。而是簡(jiǎn)單地采用了算術(shù)和，忽略了動(dòng)量的矢量性。.沒有注意同參考系造成錯(cuò)解如錯(cuò)解三，此解的錯(cuò)誤在于參考系發(fā)生變化了。人跳離前人與車的動(dòng)量是相對(duì)地的。人跳離車后車的動(dòng)量(Mv)也是相對(duì)地的，而人

跳離車后人的動(dòng)量(mu)卻是相對(duì)于車而言的，沒有考慮系統(tǒng)的同參考系性。.等式的左邊或右邊動(dòng)量表達(dá)不同時(shí)造成錯(cuò)解如錯(cuò)解四：錯(cuò)誤在于對(duì)速度的瞬時(shí)性的分析。v0是人未跳離車之前系統(tǒng)(M+m)的速度，一m(u—v。)就不能代表人跳離車后瞬間人的動(dòng)量，是沒有理解動(dòng)量守恒定律的同時(shí)性。三、解動(dòng)量守恒題應(yīng)同時(shí)注意的動(dòng)量守恒的四性通過上面的錯(cuò)解可以看出，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)應(yīng)同時(shí)注意“四性”。1.系統(tǒng)性。動(dòng)量守恒定律是對(duì)一個(gè)物體系統(tǒng)而言的，具有系統(tǒng)的整體性，而不能對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)部分。所選的系統(tǒng)是有相互作用的物體系，沒有相互作用的物體不能選為系統(tǒng)。矢量性。動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)內(nèi)部各部分動(dòng)量的矢量和保持不變，在解題時(shí)必須運(yùn)用矢量法則來計(jì)算而不能用算術(shù)方法。在解決問題時(shí)一定要規(guī)定正方向，與正方向相同的取正，與規(guī)定正方向相反的取負(fù)同參考性。動(dòng)量守恒定律中系統(tǒng)在作用前后的動(dòng)量都應(yīng)是相對(duì)于同一慣性參考系而言。如系統(tǒng)的各部分所選取的參考系不同，動(dòng)量守恒不成立。4.瞬時(shí)性。般來說，系統(tǒng)內(nèi)的各部分在不同時(shí)刻具有不同的動(dòng)量，系統(tǒng)在某一時(shí)刻的動(dòng)量，應(yīng)該是此時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)各部分的瞬時(shí)動(dòng)4.瞬時(shí)性。般來說，系統(tǒng)內(nèi)的各部分在不同時(shí)刻具有不同的運(yùn)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，這幾個(gè)方面相互聯(lián)系，互為一體，不能只考慮某一方面而忽略另一方面，造成顧此失彼的現(xiàn)象。四、正確的解法那么正確的解法是：選地面為參照系，以小車和車上的人為系統(tǒng)，以小車前進(jìn)的方向?yàn)檎较?，跳前系統(tǒng)對(duì)地的速度為吃，設(shè)跳離時(shí)車對(duì)地的速度為V，人對(duì)地的速度為^+v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有:(M+m)vQ=一-v)m解得：”"石;丁動(dòng)量守恒定律應(yīng)用注意事項(xiàng)剖析湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué)柯巖一、動(dòng)量守恒條件的近似性的選取例1一枚在空中飛行的導(dǎo)彈，質(zhì)量為沖，在某點(diǎn)速度的大小U，方向水平向右。導(dǎo)彈在該點(diǎn)突然炸裂成兩塊，其中質(zhì)量為m的一塊沿著U的反方向飛去，速度大小為方，求炸裂后另一塊的速度的。例2在水平軌道上放置一門質(zhì)量為M的炮車，發(fā)射炮彈的質(zhì)量為m，炮車與軌道間摩擦力不計(jì)，當(dāng)炮身與水平方向成8角發(fā)射炮彈時(shí)，炮彈相對(duì)于炮身的出口速度為％，試求炮車后退的速度U。在例1中，導(dǎo)彈炸裂前可認(rèn)為導(dǎo)彈是由質(zhì)量為m和(M—m)的兩部分組成的系統(tǒng)。導(dǎo)彈的炸裂過程可以看成是這兩部分相互作用的過程。系統(tǒng)在炸裂過程受到的外力是兩者的重力，即所受的外力之和不為零。不過，系統(tǒng)所受的外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)力。因而可以認(rèn)為系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒的條件。在例2中，炮彈和炮車構(gòu)成系統(tǒng)。在發(fā)射炮彈過程中，系統(tǒng)所受的外力是兩者的重力G和地面的支持力F。由于傾斜發(fā)射炮彈，故F〉G，即系統(tǒng)所受的外力之和不為0。不過系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而在水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒?？