初中數(shù)學(xué)-巧添輔助線-解證幾何題

巧添輔助線解證幾何題［引出問(wèn)題］在幾何證明或計(jì)算問(wèn)題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：一是通過(guò)添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過(guò)添加輔助線，使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的舊問(wèn)題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說(shuō)明。［例題解析］一、倍角問(wèn)題例1:如圖1,在△ABC中，AB=AC,BDLAC于D。1,__求證：/DBCj/BAC.2分析：/DBC/BAC所在的兩個(gè)三角形有公共角/C,可利用三角形內(nèi)角和來(lái)溝通/DBC/BAC和/C的關(guān)系。證法一：???在△ABC中，AB=AC??/ABCWC=1(180-/BAC=90-1/BAC22BD±AC于D.BDC=90/DBC=90-/C=90-(90-1/BAC)=1/BAC22即/DBC=1/BAC2DBC=?/BAC中含有角?/A放在直角三角形中求分析二：/DBC/DBC=?/BAC中含有角?/A放在直角三角形中求解；也可以把/DBC沿BD翻折構(gòu)造2/DBCt解。證法二：如圖2,作A已BC于E,貝U/EAC叱C=90??AB=AC/EAG=1/BAC2??BDLAC于D??/DBC吆C=90??/EAC1DBC(同角的余角相等)1即/DBC，/BAC2證法三：如圖3,在AD上取一點(diǎn)E,使DE=CD連接BEBD±AC?.BD是線段CE的垂直平分線.?.BC=BE.BEChC/EBC=2/DBC=180-2/C.AB=AC./ABC=ZC./BAC=180-2ZC??/EBC玄BAC/DBC=1/BAC2說(shuō)明：例1也可以取BC中點(diǎn)為E,連接DE,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不妨試一試。例2、如圖4,在^ABC中，/A=2/B求證：bC=aC+ac?ab

分析：由BC2=AC2+AC?AB=AC（AC+AB,啟發(fā)我們構(gòu)建兩個(gè)相似的三角形，且含有邊BGAGAC+AB.又由已知/A=2/B知,構(gòu)建以AB為腰的等腰三角形。證明：延長(zhǎng)CA到D,使AD=AB則/D=ZDBA??/BAC是△ABD的一個(gè)外角/BAC=ZDBA吆D=2/D??/BAC=2/ABC/D=ZABCAC??.△AB8△BDC--BCBC2=AC?CDAD=ABBCCDBC2=AC中點(diǎn)問(wèn)題(AC+AB=AC+AC?AB例3.已知：如圖，△長(zhǎng)線上取一點(diǎn)證：BD=CEABC中，AB=AC在AB上取一點(diǎn)D,在E,連接DE交BC于點(diǎn)F,AC??.△AB8△BDC--BCBC2=AC?CDAD=ABBCCDBC2=AC中點(diǎn)問(wèn)題(AC+AB=AC+AC?AB例3.已知：如圖，△長(zhǎng)線上取一點(diǎn)證：BD=CEABC中，AB=AC在AB上取一點(diǎn)D,在E,連接DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE的中AC的延點(diǎn)。求分析：由于BDCE的形成與DE兩點(diǎn)有關(guān)，但它們所在的三角形之間因?yàn)椴皇峭惾切危躁P(guān)系不明顯，由于條件F是DE的中點(diǎn)，如何利用這個(gè)中點(diǎn)條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問(wèn)題的關(guān)鍵。由已知AB=AC聯(lián)系到當(dāng)過(guò)D點(diǎn)或E點(diǎn)作平行線，就可以形成新的圖形關(guān)系一一構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE移動(dòng)一下位置，從而使問(wèn)題得解。證明：證法一：過(guò)點(diǎn)D作DG/AC,交BC于點(diǎn)G（如上圖）/DGB=ACB,/DGF=FCE?.AB=AC/B=ZDGB.F是DE的中點(diǎn)

