固體力學概論課件

固體力學概論(綜合基礎(chǔ)課)2005版固體力學概論1目錄第一章前言第二章基本假設第三章本構(gòu)關(guān)系（物理方程）第四章基本方程第五章能量原理（包括變分原理）第六章固體力學中的數(shù)值方法目錄第一章前言2第一章

前言固體力學的定義固體力學的基本假設與主要研究內(nèi)容學科分支研究對象與任務發(fā)展史參考資料第一章前言31.固體力學的定義研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點的位移、運動,固體的應變和破壞規(guī)律的學科.主要參書:《力學詞典》《大百科全書》（1）固體力學與理論力學之區(qū)別：理論力學研究對象是質(zhì)點、質(zhì)點系與剛體。固體力學研究可形變體。（2）固體與流體的區(qū)別：流體是氣體和流體的總稱，具有易流性，不能承受剪應力，在無論多小的剪力作用下都會發(fā)生變形。水和空氣是常見的兩種流體。1.固體力學的定義研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕42.固體力學的內(nèi)容:研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及流變問題;又分線性問題、非線性問題;主要研究宏觀問題、也有微觀問題和細觀問題(或稱介觀問題mesomechanics);研究的對象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì);此外研究各種可變形體的偶合問題:例如熱(濕)彈性問題、熱(濕)塑性問題、熱(濕)彈塑性問題、以及形體的機~磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電-磁彈性力學正快速發(fā)展.2.固體力學的內(nèi)容:研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及53.學科分支材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學、塑性力學、流變學，斷裂力學(損傷力學)、復合材料力學、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、振動理論、粘彈(塑)性力學、沖擊力學、固體應力波問題、結(jié)構(gòu)(彈~塑性)動力學;以及許多交叉學科:氣動彈性理論，生物固體力學、巖土力學、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無網(wǎng)格法等);斷裂力學(損傷力學)、復合材料力學、電-磁彈性力學，微尺度力學是發(fā)展中的新興學科。3.學科分支材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學、塑性力學、流變學64.研究對象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:（1）桿、桿系、梁、柱，（長＞＞寬和高）（2）板(中厚板)、殼，（厚＜＜長與寬）（3）三維體(空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)，（4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機機翼與機身等），（5）以及它們的復合體.4.研究對象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:75研究方法（截面法）截面法是處理固體力學問題的最基本的方法：通過外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應力）平衡求構(gòu)件的響應（內(nèi)力），通過本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應變），最重要的是材料力學中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設最為重要。5研究方法（截面法）截面法是處理固體力學問題的最基本的方8截面法截面法:固體力學問題的普適方法,步驟為：（1）取出構(gòu)件,畫出所有外力(包括約束反力);（2）用平面切開,并畫出內(nèi)力(廣義力),若是動平衡需用達朗貝爾原理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來求解內(nèi)應力;（3）解出內(nèi)力；算應力;（4）利用物理方程求變形;（

5）

根據(jù)應力強度準則或變形準則進行強度校核;（6）進行優(yōu)化設計.

外力內(nèi)力內(nèi)力截面法截面法:固體力學問題的普適方法,外力內(nèi)力內(nèi)力96.任務固體力學的發(fā)展主要動力是社會實踐：任務是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性、可靠性;就是強度問題(應力值不超過許用值)、剛度問題(變形不太大)、穩(wěn)定性問題、振動問題.工程結(jié)構(gòu)包括:飛機、火箭、船舶、車輛、橋梁、房屋、水壩、反應堆、坦克等等.6.任務固體力學的發(fā)展主要動力是社會實踐：107.發(fā)展史固體力學是一門古老的學科,可追溯到17世紀伽利略Calileo(1564~1642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來庫侖(C.A.Coulomb),泊松(R.Poisson),納維(C-L-M-H.Navier),圣文南(B.deSaint-Venant)哥西(A.L.Couchy),虎克(Hooke)（胡克定律）等人作出很大貢獻.伯努利(1654~1705)平截面假設,歐勒(L.Euler)(1707~1783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷;鐵木生柯(Timoshenko)專著”StrengthofMaterials”,“TheoryofElasticity”、“TheoryofElasticStability”、“TheoryofPlatesandShells”與符拉索夫(薄壁桿件).中國東漢(127~200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系;宋代李誡《營造法式》；隋代李春（581~618）趙州橋。7.發(fā)展史固體力學是一門古老的學科,可追溯到17世紀伽利略118.參考資料《力學詞典》，中國大百科全書出版社，1990?！吨袊蟀倏迫珪?，力學卷，1985，8。EncyclopediaofScienceandTechnology,McGraw-Hill,1982E.P.Popov,IntroductiontoMechanicsofSolids,PrenticeHall,INC,1968Y.C.Fung,FoundationofSolidMechanics,PrenticeHall,INC,1965中國自然科學基金，學科分類目錄及學科代碼，1994(從這里可看出現(xiàn)代固體力學的發(fā)展方向以及新的學科分類）。8.參考資料《力學詞典》，中國大百科全書出版社，1990。129.專有名詞的翻譯材料力學：strengthofmaterials,mechanicsofmaterials彈性力學：theoryofelasticity,elasticity,(elasticmechanics錯誤);塑性力學：theoryofplasticity,plasticity,(plasticmechanics錯誤);介觀力學：mesomechanics；細觀力學，可是，在專著《Micromechanicsofdefectsinsolids》,TMura，“micromechanics”可翻譯為細觀力學,不翻成微觀力學。5.宏（微）觀力學；macromechanics,micromechanics這里，英語書籍里“micromechanics”包含介觀尺度問題。6.經(jīng)典力學：Classicmechanics,（牛頓力學）7理論力學：theoreticalmechanics.9.專有名詞的翻譯材料力學：strengthofmat13第二章.基本假設：基本假設：連續(xù)性假設~~斷裂問題與界面問題；