梢妱?dòng)量守恒定律的條件可以歸納如下：系統(tǒng)不受外力或所受外力之和為零；系統(tǒng)所受的外力遠(yuǎn)小于所受的內(nèi)力；系統(tǒng)在某一方向不受外力或所受外力之和為零；系統(tǒng)在某一方向所受外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力。二、動(dòng)量守恒系統(tǒng)的選?。ダ?一質(zhì)量為M的小船，靜止于湖水中，船身長(zhǎng)為L(zhǎng)，船的兩端有質(zhì)量分別為嗎和噸的人，且歐1＞峰，當(dāng)兩個(gè)人交換位置后，船身位移的大小是多少？（不計(jì)水的阻力）錯(cuò)解1：設(shè)人嗎從船的一端走向另一端，船M、人嗎對(duì)地的位移分別為&和&，由動(dòng)量守恒定律可得吒=%三，而&+￥=￡，解得同理可求得峰從船的另一端走向這一端時(shí)，船對(duì)地的位移為-m2）MS—Si~I-S-^i—L因而船的位移大小為（％+的例+財(cái)）錯(cuò)解2：把質(zhì)量大的人嗎換成兩個(gè)人，其中一個(gè)人的質(zhì)量為峰，另一個(gè)人的質(zhì)量為扁「幽以當(dāng)兩個(gè)質(zhì)量為峰的人互換位置后，船將原地不動(dòng)。這樣船的位移可以通過質(zhì)量為（嗎一峰）的人從船的一端走向另一端時(shí)來求得。設(shè)船對(duì)地的位移為s,則質(zhì)量為嗎-峰的人對(duì)地的位移為（L一S）。由動(dòng)量守恒定律可得七5一心十。可得沮，。造成上述錯(cuò)誤的原因就在于選取的系統(tǒng)不對(duì)。其實(shí)把走動(dòng)的人與船組成系統(tǒng)，它們的動(dòng)量是不守恒的，而將走動(dòng)的人與船和另外一個(gè)組成的系統(tǒng)動(dòng)量才守恒。正解1：設(shè)嗎從一端走向另一端時(shí)，嗎與船M相對(duì)靜止，嶼與（峰+M）組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律得w七1可得。同理可求得峰運(yùn)動(dòng)時(shí)，嗎與M相對(duì)靜止時(shí)，船的位移大小為力=——L_酬i+峰+兇，故船實(shí)際后退位移的大小應(yīng)為s，￡=￡]-%=L+m2+M正解2：若將質(zhì)量大的嗎看成由質(zhì)量為峰和（刑i-峰）的兩個(gè)人，（楓i一幽a）的人由一端走到另一端，（刑1-峰）與（M+^2）組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得㈣-知+M疣可得挪三、動(dòng)量守恒的矢量性、同一性、同時(shí)性例4平靜的水面上有一載人的小船，船和人的總質(zhì)量為M。站立在船上的人手中拿一質(zhì)量為m的物體，起初人相對(duì)船靜止，船、人、物以共同的速度外前進(jìn)。當(dāng)人相對(duì)船以速度p向相反方向?qū)⑽矬w拋出后，求船和人的速度u（水的阻力不計(jì)）。解析：此題充分體現(xiàn)了動(dòng)量守恒定律的“三性”。然而在同學(xué)中常見的錯(cuò)解有以下三種：錯(cuò)解1：對(duì)系統(tǒng)列方程得（m+M）=Mu+m（-p）錯(cuò)誤在于列方程時(shí)沒有注意“同一性”，即方程中各動(dòng)量必須是針對(duì)同一參考系而言的。由于船速外、u都是以水面為參考系，而p是相對(duì)船的速度，必須變成相對(duì)于是同一參考系（即水面）的速度。錯(cuò)解2：對(duì)系統(tǒng)列方程得（狀+就）蜘=圾＞+幽（u+#）錯(cuò)誤在于沒有注意“同時(shí)性”，當(dāng)物體被拋出的瞬間，船速已發(fā)生變化，不再是原來的蜘，而是變成了。，即p和u是同一時(shí)刻的速度，拋出后物體對(duì)地的速度是（u-p），而不是（蜘-p）。正解：以船速方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得（m+沮）蜘二Mu+一#）mp.可求得°m+M碰撞問題歸類一、碰撞的定義相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體相遇，在極短的時(shí)間內(nèi)，通過相互作用，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過程叫做碰撞。二、碰撞的特點(diǎn)作用時(shí)間極短，相互作用的內(nèi)力極大，有些碰撞盡管外力之和不為零，但一般外力（如重力、摩擦力等）相對(duì)內(nèi)力（如沖力、碰撞力等）而言，可以忽略，故系統(tǒng)動(dòng)量還是近似守恒。在劇烈碰撞有三個(gè)忽略不計(jì)，在解題中應(yīng)用較多。碰撞過程中受到一些微小的外力的沖量不計(jì)。碰撞過程中，物體發(fā)生速度突然變化所需時(shí)間極短，這個(gè)極短時(shí)間對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的全過程可忽略不計(jì)。碰撞過程中，物體發(fā)生速度突變時(shí)，物體必有一小段位移，這個(gè)位移相對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)全過程的位移可忽略不計(jì)。典型問題及其結(jié)論：如圖示一木塊用細(xì)繩懸掛于天花板上。