在△DFG和^DEFC中,?.△DFG2EFC.B=/ACBBD=DGDF=EF.?.DG=CEBD=CE證法二：如圖，在AC上取一點(diǎn)H,使CH=CE連接DH??.F是DE的中點(diǎn)??.CF>AEDH的中位線DH//BC???/ADHWB,/AHD=BCA???AB=AC?./ADHWAHD/B=/BCAAD=AHAB-AD=AC-AHBD=HCBD=CE說(shuō)明：本題信息特征是“線段中點(diǎn)”AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G仿照證法二求解。例4.如圖，已知AB//CDAE平分/。也可以過(guò)E作EM//BC,交BAD且E是BC的中點(diǎn)求證：AD=AB+CD證法一：延長(zhǎng)AE交DC延長(zhǎng)線于FAC???AB//CD.1?/BAE之F,/???AB//CD.1?/BAE之F,/B=ZECFE是BC的中點(diǎn)BE=CE在AABE^ACEF^?.△ABE^ACEFAB=CF??AE平分/ABD?./BAE=ZDAE??/DAE玄FAD=DF??DF=DC+CFCF=ABAD=AB+DC證法二：取AD中點(diǎn)F,連接EF.「AB//CD,E是BC的中點(diǎn)EF是梯形ABCM中位線.EF//AB,EF=1(AB+CD2/BAE=ZAEF??AE平分/BAD?./BAE=ZFAE/AEF=ZFAEAF=EF??AF=DF1EF=AF=FD=AD2??1(AB+CD)=IaD22AD=AB+CD三.角平分線問(wèn)題例5.如圖（1）,OP是/MON勺平分線，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。如圖（2）,在△ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分別是/BAC/BCA的平分線，ADCE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出EF與FD之間的數(shù)量關(guān)系。如圖（3）,在△ABC中，如果/AC環(huán)是直角，而（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析:T斑型。這類題型的特點(diǎn)是描述一種方法，要求學(xué)生按照指定方法是dKjDef-fd/\\理應(yīng)、如圖（3）,DAC上截取AG=AE連FG(2%；答：理應(yīng)、如圖（3）,DAC上截取AG=AE連FG△AI<EF=GF,/EFA=/由/B=60(,1A0CE分別電/BACBCA的平分線可得/FAG匕FCA=60(3

/EFA=ZGFA=/DFC=60/GFC=60在ACEG^△CFD中..△CFeACFDFG=FD又因?yàn)镋F=GFEF=FD說(shuō)明：學(xué)習(xí)性問(wèn)題是新課程下的新型題，意在考查學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。拋開(kāi)本題要求從角平分線的角度想，本題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”達(dá)到求解的目的。PD±AB于D,PE±ACTE,CM1AB于M,試探究線段PR解法二：（2）PD±AB于D,PE±ACTE,CM1AB于M,試探究線段PR理由：作FG±AB于G,FH，AC于H,FMLBC于M??/EADhDACFG=FH?/ACE4BCEFH=FG??/B=60°/DAC吆ACE=60?/EFD"FC=180-60°=120°在四邊形BEFD中/BEF吆BDF=180??/BDF+7FDC=180「./FDC=/BEF在△EFG^ADFM中EF?△DFM.?.EF=DF四、線段的和差問(wèn)題例6如圖，在^ABC中，AB=AC點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),PE、CM勺數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長(zhǎng)線段的大小關(guān)系，通過(guò)測(cè)量猜想PD+PE=CM.分析：在CM上截取MQ=PD得口PQMDff證明CQ=PE答：PD+PE=CM證法一：在CM±截取MQ=PD連接PQ.??CMLAB于M,PDXABTD??/CMBWPDB=90CM/DP???四邊形PQM時(shí)平行四邊形PQ/AB??/CQPhCMB=90/QPChB???AB=AC/B=ZECP/QPChECP.PEIAC于E/PEC=90DNCM,在△PQC^△PEC中DNCM,?.△PQC^APECQC=PE???MQ=PD.-.MQ+QC=PD+PEPD+PE=CM分析2:延長(zhǎng)DF到N使DN=CMS接CN,得平行四邊形再證明PN=PE證法2:延長(zhǎng)DF到N,使DN=CM連接CN