均勻性假設~~復合材料。3.小變形假設~~大變形（幾何非線性問題），線彈性假設~~物理與幾何非線性，5.各向同性假設~~各向異性，6.平截面假設(對直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設意義最重要）。第二章.基本假設：基本假設：14材料力學中關(guān)于平截面法的應用

以下研究對象都可用平截面法處理：拉伸：桿或棒（拉伸強度問題）壓：壓桿，柱（彈性穩(wěn)定性問題）彎曲：梁（彎曲撓度與應力）扭，扭轉(zhuǎn)：軸（剪切變形與強度）壓彎聯(lián)合作用：梁柱（彎曲與穩(wěn)定性）；材料力學中關(guān)于平截面法的應用以下研究對象都可用平截面151平截面假設(在板殼力學中又稱直法線假設)平截面假設：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線,并且在垂直軸線方向上無變形；下面以梁為例,此假設大大簡化了問題.無窮自由度問題簡化為一個自由度問題,只有一個撓度函數(shù)是要求的.這樣，用彈性力學理論,有15個基本方程,15個基本未知量.根據(jù)平截面假設大大簡化：梁的撓度為，梁的基本方程（控制方程）為：p1平截面假設(在板殼力學中又稱直法線假設)平截面假設16①梁的基本方程根據(jù)平截面（直法線）假設導出梁的撓度方程：①梁的基本方程根據(jù)平截面（直法線）假設導出梁的撓度方程：17②板殼力學中的直法線假設①初始與板中性面(中面)垂直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面；②垂直于中面的正應力遠小于平行于中面的應力分量（無法向應變）；③在發(fā)生彎曲變形時，板的中面無拉伸變形。①②為基爾霍夫假定（克?；舴蚣俣ǎ＂诎鍤ちW中的直法線假設①初始與板中性面(中面)垂直的(線18③平截面假設的近似性由懸臂梁問題可知,截面上最大剪應力在中面上,可見最大剪應變在中面上,所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應力(剪應變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）.當梁的高長比時，平截面假定不再成立，應該考慮橫向剪切。稱為Timoshenko梁理論，獨立未知變量增加一個，截面轉(zhuǎn)角。但是,當梁長/高比很大時,平截面所得結(jié)果符合工程要求。Timoshenko梁彎曲（非純彎）時，須考慮剪切效應，此時橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角?；疚粗孔?yōu)閮蓚€：③平截面假設的近似性由懸臂梁問題可知,截面上最大剪應力在中面19④梁的橫向剪切問題剪切問題基本方程:應力~應變關(guān)系為：僅考慮剪切效應：變形前mn和pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲；工程上近似(平均意義)為:④梁的橫向剪切問題剪切問題基本方程:應力~應變關(guān)系為：20⑤三點彎曲梁三點彎曲梁第二項是剪切產(chǎn)生的撓度，是截面系數(shù)，對于矩形截面，⑤三點彎曲梁三點彎曲梁21⑥梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示：剪切系數(shù)對于矩形等3/2對于圓形截面等于4/3。xpz⑥梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示：xpz22⑦關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值：①相當于用中性軸處的最大剪切應變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，是很粗燥的，它比平均剪應變大50%。②用能量原理（單位載荷法）推導了較精確的近似值，③彈性力學的精確公式為：當泊松比時，彈性力學精確解比簡單平均法所得結(jié)果大18%。⑦關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）232彈性桿的拉伸

單向拉伸(或壓縮):假設在拉伸變形時桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個假定被試驗證明，非常接近真實；注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問題。基本方程:

拉伸彈性剛度系數(shù)為:PL2彈性桿的拉伸單向拉伸(或壓縮):假設在拉伸變形時桿的243等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個截面保持平面并且變形均勻；基本方程:應力~應變關(guān)系:扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為:3等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個截面25第三章本構(gòu)方程1線性應力~應變關(guān)系（線彈性）胡克定律：單向拉伸，如彈簧等廣義胡克定律：復雜應力狀態(tài)2非線性應力應變關(guān)系：塑性材料3現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān)4粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學）：材料機械性能與時間相關(guān)第三章本構(gòu)方程1線性應力~應變關(guān)系（線彈性）26單軸拉伸試驗曲線單軸拉伸試驗曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗）單軸拉伸試驗曲線單軸拉伸試驗曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗）27應力張量和應變張量應力張量：任意質(zhì)點的應力有6個獨立分量，形成二階張量應變張量：任意質(zhì)點的應變有6個獨立分量，形成二階張量應力張量和應變張量應力張量：任意質(zhì)點的應力有6個獨立分量，形28Ⅰ

彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應力~應變關(guān)系胡克定律：線彈性應力~應變關(guān)系，應力與應變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量）廣義胡克定律

可改寫為其中

36個常數(shù)中只有21個獨立。這是指最一般的各向異性材料，對于各類特殊情況，獨立材料常數(shù)不同。

，

Ⅰ彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應力~應變關(guān)系胡克定律：線彈性292三維各向同性材料物理方程：以應變表示應力：是體積應變。以應力表示應變：