點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，一顆質(zhì)量為m的子彈以水平速度v°射向質(zhì)量為M的木塊，射入木塊后，留在其中，求木塊可達(dá)最大高度。（子彈和木塊均可看作質(zhì)點(diǎn)，木塊未碰天花板?？諝庾枇Σ挥?jì)。）%分析及解答：子彈進(jìn)入木塊前后動(dòng)量守恒則有：mv=(M+m)V0子彈進(jìn)入木塊后，與木塊一起繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒定律得：2(M+m)V2=(M+m)gh說明：在此題中，子彈進(jìn)入木塊前后歸為一個(gè)碰撞過程，子彈進(jìn)入的過程中，木塊的位移極小，忽略不計(jì)，所以在列機(jī)械能守恒定律方程時(shí)，其初狀態(tài)可取木塊位于最低點(diǎn)時(shí)的位置。三、碰撞的分類彈性碰撞(或稱完全彈性碰撞)如果在彈性力的作用下，只產(chǎn)生機(jī)械能的轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)內(nèi)無機(jī)械能的損失，稱為彈性碰撞(或稱完全彈性碰撞)。此類碰撞過程中，系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能同時(shí)守恒。非彈性碰撞如果是非彈性力作用，使部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為物體的內(nèi)能，機(jī)械能有了損失，稱為非彈性碰撞。此類碰撞過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能有損失，即機(jī)械能不守恒。完全非彈性碰撞如果相互作用力是完全非彈性力，則機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化量最大，即機(jī)械能的損失最大，稱為完全非彈性碰撞。碰撞物體粘合在一起，具有同一速度。此類碰撞過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒，且機(jī)械能的損失最大。典型問題及其結(jié)論：在一光滑水平面上，有A、B兩個(gè)小球發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞前后兩小球的速度分別為V、V、V'、V'，小球質(zhì)量分ABAB別為mA和mBo(1)、若兩小球發(fā)生的是完全彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能都守恒。則有：mv+mv=mv、+mv'AABBAABB2mv2^2mv2=2mv'2+2mv'2AABBAABB若設(shè)Vb=0（即碰撞前B靜止），vA=V0,解得:七=%5/①衫％V「=釧+叱②討論：由v表達(dá)式可知，匕恒大于零，即B球肯定是向前運(yùn)動(dòng)的，因B受到的沖量向前。當(dāng)mA=mB時(shí)，vA'=0，v「=V0即A、B動(dòng)量互換，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)量和動(dòng)能的全部轉(zhuǎn)移。當(dāng)mA〉mB時(shí)，Va0，即碰后A球依然向前運(yùn)動(dòng)，不過速度比原來小了。當(dāng)mA<mB時(shí)，vaV0，即碰后A球反彈，且一般情況下速度也小于v0了。當(dāng)隊(duì)>>m時(shí)，v=v，v'=2V。碰后A的速度幾乎沒變，ABA0B0仍按原來速度運(yùn)動(dòng)，B以A速度的兩倍向前運(yùn)動(dòng)。當(dāng)m<<m時(shí)，v=—v，v'=0。碰后A被按原速率彈回，ABA0BB幾乎未動(dòng)。（2）、若兩小球發(fā)生的是完全非彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒，且機(jī)械能的損失最大。則有：mv+mv=（m+m）vAABBAB111機(jī)械能損失=2mV2+>mV2—5（m+m）V2AABBAB上述結(jié)論在解題中應(yīng)用較廣，比如2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷II）理綜試卷中的第24題就是上述完全彈性碰撞的模型。附：2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷11）理綜試卷中的第24題24.（19分）用放射源針的a射線轟擊鈹時(shí)，能發(fā)射出一種穿透力極強(qiáng)的中性射線，這就是所謂鈹“輻射”。1932年，查德威克用鈹“輻射”分別照射（轟擊）氫和氨（它們可視為處于靜止?fàn)顟B(tài)）。測(cè)得照射后沿鈹“輻射”方向高速運(yùn)動(dòng)的氨核和氦核的質(zhì)量之比為7：0。查德威克假設(shè)鈹“輻射”是由一種質(zhì)量不為零的中性粒子構(gòu)成的，從而通過上述實(shí)驗(yàn)在歷史上首次發(fā)現(xiàn)了中子。假設(shè)鈹“輻射”中的中性粒子與氫或氦發(fā)生彈性正碰，試在不考慮相對(duì)論效應(yīng)的條件下計(jì)算構(gòu)成鈹“輻射”的中性粒子的質(zhì)量。