同證法一得平行四邊形DNCM及△PN登△PECPN=PEPD+PE=CM分析3:本題中含有AB=ACM三條垂線段PDDE、CM且q+q_q,所以可以用面積法求解。SpAB°_PAC_SLABC證法三：連接AP,PD±AB于D,PE±AC于E,CM±AB于M/PQCWPEC/QPChECPPC=PCSABPSACPSSABPSACPSABCAB?PD2-AC*PE1八AB*CM???AB=AC且.PABS_PAC=SABC11_AB?PDAB,PEAB*CM22AAB:0PDPE=CM說(shuō)明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。五、垂線段問(wèn)題例7在平行四邊形ABC邛，P是對(duì)角線BD???AB=AC且.PABS_PAC=SABC11_AB?PDAB,PEAB*CM22AAB:0PDPE=CM說(shuō)明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。五、垂線段問(wèn)題例7在平行四邊形ABC邛，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PE_1ABpF_LBC垂足分別是曰F求證：ABPFBCPE分析：將比例式ABBCPEEBPF轉(zhuǎn)化為等積式即^PAB與△PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目A。證明：連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接PA、在平行四邊形ABCD43,AO=COPC同理，SaOP二SAOBSCOPSAOPSBOCSPABS_PBCPE_AB,PF_BC,例8求證：三角形三條邊上的中線相交于一點(diǎn)。分析：這是一個(gè)文字?jǐn)⑹龅拿}。要證明文字命題,出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證。需要根據(jù)CFT已知：△ABC中，AF、BQCE是其中線。

需要根據(jù)CFT求證：AF、BDCG相交于一點(diǎn)。分析：要證三線交于一點(diǎn)，只要證明第三條線經(jīng)過(guò)另兩條線的交點(diǎn)即可。證明：設(shè)BDCE相交于點(diǎn)G連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F.作BIVLAF于M,CNLAF于N-11〃則Ss=2ag?bm'S」agc=2AG必-AG*BMAG*CN22BM=CN在△BM林口△CNF中?.△BMF^ACNFBF=CF「.AF是BC邊上的中線又「AF時(shí)BC邊上的中線?.AF與AF重合即AF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D??.AF、BDCE三線相交于點(diǎn)G因此三角形三邊上的中線相交于一點(diǎn)o六、梯形問(wèn)題例9.以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長(zhǎng)d的取值范圍是—分析：如圖，梯形ABCD43,上底b=13,下底a=16,腰AD=c=10,過(guò)B作BE//AD,得到平行四邊形ABEDTOC\o"1-5"\h\z從而得AD=BE=10,AB=DE=13AB所以EC=DC-DE=16-13=3.——-所以另一腰d的取值范圍是//\10-3<d<10+3//\答案：7vdv13...例10.如圖，已知梯形ABCD43,AB//DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形AbCd勺面積0-、分析：已知條件中給出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，但對(duì)角線位及錯(cuò)，條件一時(shí)用不用。另外，求梯停面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長(zhǎng)，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過(guò)A作AF//BD,交CD延長(zhǎng)線于FAAB//FC二四形ABDF是平行四形FD=AB,AF=BD=15FC=ABDC*I。tAE-FCAEF=AEC=90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15解法二：如圖，過(guò)B作BF±DC于F/BFC=90AE±DC于EF在直角三角形ABC中