，

球應力張量。應力偏量。2三維各向同性材料物理方程：以應變表示應力：，球應力30

拉梅常數(shù)拉梅常數(shù)分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。，拉梅常數(shù)拉梅常數(shù)，313非各向同性單斜體材料有一個對稱面，只有13個獨立常數(shù)；正交異性體有2個相互垂直的對稱面，9個獨立常數(shù)；橫觀各向同性體垂直某一方向的各個平面都是各向同性面；只有5個獨立常數(shù)；各向同性體兩個常數(shù)，；或者；或者后者又稱拉梅系數(shù)。平面正交異性體例如單向纖維復合材料薄板，4個獨立常數(shù)

3非各向同性單斜體材料有一個對稱面，只有13個32

Ⅱ塑性力學基本實驗應力~應變關(guān)系非線性塑性應變非恢復性，有殘余應變應力與應變非一一對應，與加載歷史有關(guān)塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系相當復雜。Ⅱ塑性力學基本實驗33塑性應力~應變關(guān)系非線性的簡化

①②③④⑤①理想彈塑性；②彈性線性硬化模型；③理想剛塑性；④剛性線性硬化模型；⑤密律硬化模型N=0N=1N=0.3塑性應力~應變關(guān)系非線性的簡化①34屈服準則：單向拉伸：殘余應變大于的應力為

復雜應力狀態(tài)特雷斯卡（Tresca）條件：在平面上是正六邊形。米賽斯（Misses）條件：在平面上是圓。屈服準則：單向拉伸：殘余應變大于35應力強度應力強度（又稱等效應力）：已知應力不變量的第二不變量為：

是八面體剪應力

形狀改變應變能。應力強度為：應力強度應力強度（又稱等效應力）：已知應力不變量的第二不變量36應變強度

用主應變表示：應變強度又稱有效應變。羅德參數(shù)：

應力的羅德參數(shù)：應變羅德參數(shù)：應變強度用主應變表示：37

3.塑性全量理論—

塑性形變（或塑性變形）理論

在簡單加載（比例加載）條件下，對塑性變形的簡化;應力強度與應變強度一一對應，若無卸載，與非線性彈性相同。Henckyrelation:對于比例加載，塑性形變理論與流動理論結(jié)果相同。

3.塑性全量理論—

塑性形變（或塑性變形）理論

在簡38

塑性增量理論—流動理論流動理論（又稱增量理論）：當彈性應變比塑性應變很小時，加載比與塑性功成比例。

塑性增量理論—流動理論流動理論（又稱增量理論）：39Ⅲ流變學（粘彈性力學）定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時間有關(guān)的變形和流動行為的規(guī)律的力學分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。研究內(nèi)容：蠕變：材料在恒應力作用下變形隨時間增大的過程稱為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。以應力為輸入量而求應變響應者為蠕變。松弛：材料在固定變形下應力隨時間減小的過程稱為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。以應變?yōu)檩斎肓慷髴憫邽樗沙?。Ⅲ流變學（粘彈性力學）定義：研究材料在外載、溫度、濕401流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：（2）粘性元件（粘壺）,又稱牛頓流體或阻尼器：

或

是粘性系數(shù)，單位是應力乘時間。（3）理想塑性體（圣文南體）：當p＜F時當P＞F時，u位移取決于其它條件。

1流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：412馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程：特性：①若應力是階躍函數(shù)應變在t=0時，應變發(fā)生突變；當時，表現(xiàn)為流動性質(zhì)。②若應變保持常數(shù)，應力趨于零，為松弛時間。

，

2馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程：，42

3開爾文體（Kelvin）或Voigtsolid:

將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程：性能：①施加

應變輸出：當時，其中，是漸近彈性模量。突出缺點：當時，

。3開爾文體（Kelvin）或Voi43

4標準固體（standardsolid）:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體，由于當時，所以，它最終具有固體性質(zhì)。（7）四元件模型（四參量模型）：將開爾文體與馬克斯威爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。最終具有流體特性。（8）廣義馬克斯威爾體,將多個馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。（9）廣義固體模型：將開爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。4標準固體（standardsolid）44固體力學概論課件455微分型本構(gòu)關(guān)系更普遍的線性粘彈性模型：以標準固體（standardsolid）模型為例:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體，本構(gòu)方程的標準形式：，

5微分型本構(gòu)關(guān)系更普遍的線性粘彈性模型：，466三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系：分體量與偏量：是微分算子，例如，有時，可假設體積應變的蠕變分量可忽略。

6三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系：分體量與偏量：477遺傳積分（蠕變型）又稱記憶積分或卷積積分：疊加原理，Boltzmannsuperpositionprinciple：在作用下，應變服從疊加原理：當一系列應力增量連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應變等于：

是蠕變?nèi)崃俊?/p>

7遺傳積分（蠕變型）又稱記憶積分或卷積積分：488松弛型遺傳積分當一系列應變增量連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應力等于：是松弛模量。修正的疊加原理：其中是應變的非線性函數(shù)。8松弛型遺傳積分當一系列應變增量連續(xù)作499拉普拉斯變換：Laplacetransformation拉普拉斯變換對求解線性粘彈性問題至關(guān)重要，通過下式將時域問題變換為S域內(nèi)問題：很多教科書上有變換表。其逆變換式為：

,

9拉普拉斯變換：Laplacetransform5010對應原理對上式進行拉氏變換得：于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進行有限元計算。但是，逆變換相當復雜，這里學問很深。10對應原理對上式進行拉氏變換得：5111復模量

