河源市重點中學2023學年高三第二次模擬考試數學試卷（含答案解析）

2023高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知與之間的一組數據：12343.24.87.5若關于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.52．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為，則（）A．， B．，C．， D．，3．的展開式中含的項的系數為（）A． B．60 C．70 D．804．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．5．已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．6．已知，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值8．達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數百年來讓無數觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數據：（其中）.根據測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）A． B． C． D．9．已知數列中，，()，則等于（）A． B． C． D．210．已知函數且的圖象恒過定點，則函數圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．11．函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．12．將函數的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則____________．14．已知函數為奇函數，，且與圖象的交點為，，…，，則______．15．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.16．甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大小；（2）若，為外一點，，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知函數，．（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數在上的最小值；（Ⅲ）若函數，當時，的最大值為，求證：.19．（12分）已知，函數有最小值7.（1）求的值；（2）設，，求證：.20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數等比數列的前項和為，是等差數列，__________，，，，是否存在正整數，使得成立？21．（12分）如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均為正三角形，E為AB的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積．22．（10分）已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數t的取值范圍，并證明.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

利用表格中的數據，可求解得到代入回歸方程，可得，再結合表格數據，即得解.【題目詳解】利用表格中數據，可得又，．解得故選：D【答案點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.2．B【答案解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【題目詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【答案點睛】離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.3．B【答案解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【題目詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數為．故選：B【答案點睛】本題考查了二項式系數的求解，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于基礎題.4．C【答案解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數計算即可.【題目詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【答案點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數形結合思想的應用，屬于基礎題.5．C【答案解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.【題目詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【答案點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數形結合思想和運算能力，屬于?？碱}.6．A【答案解析】

構造函數，通過分析的單調性和對稱性，求得不等式的解集.【題目詳解】構造函數，是單調遞增函數，且向左移動一個單位得到，的定義域為，且，所以為奇函數，圖像關于原點對稱，所以圖像關于對稱.不等式等價于，等價于，注意到，結合圖像關于對稱和單調遞增可知.所以不等式的解集是.故選：A【答案點睛】本小題主要考查根據函數的單調性和對稱性解不等式，屬于中檔題.7．B【答案解析】

根據平行的傳遞性判斷A；根據面面平行的定義判斷B；根據線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【題目詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據線面垂直的性質得出，結合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【答案點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.8．A【答案解析】

由已知，設．可得．于是可得，進而得出結論．【題目詳解】解：依題意，設．則．，．設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為．則，．故選：A．【答案點睛】本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．A【答案解析】

分別代值計算可得，觀察可得數列是以3為周期的周期數列，問題得以解決.【題目詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數列是以3為周期的周期數列，

，

，

故選：A.【答案點睛】本題考查數列的周期性和運用：求數列中的項，考查運算能力，屬于基礎題.10．A【答案解析】

由題可得出的坐標為，再利用點對稱的性質，即可求出和.【題目詳解】根據題意，，所以點的坐標為，又，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查指數函數過定點問題和函數對稱性的應用，屬于基礎題.11．D【答案解析】

利用輔助角公式,化簡函數的解析式,再根據正弦函數的單調性,并采用整體法,可得結果.【題目詳解】因為，由，解得，即函數的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【答案點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數的單調遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數的單調性，同時對于整體法的應用,使問題化繁為簡,難度較易.12．D【答案解析】

由函數的圖象平移變換公式求出變換后的函數解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【題目詳解】由題意知，函數的最小正周期為,即,由函數的圖象平移變換公式可得，將函數的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【答案點睛】本題考查函數的圖象平移變換公式和三角函數誘導公式及正余弦函數的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由于，，則．14．18【答案解析】

由題意得函數f（x）與g（x）的圖像都關于點對稱，結合函數的對稱性進行求解即可．【題目詳解】函數為奇函數，函數關于點對稱，，函數關于點對稱，所以兩個函數圖象的交點也關于點（1，2）對稱，與圖像的交點為，，…，,兩兩關于點對稱，.故答案為：18【答案點睛】本題考查了函數對稱性的應用，結合函數奇偶性以及分式函數的性質求出函數的對稱性是解決本題的關鍵，屬于中檔題.15．【答案解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數表示出線段的長度，最后利用導數來求函數最小值.【題目詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標系，則.設直線，即，則，所以，所以，，則，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以當時，最短，此時.故答案為：【答案點睛】本題考查導數的實際應用，屬于中檔題.16．【答案解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式．【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【答案點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【答案解析】

（1）根據正弦定理化簡等式可得，即；（2）根據題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【題目詳解】（1），由正弦定理得：在中，，則，即，，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當時，四邊形的面積取最大值，最大值為.【答案點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基礎題．18．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【答案解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當時，在上單調遞增.則函數在上的最小值是（2）當時，令，即，令，即（i）當，即時，在上單調遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，由的單調性可得在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當時，令，則是單調遞減函數.因為，，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調遞增，在上單調遞減.所以當時，取得最大值是因為，所以由此可證試題解析：（Ⅰ）因為函數，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因為函數，所以（1）當時，，所以在上單調遞增.所以函數在上的最小值是（2）當時，令，即，所以令，即，所以（i）當，即時，在上單調遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是（Ⅲ）因為函數，所以所以當時，令，所以是單調遞減函數.因為，，所以在上存在，使得，即所以當時，；當時，即當時，；當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以當時，取得最大值是因為，所以因為，所以所以19．（1）.（2）見解析【答案解析】

（1）由絕對值三解不等式可得，所以當時，，即可求出參數的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得證；【題目詳解】解：（1）∵，∴當時，，解得.（2）∵，∴，∴，當且僅當，即，時，等號成立.∴.【答案點睛】本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用，屬于中檔題．20．見解析【答案解析】

根據等差數列性質及、，可求得等差數列的通項公式，由即可求得的值；根據等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€，結合等比數列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數的值即可.【題目詳解】∵在等差數列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數，使得成立，即成立，設正數等比數列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數解，∴不存在正整數使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【答案點睛】本題考查了等差數列通項公式的求法，等比數列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數的值，屬于中檔題.21．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接，交于點M，連接ME，證明；（Ⅱ）由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離，根據體積公式剩余部分的體積是.【題目詳解】（Ⅰ）如圖，連接，交于點M，連接ME，則．因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為平面ABC，所以點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離．如圖，設O是AC的中點，連接，OB