F在直角三角形BDF中，BF=12,BD=15DF=VBD2-BF2=9ABDC=DFCE=916=25SB形ABCDSB形ABCD1-=：(ABDC)?AE1-2512=1502例11.如圖，在梯形ABCD43,AD//BC,/B+/C=90°,M、N分別是ARBC的中點(diǎn),試說(shuō)明：1MN=-（BC-AD）例11.如圖，在梯形ABCD43,AD//BC,/B+/C=90°,M、N分別是ARBC的中點(diǎn),試說(shuō)明：1MN=-（BC-AD）分析1:/B+/C=90°,考慮延長(zhǎng)兩腰，使它們相交于一點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形。解法1:延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)G,連接GMGNB.A、G共線，GMN共線分析2:考慮MN分別為ADBC中點(diǎn)，可以過(guò)M分別作ARDC的平行線，梯形ABCg部構(gòu)成直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。解法2:作MEE/AB交BC于E,作MF//DC交BC于F?.AD//BC二.四邊形ABEMDCFMfB是平行四邊形.?.BE=AM,FC=DM??./EMF=90,X/EN=FN［模式歸納］通過(guò)上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線能使解題思路暢通，解答過(guò)程簡(jiǎn)捷。但輔助線的添加靈活多變，好像比較難以把握。其實(shí)添什么樣的輔助線？怎么添輔助線？與已知條件的特征和所求問(wèn)題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方法。、倍角問(wèn)題—、，、1研究/“=2/3或=1/”問(wèn)題通稱為倍角問(wèn)題。倍角問(wèn)題分兩種情形：21/“與/3在兩個(gè)三角形中，常作/a的平分線，得/1=，/a,然后證明/1=73；或把/3翻折,2得/2=2/3,然后證明/2=za（如圖一）/a與/3在同一個(gè)三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問(wèn)題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加輔助線（如圖二）二中點(diǎn)問(wèn)丹//i/已知條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題常用三種方法添加輔助線（1）/延長(zhǎng)卜線至倍（或者倍長(zhǎng)小線）如圖一。若圖形中沒(méi)有明顯的三夕心的中線［也可以構(gòu)造中線/后,』倍長(zhǎng)中線，如圖二。:不位線，如境^e3rl構(gòu)造J角三角”m壬所線，如甲四。a圖一2圖二圖三圖四三、角5問(wèn)題已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問(wèn)題。常用的輔助線有兩種:

已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問(wèn)題。常用的輔助線有兩種:.以角平分線所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。.由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖一圖二圖三四、線段的和差問(wèn)題已知條件或所求問(wèn)題中含有a+b=c或a=c-b,稱為線段的和差問(wèn)題，常用的輔助線有兩種：.短延長(zhǎng)：若AB=a,則延長(zhǎng)AB到M,使BM=b然后證明AM=c.長(zhǎng)截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a，然后證明MB=b五、垂線段問(wèn)題已知條件或所求問(wèn)題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時(shí)，而所研究的問(wèn)題關(guān)系又不明顯時(shí)，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有：.同（等）底的兩個(gè)三角形的面積與其高的關(guān)系；.同（等）高的兩個(gè)三角形的面積與其底的關(guān)系。六、梯形問(wèn)題梯形可以看作是一個(gè)組合圖形，組成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形、矩形等問(wèn)題求解，其基本思想為：轉(zhuǎn)化梯形問(wèn)題?三角形或者平行四邊形問(wèn)題在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時(shí)常用的娜麻接平移一腰。即從梯形一,頂點(diǎn)作另一個(gè)腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（如圖一）。研究有關(guān)腰的問(wèn)題時(shí)常用平移一腰。過(guò)頂點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形（如圖二）。研究有關(guān)底或高的問(wèn)題時(shí)常過(guò)頂點(diǎn)作高。平移一條對(duì)角線。即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形（如圖三）。研究有關(guān)對(duì)角線問(wèn)題時(shí)常用平移對(duì)角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對(duì)角線及兩底的和集中在一個(gè)三角形內(nèi)，使梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。此三角形的面積等于梯形的面積。延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似的三角形問(wèn)題（圖四）；過(guò)底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)已知中有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平