當材料或結(jié)構(gòu)受簡諧變化應力作用時,即輸入，代入本構(gòu)方程：

是復數(shù)柔量。是松弛模量。11復模量當材料或結(jié)構(gòu)受簡諧變化應力作用時,即52第四章基本方程彈性力學有15個基本方程：3個平衡方程；6個協(xié)調(diào)方程；6個本構(gòu)方程；15個基本未知量：3個位移分量；6個應力分量；6個應變分量；*加適當邊界條件。第四章基本方程彈性力學有15個基本方程：531.平衡或運動方程

平衡方程展開一個方程:運動方程:

指標重復服從加法約定,,1.平衡或運動方程,,542幾何方程(應力~位移關(guān)系)對于小應變情況，這是哥西應變式，共有六個應變，六個方程。

對于大變形（計入非線性項）：分拉格朗日與歐拉表示：拉格朗日應變：歐拉應變：,，

2幾何方程(應力~位移關(guān)系)對于小應變情況，,，553變形協(xié)調(diào)方程：（i,j交換）共有六個方程:以下只寫出兩個有代表性的式子：3變形協(xié)調(diào)方程：（i,j交換）共有六個方程:564彈性本構(gòu)關(guān)系（1）.彈性應力~應變關(guān)系：廣義胡克定律

可改寫為其中

36個常數(shù)中只有21個獨立。這是指最一般的各向異性材料，對于各類特殊情況，獨立材料常數(shù)不同。

，

4彈性本構(gòu)關(guān)系（1）.彈性應力~應變關(guān)系：廣義胡克575邊界條件：

（1）位移邊界條件：在給定位移的邊界上，(a)

又稱第一類邊界條件，代號。，5邊界條件：（1）位移邊界條件：在給定位移的邊界58（2）應力邊界條件：在給定外力的邊界（）上：（b)

是外法線方向余弦。第二類邊界條件，代號。（2）應力邊界條件：在給定外力的邊界（）上：59（3）混合邊界條件混合邊界條件:

在（），為（a）；在（）（b）.此外，還有彈性邊界條件和移動（滑動）邊界條件；動邊界條件（例如彈性支持條件，接觸，摩擦邊界條件），問題比較復雜。（3）混合邊界條件混合邊界條件:60彈性力學問題的解法（位移法和應力法）①.位移方法：拉梅（Lame,G.）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三種不同表示方法：需將應力邊界條件改寫為位移.

彈性力學問題的解法（位移法和應力法）①.位移方法：拉梅（61②

應力解法用應力表示的協(xié)調(diào)方程，即拜爾脫拉密（Beltrami,E.）~密乞爾(Michell,J.H.)方程：用應力表示協(xié)調(diào)方程。當然，位移邊界條件也需要用應力表示。

②應力解法用應力表示的協(xié)調(diào)方程，即拜爾脫拉密（Belt62

彈性力學一般定理

（1）.應變能定理–克拉貝龍定理,即功能互等定理:

又俗稱為“功能互等定理”注意與”功的互易（reciprocal）定理”相區(qū)別。彈性體內(nèi)的應變能等于變形過程中外力所做之功；(證明從略)注意：與虛功原理相對照（外力虛功等于內(nèi)里虛功）。

彈性力學一般定理

（1）.應變能定理–克拉貝龍定理,即功63（2）唯一性定理—克希霍夫定理或紐曼定理

證明：兩組解它們滿足平衡方程:邊界條件:

（2）唯一性定理—克?；舴蚨ɡ砘蚣~曼定理證明：兩組64

證明(2)：構(gòu)造新的解（1）-（2），（3）-（4），（5）-（6）得到，

證明(2)：構(gòu)造新的解，65

證明(3)上式的解肯定為0。所以證明，兩組解相等。***注釋：若全邊界均為應力條件，則位移解可能差一剛體位移。結(jié)論：對于線彈性材料（結(jié)構(gòu)），只要給出一組滿足平衡方程，協(xié)調(diào)方程，與邊界條件的解，那么它就是真解（與彈性常數(shù)無關(guān)）。所以，彈性力學就有試湊法。證明(3)66（3）圣文南原理物體在上受一平衡力系作用時，在離較遠的區(qū)域應力可以忽略。時,是外力作用區(qū)的最大線尺寸與我們關(guān)注的質(zhì)點和力作用點的距離。

（3）圣文南原理物體在上受一平衡力系作67（4）功的互易(等)定理又稱位移互等定理（reciprocaltheoryofdisplacement）：設兩組力（體力與面力）作用在同一物體上，第一組力對第二組力產(chǎn)生的位移所做之功，等于第二組力對第一組力產(chǎn)生的位移所做之功；=（4）功的互易(等)定理又稱位移互等定理（recipro68第五章能量原理能量原理是宇宙間普適的,從熱力學第一定律,理論力學的能量(機械能)守恒定律,與虛位移(虛功)原理,材料力學的卡氏定理,彈性力學的變分原理，以及各種近似數(shù)值方法.例如,求第二宇宙速度時，飛船離開火箭時的速度（動能）應能克服地球?qū)λ囊荨幽芤萦纱说玫剑旱谖逭履芰吭砟芰吭硎怯钪骈g普適的,從熱力學第一定律69（1）虛位移原理

（理論力學）物體(或質(zhì)點與質(zhì)點系)在n個外力(包括約束力)作用下而平衡,則外力所作之虛功之和為零.對于理想約束則外加作用力所作功為零.（1）虛位移原理