（質(zhì)量用原子質(zhì)量單位u表示，血等于1個(gè)12C原子質(zhì)量的十二分之一。取氫核和氦核的質(zhì)量分別為1.0u和14u。）解：設(shè)構(gòu)成鈹“副射”的中性粒子的質(zhì)量和速度分別為m和v,氫核的質(zhì)量為mH。構(gòu)成鈹“輻射”的中性粒子與氫核發(fā)生彈性正碰，碰后兩粒子的速度分別為V和％'。由動(dòng)量守恒與能量守恒定律得TOC\o"1-5"\h\zmv=mv'+mv'①2mv2=2mv'2+2mv'2②解得v「=^+幽面③同理，對(duì)于質(zhì)量為mN的氮核，其碰后速度為2mv▼：=幽+幽站④由③④式可得二■:⑤v「=7.0vN'⑥將上式與題給數(shù)據(jù)代入⑤式得m=1.2u⑦例談動(dòng)量守恒中系統(tǒng)的選擇江西臨川第十中學(xué)周喜呂在學(xué)習(xí)動(dòng)量守恒定律之后，會(huì)接觸到多個(gè)物體參與作用的動(dòng)量守恒問題。系統(tǒng)的動(dòng)量守恒不是系統(tǒng)內(nèi)所有物體的動(dòng)量不變，而是系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體動(dòng)量的矢量和不變。對(duì)于多個(gè)物體參與作用，要善于應(yīng)用整體動(dòng)量守恒；要善于選擇合理系統(tǒng)；要善于選擇相互作用過程。一、多個(gè)物體發(fā)生作用存在較明顯的先后例1（2001年全國(guó)高考題）質(zhì)量為M的小船以速度v。行駛，船上有兩個(gè)質(zhì)量皆為m的小孩a和b，分別靜止站在船頭和船尾?，F(xiàn)小孩a沿水平方向以速率v（相對(duì)靜止水面）向前躍入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率v（相對(duì)于靜止水面）向后躍入水中。求小孩b躍出后小船的速度。分析小船勻速行駛，所受合外力為零，人與船在水平方向上發(fā)生相互作用，滿足動(dòng)量守恒定律。方法1以小孩a和船及船上的小孩b為一系統(tǒng)，設(shè)小孩a躍出后小船向前行駛的速度為七，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有w+w%=(x+幽加+g,①又以小孩b和船為一系統(tǒng)，設(shè)小孩b躍出后小船向前行駛的速度為v2，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有W+心1=柄廠次。②『2妒Vn=1+Vn由①②可解得【M尸方法2由于兩小孩躍出時(shí)對(duì)水面有相同速率，故依次躍出和同時(shí)躍出產(chǎn)生的效果相同，即可相當(dāng)a、b同時(shí)與船發(fā)生相互作用，設(shè)小孩a、b躍出后小船向前行駛的速度為七，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有(M+2^)v0=Mv2+mv—mvf2m、''Vn=1+Vn解得"【紈尸顯然，用整體動(dòng)量守恒得出結(jié)論和選擇分過程為系統(tǒng)得出的結(jié)論相同，但用整體動(dòng)量守恒無須求出a小孩躍出后小船的速度，直接應(yīng)用幾個(gè)物體整體動(dòng)量守恒，不僅使解題方便簡(jiǎn)潔，還能加深對(duì)動(dòng)量守恒定律的認(rèn)識(shí)和理解。變題若本題中，小孩a是以相對(duì)船沿水平方向的速度v向前躍入水中，然后小孩b沿水平方向以相對(duì)船的速度v向后躍入水中，則船的速度又是多少？解析以小孩a和船及船上的小孩b為一系統(tǒng)，設(shè)小孩a躍出后小船向前運(yùn)動(dòng)的速度為七，由動(dòng)量守恒定律，有0+&加=（沮+幽加+*+%），①以小孩b與小船為一系統(tǒng)，設(shè)小孩b躍出后小船向前運(yùn)動(dòng)的速度為v2，由動(dòng)量守恒定律有0+幽加=峋-*-的）。②由①②得1+竺M小孩a、b在前后躍入水中的情景不相同，前者問題中小孩么b都是以相對(duì)靜止的水面的速度躍入水中，后者問題中小孩a、b分別以相對(duì)船的速度v躍入水中，導(dǎo)致小船前后速度不相同。因此，發(fā)生相互作用的多個(gè)物體，先后作用產(chǎn)生的效果相同，可以應(yīng)用整體動(dòng)量守恒；先后產(chǎn)生的效果不相同，則不能應(yīng)用整體動(dòng)量守恒，而應(yīng)多考慮分系統(tǒng)，分過程動(dòng)量守恒。二、多個(gè)物體相互作用，沒有明顯的先后或同時(shí)進(jìn)行例2兩只小船平行逆向航行，船和船上的麻袋總質(zhì)量分別為m甲=500kg，m乙=1000kg，當(dāng)它們頭尾相齊時(shí)，由每只船上各投質(zhì)量m=50kg的麻袋到另一船上去，結(jié)果甲船停下來，乙船以v=8.5m/s的速度沿原方向繼續(xù)航行，求交換麻袋前兩只船的速率各為多少？（水阻力不計(jì)）分析投擲麻袋時(shí)，由于船與麻袋在前進(jìn)方向上均未受到外力作用，故由動(dòng)量守恒定律知道，在麻袋未落到對(duì)面船上以前，甲、乙二船及空中麻袋在各自前進(jìn)方向上的速度未發(fā)生變化，麻袋在未交換前與船同速度。