2017高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)不等式選講63不等式的證明課時作業(yè)文選修4-5

課時作業(yè)63不等式的證明i.(i)已知a,b都是正數(shù)，且awb,求證：a3+b3>a2b+ab2；a2b2+b2c2+c2a2(2)已知a,b,c都是正數(shù)，求證：-a+b+c—>abc.證明：(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a—b)2.因為a,b都是正數(shù)，所以a+b>0.又因為awb,所以(a—b)2>0.于是(a+b)(a—b)>0,即(a+b)—(ab+ab)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.(2)因為b2+c2>2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)>2a2bc.①同理b2(a2+c2)>2ab2c,②c2(a2+b2)>2abc2.③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)>2a2bc+2ab2c+2abc2,從而a2b2+b2c2+c2a2>abc(a+t)+c).由a,b,c都是正數(shù)，得a+b+c>0,a2b2+b2c2+c2a2因止匕>abc.a+b+c2.(2)已知a,bC(0,+°°),a+b=i,xi,xzC(0,+8).2.(2),xix22求a+b+蒜的取小值;求證：(axi+bx2)(ax2+bxi)>X1X2.解:(i)因為a,be(0,十°°),a+b=i,xi,x2e(0,十00),xix2所以小2+xix2>3.3xix22bxix23322a+b2-=3XV8=6,2當(dāng)且僅當(dāng)xix2abxix2‘a(chǎn)=b,Ilmxix2a=b=2，且xi=x2=i時，—+―+xx有最小值6.(2)證法i：由a,be(0,+°°),a+b=i,xi,xzC(0,+oo)及柯西不等式可得:(axi+bx2)(ax2+bxi)=[(Voxi)2+(Vbx^)2]'[(VOx2)2+(Vbxi)2]>(,axi-ax2+bx2?bxi)2=(ajxix2+bjxixi)2=xix2,當(dāng)且僅當(dāng)堂1=年，即X1=X2時取得等號.ax2bxi證法2：因為a,bC(0,+°°),a+b=1,xi,X2C(0,+°°),所以(axi+bx2)(ax2+bxi)=a2xiX2+abx2+abx2+b2xiX2=xiX2(a，b2)+ab(x2+x2)>xiX2(a2+b2)+ab(2xiX2)=xiX2(a2+b2+2ab)=xiX2(a+b)2=xiX2,當(dāng)且僅當(dāng)Xi=X2時，取得等號.若a>0,b>0,且一+[=;\/ab.ab(i)求a3+b3的最小值；(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.解：(i)由^yOB=a+bn,得ab>2,且當(dāng)a=b=寸2時等號成立.故a3+b3R2qa3b3上4皿,且當(dāng)a=b=42時等號成立.所以a3+b3的最小值為4"(2)由(i)知，2a+3b>2^/6^ab>4^3.由于4m>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.(20i6?江西省八校聯(lián)考)(i)已知函數(shù)f(x)=|x-i|+|x+3|,求x的取值范圍，使f(x)為常函數(shù)；(2)若x,y,zCR,x2+y2+z2=i,求m=/x+q2y+^z的最大值.-2x-2,x<-3,解：(i)f(x)=|x-i|+|x+3|=4,-3<x<i,2x+2,x>i,則當(dāng)xC[—3,i]時，f(x)為常函數(shù).(2)由柯西不等式得：(x2+y2+z2)(小2+4?+乖2)>(Wx+q2y+y5z)2,所以42x+/y+\/5zw3,因此m的最大值為3.(20i5?湖南卷)設(shè)a>0,b>0,且a+b=a+b.證明：a+b>2；a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.證明：由a+b='+!=W;2a>0,b>0,得ab=i.abab(i)由基本不等式及ab=i,有a+b>2*Jab=2,即a+b>2.

(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立，則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理，0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.(2015?陜西卷)已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}.(1)求實數(shù)a,b的值；(2)求^at+12+而的最大值.解：(1)由|x+a|<b,得一b—a<x<b-a,—b—a=2,則解得a=—3,