（理論力學）物體(或質(zhì)點與質(zhì)點系)在n個70

彈性力學的能量原理

1.虛功原理（包括虛位移原理與虛力原理）虛位移：所有幾何約束允許的位移(滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件）即為虛位移，寫為。虛位移又稱為“可能位移”。彈性體在平衡狀態(tài)下，外力、內(nèi)力在微小虛位移下做的功（稱為虛功）之和等于零。

彈性力學的能量原理

1.虛功原理（包括虛位移原理與虛712.虛位移原理彈性體在平衡狀態(tài)下，外力對虛位移所做的功（稱為虛功）等于虛位移所引起的彈性體應變能的增量。

2.虛位移原理彈性體在平衡狀態(tài)下，外力對虛位移所做的功（稱72虛位移原理（續(xù)1）上式第一項為零，第二項等于這是內(nèi)力虛功，即內(nèi)力（應力）對虛位移產(chǎn)生的虛應變所做的功（或為應力對虛應變所作的虛功）。結(jié)論：內(nèi)力虛功等于外力虛功虛位移原理（續(xù)1）上式第一項為零，第二項等于73虛功原理(續(xù)2)根據(jù)專著（胡):虛功原理的數(shù)學表達式為：此式中，和是變形可能位移與應變，是靜力可能應力。***是可能面力。這個原理包括虛功原理與虛余功原理兩個原理虛功原理(續(xù)2)根據(jù)專著（胡):虛功原理的數(shù)學表達式為：74虛功原理(續(xù)3)包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應力）原理：按大百科全書的詞條：這里有疏誤.

式中

是體力和位移；是面上可能面力和可能位移，

分別是可能應力分量和可能應變分量。此原理可包括（1）虛位移原理和（2）虛內(nèi)力（應力）原理。

虛功原理(續(xù)3)包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應力）原理：.式中753.最小勢能原理以位移為基本未知量的變分原理。總勢能等于:分別為真實位移與虛位移。

3.最小勢能原理以位移為基本未知量的變分原理。76最小勢能原理（續(xù)）定義：平衡時，所有可允許位移（可能位移）中，真實位移使總勢能取極小值：可能位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移。意義：因為位移滿足了連續(xù)性條件和位移邊界條件，由最小勢能原理可導出平衡方程和應力邊界條件。由此導出有限元基本方程最小勢能原理（續(xù)）定義：平衡時，所有可允許位移（可能位移）中774最小余能原理以應力為未知量的變分原理。真實應力所具有的余能恒小于其他可能應力相應的余能。所有可能應力（滿足平衡方程與靜力邊界條件的應力）函數(shù)中，真實應力場取總余能為最小。，

4最小余能原理以應力為未知量的變分原理。真實應力所具有78

最小余能原理（續(xù)）它代表應變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。虛余功：虛余能：

總余能：最小余能原理：

最小余能原理（續(xù)）它代表應變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。795廣義變分原理是以上兩個原理的推廣；彈性力學的解必須滿足廣義勢能變分為零的條件，（又稱駐值條件），即：

為邊界指定面力和位移。此變分原理具有三類變量：位移，應力與應變。

5廣義變分原理是以上兩個原理的推廣；彈性力學的解必須806瑞斯納變分原理瑞斯納變分原理（Reissner）

其中是應變余能，兩類獨立變函數(shù)共9個。有限元法的雜交元由此導出.6瑞斯納變分原理瑞斯納變分原理（Reissne81A材料力學中的能量法（一）卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個已知廣義力作用，在他們的作用點產(chǎn)生沿各廣義力方向上的位移：則由廣義位移表示的應變能U對某個廣義位移的偏導數(shù)等于與相應的廣義力，數(shù)學表達式為：此定理英文名稱：Castigliano‘sfirsttheorem.A材料力學中的能量法（一）卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個82材料力學中的能量法（二）克羅蒂~恩蓋塞定理（Crotti~Engesser‘stheorem):若彈性體作用有n個廣義力，產(chǎn)生n個廣義位移，它們方向與相應的廣義力相同；則由廣義力表示的應變能對廣義力的偏導數(shù)，等于相應的廣義位移，表達式為：此定理又稱卡氏第二定理。材料力學中的能量法（二）克羅蒂~恩蓋塞定理（Crotti~E83B彈性穩(wěn)定理論中的能量法B彈性穩(wěn)定理論中的能量法84C振動問題的能量法瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機械振動的自振頻率的近似值，由下式泛函的駐值決定。是動能；是勢能例如，弦振動，設振形函數(shù)為當n=2時，相對誤差為0.007

精確解為：

C振動問題的能量法瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機85D結(jié)構(gòu)力學的能量法1力法（forcemethod）：以廣義力為未知量求解靜不定結(jié)構(gòu)的方法稱為力法?；靖拍钍牵瑢⒍嘤嗉s束去掉，代之以廣義力(多余廣義力），為保證解除多余約束的結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力（應力）與原結(jié)構(gòu)相同，必須滿足連續(xù)性條件，即變形協(xié)調(diào)條件。n度靜不定系統(tǒng)就有n個連續(xù)性條件,正好彌補了平衡方程數(shù)的不足。將n個連續(xù)性條件與平衡方程聯(lián)立，就能解出所有未知廣義力。D結(jié)構(gòu)力學的能量法1力法（forcemeth862單位載荷法：根據(jù)虛功原理導出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給定結(jié)構(gòu)某點的位移時，在該點施加單位載荷：單位廣義力。單位載荷方向與所求位移方向相同。于是，是單位載荷引起的軸力，剪力與彎矩；是真實載荷引起的軸力，剪力與彎矩,為所求位移。，