以甲船上投出的麻袋和拋出麻袋后的乙船為系統(tǒng)，則該系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，選乙船前進(jìn)方向?yàn)檎较?，?mv甲=m^v。①以從乙船上拋出的麻袋和拋出麻袋后的甲船為系統(tǒng)，則該系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，有幽”己一（m甲一幽為甲=0。②代入數(shù)據(jù)，由①②聯(lián)立解得V甲=Im/s，吃=9m/s。此題亦可選擇四個(gè)物體為一系統(tǒng)，則有斡甲，此式跟以上①②兩式中的任一個(gè)聯(lián)立也可以求解。此問題中牽扯的物體比較多，但前進(jìn)方向上整體系統(tǒng)不受任何外力，再者麻袋與船兩兩構(gòu)成的系統(tǒng)前進(jìn)方向上亦不受外力。正確選擇研究系統(tǒng)為解決此類問題的關(guān)鍵，選得恰當(dāng)解題比較簡(jiǎn)單，選擇不恰當(dāng)會(huì)給計(jì)算帶來許多麻煩。例3A車的質(zhì)量m1=20kg,車上的人質(zhì)量m=50kg,A車(連同車上的人)從足夠長(zhǎng)的斜坡上高h(yuǎn)=0.45m處由靜止滑下，到水平面上后繼續(xù)向前滑動(dòng)，此時(shí)質(zhì)量m2=50kg的B車正以v0=1.8m/s的速度沿光滑水平面向A車滑來。為了避免兩車相撞，在兩車相距適當(dāng)距離時(shí)，A車上的人跳到B車上。為使兩車不會(huì)發(fā)生相撞，人跳離A車時(shí)，相對(duì)于地面的水平速度應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？不計(jì)斜坡的摩擦。(g取10m/s2)分析在人跳離A車和人跳上B車的過程中合外力為零，各自動(dòng)量守恒。由于人跳離A車后，A車可能繼續(xù)前進(jìn)，也可能沿原方向相反方向沖上斜坡再滑下，因而有兩種情況。以人和A車為一系統(tǒng)，設(shè)人以相對(duì)于地面速度討跳離A車后，A車以速度七向右運(yùn)動(dòng)，此過程動(dòng)量守恒，有(mi+mg=mz+幽^，①再以人和B車為一系統(tǒng)，設(shè)共同速度為七，由動(dòng)量守恒定律，有幽^'_幽費(fèi)口=o+幽J玲，②不相碰的條件是%5③其中V是指A和人從斜坡滑到水平面上運(yùn)動(dòng)的速度，由機(jī)械能守恒定律求得v=J2酗=2mis。代入數(shù)據(jù)，聯(lián)解①②③得寸圭膈M。（2）設(shè)人以相對(duì)于地面的速度v〃跳離A車后，A車以速度&向左運(yùn)動(dòng)，以人和A車為一系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有W-^v/，④然后以人和B車為一系統(tǒng)，設(shè)人跳上B車后共同速度為v2,根據(jù)動(dòng)量守恒定律有歐伊—幽“％=（幽+酬Jd”⑤A、B兩車不相碰條件的蘭倡⑥代人數(shù)據(jù)，聯(lián)解求得v"<4.8^/so綜合后可得A，B兩車不發(fā)生碰撞，人跳離A車時(shí)相對(duì)地面的速度應(yīng)是v>3.8rn/so

在本題中，如果選A、B車和人三者為一系統(tǒng)，由整體動(dòng)量守恒有（m】+m為-mg=mM]+O+幽，而沒有考慮單個(gè)過程動(dòng)量守恒，必定給解題者帶來迷惑，覺得再難以找到切入點(diǎn)。若選擇兩個(gè)分系統(tǒng)，分過程，解題思路較清晰，很快就可以求出結(jié)果。綜上可知，對(duì)于第一種類型的習(xí)題，若多個(gè)物體先后相互作用產(chǎn)生的效果相同，則首選整體為一系統(tǒng)；若先后作用產(chǎn)生效果不相同，則慎用整體動(dòng)量守恒，而應(yīng)考慮選擇合理的分系統(tǒng)，分過程，較為妥當(dāng)。對(duì)于第二種類型的習(xí)題，一般情況下選擇合理的分系統(tǒng)，分過程進(jìn)行分析，有時(shí)也可將選擇的分系統(tǒng)，分過程動(dòng)量守恒與整體動(dòng)量守恒相結(jié)合。完全彈性碰撞妙趣橫生、耐人尋味，是很特殊的一類碰撞。本文擬從七個(gè)方面入手，通過一些經(jīng)典的實(shí)例和身邊的現(xiàn)象，仔細(xì)“品味”完全彈性碰撞，以期激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣。如果主碰球的質(zhì)量為嗎，被碰球的質(zhì)量為嗎，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒：秫］V］+秫沔=幽］巧+幽g'1—211皿+-^2v2=-^+-^2v2解得解得一、兩和相等結(jié)論推導(dǎo)：方+神=方+刃。【這個(gè)結(jié)論再?zèng)]有其它任何條件，適用范圍最廣?！康湫褪纠嘿|(zhì)量為沮=3輪速度為)=用的小球，與質(zhì)量為*1蝕速度為％=8s的小球發(fā)生正碰，以下各組答案表示完全彈性碰撞的一組是：(A)A."=—1酬仆，柘=弘岳"=1知s，誠(chéng)=-5幽傍"=2知8，v(2=-5m!s解析：只要套用結(jié)論方+"=方+移，便很容易地得到A答案。