導(dǎo)熱微分方程推導(dǎo)

關(guān)于導(dǎo)熱微分方程推導(dǎo)第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日第二章導(dǎo)熱的基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§2-1導(dǎo)熱的基本概念和定律§2-2導(dǎo)熱微分方程§2-3一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§2-4通過肋片的導(dǎo)熱分析第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日溫度場(chǎng)t=f(x,y,z,τ)等溫面與等溫線tt-Δtt+Δt等溫線疏密程度的物理意義溫度梯度熱流密度矢量t+Δttt-Δtgradt§2-1導(dǎo)熱的基本概念和定律第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱系數(shù)影響導(dǎo)熱系數(shù)的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等。不同物質(zhì)的導(dǎo)熱性能不同：第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件

確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù)傅里葉定律確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng):t=f(x,y,z,τ)W/(m·oC)理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+熱力學(xué)第一定律第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日一、導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場(chǎng)應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)熱微分方程。假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強(qiáng)度qv[W/m3];內(nèi)熱源均勻分布；qv

表示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱體內(nèi)取一微元體熱力學(xué)第一定律：W=0,∴Q=ΔUQ

：微元體與環(huán)境交換的熱Ｕ

：微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量W

：微元體與環(huán)境交換的功

Ｕ=Q＋W第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日dτ時(shí)間內(nèi)微元體中：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加][導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]Q=ΔUQ導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量

內(nèi)熱源發(fā)熱量第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日dτ時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的熱量：dQx+dx=qx+dxdydz?dτ

[J]dτ時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：dτ時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的熱量：dQx=qxdydz?dτ

[J][J]1、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日dτ時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：dτ時(shí)間內(nèi)、沿y軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：dτ時(shí)間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]:[J][J][J][J]第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]:傅里葉定律：[J][J]第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加]2、微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量d時(shí)間內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：[J]3、微元體熱力學(xué)能的增量dτ時(shí)間內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量][內(nèi)熱源發(fā)熱量][熱力學(xué)能的增加]第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日[1]+[2]=[3][導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加]由[1]+[2]=[3]：導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過程的能量方程第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。物理意義：反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。

非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)源項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)導(dǎo)熱微分方程式第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日簡化該式：①若物性參數(shù)λ、c和ρ均為常數(shù)：式中，-熱擴(kuò)散率，m2/s.或（Thermaldiffusivity）?2—拉普拉斯算子熱擴(kuò)散率a反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（λ）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（ρc）之間的關(guān)系。第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日在同樣加熱條件下，物體的熱擴(kuò)散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。a木材=1.5×10?7m2/s,a鋁=9.45×10?5m2/s，

a鋁/a木材

≈600a反應(yīng)導(dǎo)熱過程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力。第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日②若物性參數(shù)均為常數(shù)，且無內(nèi)熱源或簡化該式：③若物性參數(shù)均為常數(shù)，且無內(nèi)熱源，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱①若物性參數(shù)λ、c和ρ均為常數(shù)：或或第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日二、其他坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程（r,?,z）x=rcos?;

y=rsin?;z=z1.對(duì)于圓柱坐標(biāo)系第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.對(duì)于球坐標(biāo)系（r,θ,?）

x=rsinθ?cos?;y=rsinθ?sin?;z=rcosθ第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日三、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍1）適用于q不很高，