2單位載荷法：根據(jù)虛功原理導出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給873位移法：（displacementmethod）:以廣義位移為基本未知量求解結(jié)構(gòu)力學問題的方法，又稱剛度法與矩陣位移法。包括轉(zhuǎn)角位移法；又稱“力矩分配法”；“變形分配法”。首先列出所有廣義位移（其數(shù)目等于自由度數(shù)），并將這些廣義位移施加約束，構(gòu)成基本體系。再解除對某廣義位移s

的約束，若在廣義位移r

的方向上施加一廣義力，該廣義力在s處產(chǎn)生單位位移，則該廣義力數(shù)值上等于剛度系數(shù)，所有剛度系數(shù)可由結(jié)構(gòu)分析得到。通常可用勢能原理來建立平衡方程：3位移法：（displacementmethod）:88系統(tǒng)的總勢能：

為節(jié)點未知廣義位移；載荷作用點的位移。為載荷數(shù)，為自由度數(shù)；根據(jù)能量原理：得矩陣形式：

系統(tǒng)的總勢能：89第六章固體力學的數(shù)值方法：瑞雷~李茲法（Rayleigh－Ritzmethod）:通過泛函駐值條件求未知（位移）函數(shù)的近似方法。

令所求函數(shù)為的線性組合：

個已知函數(shù)

為未知常系數(shù)，

組成的泛函的駐值條件,通過由的代數(shù)方程組。得到個求假定位移函數(shù)的表達式為：

第六章固體力學的數(shù)值方法：瑞雷~李茲法（Raylei90將上述位移函數(shù)代入作為泛函的總勢能的表達式，根據(jù)駐值條件，得這是求3n個待定常數(shù)的線性代數(shù)方程組。3n個常系數(shù)求得后，問題解決。

將上述位移函數(shù)代入作為泛函的總勢能的表達式，根據(jù)912伽療金法2布勃諾夫~伽療金法（Bubnov~Galerkinmethod）假定位移函數(shù)的表達式為：

為個待定常數(shù)已知函數(shù)

滿足全部位移與力的邊界條件，根據(jù)虛功原理，2伽療金法2布勃諾夫~伽療金法（Bubnov~Gal923加權(quán)殘數(shù)法（methodofweightedresiduals）彈性力學問題提法如下：在邊界上

在域V內(nèi)，

,是算子,

不含令解的試函數(shù)為：

為待求的未知參數(shù)（或函數(shù)），

代入控制方程與邊界條件，一般不為零，有殘數(shù)：

為消滅這些殘數(shù)，用權(quán)函數(shù)乘殘數(shù)并積分：

得到的代數(shù)方程組。

3加權(quán)殘數(shù)法（methodofweightedres93固體力學的有限元方法有限元：位移元（協(xié)調(diào)元）：基于最小勢能原理；例如等參元；雜交元：基于修正余能原理（單元內(nèi)滿足應力平衡條件，邊界上用位移差值條件）；邊界元法：基于邊界積分方程（位移法和應立法）；無網(wǎng)格法：有線條法：例如瓦楞板有限面法：例如層合板散體有限元：處理巖石和碎石塊等。固體力學的有限元方法有限元：位移元（協(xié)調(diào)元）：基于最小勢能原94結(jié)束語固體力學包含多個學科分支，內(nèi)容繁多，大百科全書每個詞條都是重點，都應該講，因時間有限，只能講概論；概論課的目的是對固體力學專業(yè)的同學達到復習、整理、提高的目的，“溫故而知新”；對于非固體力學專業(yè)的同學，則要求了解、知道、擴大知識面的目的。工作中遇到問題知道解決問題的途徑。這種講課沒有先例，一定不能滿足全體同學的要求，真所謂“眾口難調(diào)”，何況大家來自五湖四海。有問題請?zhí)釂?；有疏誤請指正。結(jié)束語固體力學包含多個學科分支，內(nèi)容繁多，大百科全書每個詞條95固體力學概論(綜合基礎(chǔ)課)2005版固體力學概論96目錄第一章前言第二章基本假設第三章本構(gòu)關(guān)系（物理方程）第四章基本方程第五章能量原理（包括變分原理）第六章固體力學中的數(shù)值方法目錄第一章前言97第一章

前言固體力學的定義固體力學的基本假設與主要研究內(nèi)容學科分支研究對象與任務發(fā)展史參考資料第一章前言981.固體力學的定義研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點的位移、運動,固體的應變和破壞規(guī)律的學科.主要參書:《力學詞典》《大百科全書》（1）固體力學與理論力學之區(qū)別：理論力學研究對象是質(zhì)點、質(zhì)點系與剛體。固體力學研究可形變體。（2）固體與流體的區(qū)別：流體是氣體和流體的總稱，具有易流性，不能承受剪應力，在無論多小的剪力作用下都會發(fā)生變形。水和空氣是常見的兩種流體。1.固體力學的定義研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕992.固體力學的內(nèi)容:研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及流變問題;又分線性問題、非線性問題;主要研究宏觀問題、也有微觀問題和細觀問題(或稱介觀問題mesomechanics);研究的對象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì);此外研究各種可變形體的偶合問題:例如熱(濕)彈性問題、熱(濕)塑性問題、熱(濕)彈塑性問題、以及形體的機~磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電-磁彈性力學正快速發(fā)展.2.固體力學的內(nèi)容:研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及1003.學科分支材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學、塑性力學、流變學，斷裂力學(損傷力學)、復合材料力學、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、振動理論、粘彈(塑)性力學、沖擊力學、固體應力波問題、結(jié)構(gòu)(彈~塑性)動力學;以及許多交叉學科:氣動彈性理論，生物固體力學、巖土力學、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無網(wǎng)格法等);斷裂力學(損傷力學)、復合材料力學、電-磁彈性力學，微尺度力學是發(fā)展中的新興學科。3.學科分支材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學、塑性力學、流變學1014.研究對象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:（1）桿、桿系、梁、柱，（長＞＞寬和高）（2）板(中厚板)、殼，（厚＜＜長與寬）（3）三維體(空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)，（4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機機翼與機身等），（5）以及它們的復合體.4.研究對象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:1025研究方法（截面法）截面法是處理固體力學問題的最基本的方法：通過外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應力）平衡求構(gòu)件的響應（內(nèi)力），通過本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應變），最重要的是材料力學中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設最為重要。5研究方法（截面法）截面法是處理固體力學問題的最基本的方103截面法截面法:固體力學問題的普適方法,步驟為：（1）取出構(gòu)件,畫出所有外力(包括約束反力);（2）用平面切開,并畫出內(nèi)力(廣義力),若是動平衡需用達朗貝爾原理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來求解內(nèi)應力;（3）解出內(nèi)力；算應力;（4）利用物理方程求變形;（