點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)鮮為人知卻很有用的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單地判斷和區(qū)別碰撞類型。二、偷梁換柱結(jié)論推導(dǎo)：若歐1=峰，則"=為，柘=氣。(交換速度)BvAn■—nTTTTTTTtTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT?副(2)典型示例:如圖1所示，在光滑的水平面上有一輛長(zhǎng)為￡=i.m的小車A，在A上有一木塊B(大小不計(jì))，A與B的質(zhì)量相等，B與A的動(dòng)摩擦因數(shù)為以=。。5。開始時(shí)A是靜止的，8位于A的正中以初速度"g/s向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)B與A的前后兩壁碰撞是完全彈性的，求B與A的前后兩個(gè)墻壁最多能相碰多少次？解析：先是B在摩擦力的作用下減速，A在摩擦力的作用下加速。地面是光滑的，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，B與A的前壁發(fā)生完全彈性碰撞，且質(zhì)量相等，因此A與B交換速度。此后，B將加速，A將減速，B又與A的后壁發(fā)生完全彈性碰撞交換速度。就這樣不停地減速，間斷地交換，最終達(dá)到相等的速度，相對(duì)運(yùn)動(dòng)宣告結(jié)束。g=2%%，解得%=。再根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理"奶亭飛必計(jì)七加，解得s=12我。在滑動(dòng)摩擦力中，s是相對(duì)路程，所以最多能相碰12+1=13次。*圖2（3）現(xiàn)象鏈接：如圖2所示，質(zhì)量相等的兩個(gè)剛性小球，擺角不相等，同時(shí)由靜止自由釋放，各自將會(huì)在自己的半面振動(dòng)，但是角度不停地周期性變化，對(duì)于左面的小球角度的變化是：目*_目*...，右面的小球角度的變化是?.ucd,°妙趣橫生。三、前赴后繼（1）結(jié)論推導(dǎo)：若刑1=峰，且為=。，則"=。，^；=乃。（傳遞速度）（2）一題多變：在圖1中，如果B與A之間光滑，B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為氏=00,，其它條件不變，求B與A的前后兩個(gè)墻壁最多能相碰多少次？解析：先是B在A上無摩擦的滑動(dòng)，與A的前壁發(fā)生短暫的完全彈性碰撞，可以看作動(dòng)量守恒，由TA與B質(zhì)量相等，所以它們傳遞速度，B便停下來，A在此速度的基礎(chǔ)上開始減速，接著B與A的后壁又發(fā)生完全彈性碰撞傳遞速度，B又勻速運(yùn)動(dòng)，A又停止。就這樣二者交換，走走停停，最終系統(tǒng)都停下來。根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理：解得a?知。則B與A的前后兩個(gè)墻壁最多能相碰12x2+1=25次。點(diǎn)評(píng)：雖然情景相似，但略作變化，結(jié)果就大相徑庭。（3）現(xiàn)象鏈接：①（英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的一個(gè)很著名的實(shí)驗(yàn)）它是在天花板上懸掛好多相等擺長(zhǎng)的雙線擺，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)小球擺下以后，這個(gè)速度一直就會(huì)傳遞到最后一個(gè)小球，最后一個(gè)小球也就擺到原來的高度，這樣一百往復(fù)運(yùn)動(dòng)下去，中間的雙線擺不運(yùn)動(dòng)，起到傳遞速度的作用。如圖3所示。圖3②（臺(tái)球）這在臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中是經(jīng)常見到的現(xiàn)象。（4）經(jīng)典回顧：（93年全國(guó)高考題）如圖4所示，A、B是位于水平桌面上的兩個(gè)質(zhì)量相等的小木塊，離墻壁的距離分別為和￡，，與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為單和處，今給A以某一初速度，使之從桌面的右端向左運(yùn)動(dòng)，假定A、B之間，B與墻壁之間的碰撞時(shí)間極短，且碰撞中總動(dòng)能無損失，若要使木塊A最后不從桌面上掉下來，則A的初速度最大不能超過多少？解析：物理情景是這樣的，三次碰撞均為完全彈性碰撞：A碰B（前赴后繼），B碰墻（蚍蜉撼樹），B碰入。三段減速運(yùn)動(dòng)：A至B，B往返至A，A減速恰至桌面邊緣。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理，一25心）一2心=0_*，解得，%=』4&^（氐—亳）+缶匚1。點(diǎn)評(píng)：本題也可以分段列式解答，-缶響妁-上）=*；-9簫，-叩薩叭=5；-!咐；，-wg皿）=。-撲；。四、勇往直前（1）結(jié)論推導(dǎo)：若折I）峰，且為=0，則">。，M>0，W是。