5）

根據(jù)應力強度準則或變形準則進行強度校核;（6）進行優(yōu)化設計.

外力內(nèi)力內(nèi)力截面法截面法:固體力學問題的普適方法,外力內(nèi)力內(nèi)力1046.任務固體力學的發(fā)展主要動力是社會實踐：任務是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性、可靠性;就是強度問題(應力值不超過許用值)、剛度問題(變形不太大)、穩(wěn)定性問題、振動問題.工程結(jié)構(gòu)包括:飛機、火箭、船舶、車輛、橋梁、房屋、水壩、反應堆、坦克等等.6.任務固體力學的發(fā)展主要動力是社會實踐：1057.發(fā)展史固體力學是一門古老的學科,可追溯到17世紀伽利略Calileo(1564~1642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來庫侖(C.A.Coulomb),泊松(R.Poisson),納維(C-L-M-H.Navier),圣文南(B.deSaint-Venant)哥西(A.L.Couchy),虎克(Hooke)（胡克定律）等人作出很大貢獻.伯努利(1654~1705)平截面假設,歐勒(L.Euler)(1707~1783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷;鐵木生柯(Timoshenko)專著”StrengthofMaterials”,“TheoryofElasticity”、“TheoryofElasticStability”、“TheoryofPlatesandShells”與符拉索夫(薄壁桿件).中國東漢(127~200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系;宋代李誡《營造法式》；隋代李春（581~618）趙州橋。7.發(fā)展史固體力學是一門古老的學科,可追溯到17世紀伽利略1068.參考資料《力學詞典》，中國大百科全書出版社，1990?！吨袊蟀倏迫珪?，力學卷，1985，8。EncyclopediaofScienceandTechnology,McGraw-Hill,1982E.P.Popov,IntroductiontoMechanicsofSolids,PrenticeHall,INC,1968Y.C.Fung,FoundationofSolidMechanics,PrenticeHall,INC,1965中國自然科學基金，學科分類目錄及學科代碼，1994(從這里可看出現(xiàn)代固體力學的發(fā)展方向以及新的學科分類）。8.參考資料《力學詞典》，中國大百科全書出版社，1990。1079.專有名詞的翻譯材料力學：strengthofmaterials,mechanicsofmaterials彈性力學：theoryofelasticity,elasticity,(elasticmechanics錯誤);塑性力學：theoryofplasticity,plasticity,(plasticmechanics錯誤);介觀力學：mesomechanics；細觀力學，可是，在專著《Micromechanicsofdefectsinsolids》,TMura，“micromechanics”可翻譯為細觀力學,不翻成微觀力學。5.宏（微）觀力學；macromechanics,micromechanics這里，英語書籍里“micromechanics”包含介觀尺度問題。6.經(jīng)典力學：Classicmechanics,（牛頓力學）7理論力學：theoreticalmechanics.9.專有名詞的翻譯材料力學：strengthofmat108第二章.基本假設：基本假設：連續(xù)性假設~~斷裂問題與界面問題；

均勻性假設~~復合材料。3.小變形假設~~大變形（幾何非線性問題），線彈性假設~~物理與幾何非線性，5.各向同性假設~~各向異性，6.平截面假設(對直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設意義最重要）。第二章.基本假設：基本假設：109材料力學中關(guān)于平截面法的應用