（2）典型示例：（驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律的實(shí)驗(yàn)）為了避免入射小球被反向彈回，入射小球的質(zhì)量必須大于被碰小球的質(zhì)量，原因就在于此。如圖5所示?，F(xiàn)象鏈接：一個(gè)大人跑步時(shí)一不小心碰到一個(gè)小孩的身上，小孩很容易被碰倒，就是這個(gè)道理。|A|/www^B|TTTTTTTTjTrTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT?圖6習(xí)題精練:如圖6所示，在光滑水平面上靜止著質(zhì)量為峰=1蝕的物體B，B的一端固連著一根輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為嗎=3蝕的物體a，以的速度沖向B并與之發(fā)生正碰，求當(dāng)彈簧重新回復(fù)原長(zhǎng)時(shí)兩物體的速度各為幾何？解析：彈簧被壓縮到回復(fù)原長(zhǎng)的過程，是彈性勢(shì)能儲(chǔ)存并完全釋放的過程，動(dòng)能守恒，發(fā)生了完全彈性碰撞，梆『峰，折i“勇往直前”，把數(shù)據(jù)代入篇首的結(jié)論，解得："二啊一峰、=2.5如占幽1+幽wv；=—箜^—v1=7.5m!s%+點(diǎn)評(píng)：這個(gè)答案可以用第一點(diǎn)“兩和相等”的結(jié)論驗(yàn)證，(5+s=(0+7.5)幽/呂。五、我行我素（1）結(jié)論推導(dǎo)：若，且的=°,則"+],柘可如]。（2）典型示例：（◎粒子散射實(shí)驗(yàn)）在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，首先得排除◎粒子大角度散射不是電子造成的，課本上為了說明這一點(diǎn)，用了這樣一個(gè)比喻：◎粒子遇到電子就像高速飛行著的子彈遇到一粒塵埃一樣。這個(gè)現(xiàn)象可以用以上結(jié)論很好的解釋了。（3）現(xiàn)象鏈接：鉛球碰撞乒乓球就是這種現(xiàn)象。（4）習(xí)題精練：見第七點(diǎn)“蚍蜉撼樹”。六、反向彈回（1）結(jié)論推導(dǎo)：若說叫，且的=0，則"5，柘"。（2）典型示例：有光滑圓弧軌道的小車質(zhì)量為財(cái)=餛，靜止在光滑水平地面上，圓弧下端水平，有一質(zhì)量為幽=1餛的小球以水平初速度v=4.0^/s滾上小車，如圖7所示。求小球又滾下和小車分離時(shí)二者的速度？解析：由于滿足動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，所以小球在光滑圓弧上的運(yùn)動(dòng)，可以看作是完全彈性碰撞，由于*取，所以小球的分離可以看作是反向彈回。把數(shù)據(jù)代入篇首的結(jié)論，則的=（：m-M\=_2m/Sm+M小球的速度：，小車的速度.?號(hào)和fg。（3）現(xiàn)象鏈接：（籃球運(yùn)動(dòng)）在籃下，質(zhì)量小的運(yùn)動(dòng)員經(jīng)常被碰回，這是司空見慣的。段8（4）習(xí)題精練：如圖8所示，半徑為&的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球A、B質(zhì)量分別為歐、徹（月為待定系數(shù)），A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道開始下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相碰，碰撞后A、B能達(dá)到的最大高度均為狀，碰撞中無機(jī)械能損失，重力加速度為g。試求：（1）待定系數(shù)月；（2）第一次碰撞剛剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度。解析：（1）由于圓環(huán)內(nèi)側(cè)光滑，又碰撞是完全彈性碰撞，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，心=噂+徹代，得心。（2）小球A滾下，在最低點(diǎn)的動(dòng)能是:：牌=次七解得%=際；接著與B球發(fā)生完全彈性碰撞，被反向彈回，把數(shù)據(jù)代入篇首的結(jié)論，則第一次碰撞剛剛結(jié)束時(shí)小球A的速度為：；（m-3m）1tgR巧=云""七，疽_Mv_lv_怦小球B的速度為：為折+贏”/*2。點(diǎn)評(píng)：①本題也可以倒過來計(jì)算，碰撞之后A、B分別向兩側(cè)滑上圓環(huán)，機(jī)械能守恒A：落站=幽日＞（!衣.b：x3狀站=3幽gxj五②在反向彈回的情況下，如果幽1：嶼=1：3，碰撞之后二者速率相等。七、蚍蜉撼樹（1）結(jié)論推導(dǎo)：若%，且為=°，則"四-乃，M四°。（2）典型示例：（乒乓球碰撞墻壁）乒乓球碰倒墻壁以后被反向彈回，它的動(dòng)量發(fā)生了二倍的改變，即皈二次-（-次）=2咐。如圖9所示。（3）現(xiàn)象鏈接：（氣體分子碰撞器壁）氣體分子頻繁地碰撞器壁，給器壁產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的恒定的壓力。而每個(gè)分子都被反向彈回。（4）習(xí)題精練：網(wǎng)球拍以速率改擊中以速率處飛來的網(wǎng)球，被擊回的網(wǎng)球的最大速率是多少？（以上所有的速率都是指相對(duì)于地面的速率）解析：最大速率是發(fā)生在一條直線上的完全彈性碰撞，設(shè)球拍質(zhì)量為財(cái)，網(wǎng)球質(zhì)量為歐，滿足m?Mo解法一：若球拍靜止，根據(jù)以上第七點(diǎn)“蚍蜉撼樹”的結(jié)論，網(wǎng)球被反向彈回，速率處不變。若網(wǎng)球靜止，根據(jù)以上第五點(diǎn)“我行我素”的結(jié)論，網(wǎng)球?qū)⒁詾椤康乃俾曙w出。綜合以上兩點(diǎn)，被擊回的網(wǎng)球的最大速率為：八如。解法二：若以球拍為參照系，則網(wǎng)球相對(duì)于球拍的速率為處+山，碰撞后以相對(duì)速率處+山反向彈回。再以地面為參照系，球拍相對(duì)于地面的速率為^，與網(wǎng)球相對(duì)于球拍離去速度處+山同向，所以網(wǎng)球?qū)Φ氐乃俣仁牵?乃+0"升）=改+為1。解法三：球拍擊球前后速度幾乎不變，即保持乃不變，根據(jù)第一點(diǎn)“兩和相等”得，=f+七因此"乳+為］?？傊?，從方方面面“品味”完全彈性碰撞，對(duì)掌握其它類型的碰撞是大有裨益的。打破常規(guī)巧解連續(xù)拋接問題江蘇靖江季市中學(xué)范曉波連續(xù)拋接問題是相互作用問題中的最復(fù)雜的一種，其常規(guī)處理方法是：對(duì)前幾次拋接過程利用動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒定律進(jìn)行逐次討論，再借助數(shù)學(xué)歸納法從前面的討論結(jié)果中找到物體速度變化的規(guī)律。事實(shí)上，由于連續(xù)拋接問題涉及的物體一般在兩個(gè)以上，過程也比較復(fù)雜，因此用常規(guī)方法處理往往過程繁瑣，規(guī)律的歸納也有一定的難度。這時(shí)，如果能換個(gè)角度重新審視，往往會(huì)讓處理的難度大大降低。下面就對(duì)連續(xù)拋接問題的非常規(guī)解法進(jìn)行分類說明。一、被拋接物對(duì)地速度一定若被拋接物對(duì)地速度一定，那么每次拋接過程中系統(tǒng)動(dòng)量的變化量必為一定值，利用系統(tǒng)初動(dòng)量、末動(dòng)量和動(dòng)量變化量之間的關(guān)系列式處理，求解過程會(huì)變得非常簡(jiǎn)潔。例：如圖所示，光滑的水平面上停著一只木球和載人小車，木球質(zhì)量為地，人和車的總質(zhì)量為財(cái)，已知沮:幽=16:1，人以速率胃沿水平面將木球推向正前方的固定墻壁，木球被墻壁彈回之后，人接住球再以同樣的對(duì)地速度將球推向墻壁。設(shè)木球與墻壁相碰時(shí)無動(dòng)能損失，求：人經(jīng)過幾次推木球之后，再也不能接住木球？分析：如圖，將人推出木球前后的狀態(tài)進(jìn)行對(duì)比。推出瞬間與接到前瞬間相比較，人（車）的速度沒有變化，動(dòng)量也沒有變化；但木球的速度反向，木球的動(dòng)量變化了E且每次拋接過程均如此。解：選取水平向右為止方向以人（車）和木球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，每次推接過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量增加2幽*設(shè)人第珂次推出球后速度為*，則第理次接到球前系統(tǒng)的動(dòng)量為Mvn+mv=0+^2mv（即：系統(tǒng)末動(dòng)量二系統(tǒng)初動(dòng)量+動(dòng)量的變化量）_-Y）mv解得：■疽財(cái)要使人接不到球，應(yīng)該滿足…即M解得:心5，實(shí)際推出次數(shù)只能為整數(shù)，所以應(yīng)取2,即人經(jīng)過9次推木球之后，再也不能接住木球。說明：實(shí)際處理相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)盡可能先畫出拋接示意圖，再對(duì)照示意圖和拋接的次數(shù)，利用系統(tǒng)初動(dòng)量、研究過程中動(dòng)量的變化量找到系統(tǒng)末動(dòng)量，后續(xù)的問題就能迎刃而解。此外，當(dāng)涉及的運(yùn)動(dòng)物體在三個(gè)以上時(shí)，還要能根據(jù)問題的需要合理的選擇研究系統(tǒng)。例：如圖，水平冰面上有甲、乙兩個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員，他們的質(zhì)量分別為嗎=4快g、峰=50餛，甲、乙相向靜止在冰面上，甲手持質(zhì)量m=2kg的小球，迎面拋給乙，拋出時(shí)水平速率為，乙接住球后又以同樣的水平速率反拋給甲，如此反復(fù)，甲、乙速率不斷增加，則當(dāng)甲拋出多少次后接不到乙拋出的球？此時(shí)乙的速率又是多少？分析：拋開乙運(yùn)動(dòng)的干擾，本題的第一問實(shí)質(zhì)與上一例相同。解：選水平向左為止方向，設(shè)甲拋出計(jì)次球后接不到已拋出的球，此時(shí)甲的速度為*對(duì)甲和球組成的系統(tǒng)，每拋接一次動(dòng)量增加E由上圖可知在第蘇次接球前：酬+mv=0+?x2mv（2w-Y）mv則嶺幽1vT二二二“=;球后二的"*第5對(duì)甲、乙、球三者組成