以下研究對象都可用平截面法處理：拉伸：桿或棒（拉伸強度問題）壓：壓桿，柱（彈性穩(wěn)定性問題）彎曲：梁（彎曲撓度與應力）扭，扭轉(zhuǎn)：軸（剪切變形與強度）壓彎聯(lián)合作用：梁柱（彎曲與穩(wěn)定性）；材料力學中關(guān)于平截面法的應用以下研究對象都可用平截面1101平截面假設(在板殼力學中又稱直法線假設)平截面假設：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線,并且在垂直軸線方向上無變形；下面以梁為例,此假設大大簡化了問題.無窮自由度問題簡化為一個自由度問題,只有一個撓度函數(shù)是要求的.這樣，用彈性力學理論,有15個基本方程,15個基本未知量.根據(jù)平截面假設大大簡化：梁的撓度為，梁的基本方程（控制方程）為：p1平截面假設(在板殼力學中又稱直法線假設)平截面假設111①梁的基本方程根據(jù)平截面（直法線）假設導出梁的撓度方程：①梁的基本方程根據(jù)平截面（直法線）假設導出梁的撓度方程：112②板殼力學中的直法線假設①初始與板中性面(中面)垂直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面；②垂直于中面的正應力遠小于平行于中面的應力分量（無法向應變）；③在發(fā)生彎曲變形時，板的中面無拉伸變形。①②為基爾霍夫假定（克?；舴蚣俣ǎ＂诎鍤ちW中的直法線假設①初始與板中性面(中面)垂直的(線113③平截面假設的近似性由懸臂梁問題可知,截面上最大剪應力在中面上,可見最大剪應變在中面上,所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應力(剪應變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）.當梁的高長比時，平截面假定不再成立，應該考慮橫向剪切。稱為Timoshenko梁理論，獨立未知變量增加一個，截面轉(zhuǎn)角。但是,當梁長/高比很大時,平截面所得結(jié)果符合工程要求。Timoshenko梁彎曲（非純彎）時，須考慮剪切效應，此時橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角?；疚粗孔?yōu)閮蓚€：③平截面假設的近似性由懸臂梁問題可知,截面上最大剪應力在中面114④梁的橫向剪切問題剪切問題基本方程:應力~應變關(guān)系為：僅考慮剪切效應：變形前mn和pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲；工程上近似(平均意義)為:④梁的橫向剪切問題剪切問題基本方程:應力~應變關(guān)系為：115⑤三點彎曲梁三點彎曲梁第二項是剪切產(chǎn)生的撓度，是截面系數(shù)，對于矩形截面，⑤三點彎曲梁三點彎曲梁116⑥梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示：剪切系數(shù)對于矩形等3/2對于圓形截面等于4/3。xpz⑥梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示：xpz117⑦關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值：①相當于用中性軸處的最大剪切應變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，是很粗燥的，它比平均剪應變大50%。②用能量原理（單位載荷法）推導了較精確的近似值，③彈性力學的精確公式為：當泊松比時，彈性力學精確解比簡單平均法所得結(jié)果大18%。⑦關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）1182彈性桿的拉伸

單向拉伸(或壓縮):假設在拉伸變形時桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個假定被試驗證明，非常接近真實；注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問題?；痉匠?

拉伸彈性剛度系數(shù)為:PL2彈性桿的拉伸單向拉伸(或壓縮):假設在拉伸變形時桿的1193等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個截面保持平面并且變形均勻；基本方程:應力~應變關(guān)系:扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為:3等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個截面120第三章本構(gòu)方程1線性應力~應變關(guān)系（線彈性）胡克定律：單向拉伸，如彈簧等廣義胡克定律：復雜應力狀態(tài)2非線性應力應變關(guān)系：塑性材料3現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān)4粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學）：材料機械性能與時間相關(guān)第三章本構(gòu)方程1線性應力~應變關(guān)系（線彈性）121單軸拉伸試驗曲線單軸拉伸試驗曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗）單軸拉伸試驗曲線單軸拉伸試驗曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗）122應力張量和應變張量應力張量：任意質(zhì)點的應力有6個獨立分量，形成二階張量應變張量：任意質(zhì)點的應變有6個獨立分量，形成二階張量應力張量和應變張量應力張量：任意質(zhì)點的應力有6個獨立分量，形123Ⅰ

彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應力~應變關(guān)系胡克定律：線彈性應力~應變關(guān)系，應力與應變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量）廣義胡克定律

可改寫為其中

36個常數(shù)中只有21個獨立。這是指最一般的各向異性材料，對于各類特殊情況，獨立材料常數(shù)不同。

，

Ⅰ彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應力~應變關(guān)系胡克定律：線彈性1242三維各向同性材料物理方程：以應變表示應力：是體積應變。以應力表示應變：

，

球應力張量。應力偏量。2三維各向同性材料物理方程：以應變表示應力：，球應力125

拉梅常數(shù)拉梅常數(shù)分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。，拉梅常數(shù)拉梅常數(shù)，1263非各向同性單斜體材料有一個對稱面，只有13個獨立常數(shù)；正交異性體有2個相互垂直的對稱面，9個獨立常數(shù)；橫觀各向同性體垂直某一方向的各個平面都是各向同性面；只有5個獨立常數(shù)；各向同性體兩個常數(shù)，；或者；或者后者又稱拉梅系數(shù)。平面正交異性體例如單向纖維復合材料薄板，4個獨立常數(shù)

3非各向同性單斜體材料有一個對稱面，只有13個127

Ⅱ塑性力學基本實驗應力~應變關(guān)系非線性塑性應變非恢復性，有殘余應變應力與應變非一一對應，與加載歷史有關(guān)塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系相當復雜。Ⅱ塑性力學基本實驗128塑性應力~應變關(guān)系非線性的簡化

①②③④⑤①理想彈塑性；②彈性線性硬化模型；③理想剛塑性；④剛性線性硬化模型；⑤密律硬化模型N=0N=1N=0.3塑性應力~應變關(guān)系非線性的簡化①129屈服準則：單向拉伸：殘余應變大于的應力為

復雜應力狀態(tài)特雷斯卡（Tresca）條件：在平面上是正六邊形。米賽斯（Misses）條件：在平面上是圓。屈服準則：單向拉伸：殘余應變大于130應力強度應力強度（又稱等效應力）：已知應力不變量的第二不變量為：

是八面體剪應力

形狀改變應變能。應力強度為：應力強度應力強度（又稱等效應力）：已知應力不變量的第二不變量131應變強度

用主應變表示：應變強度又稱有效應變。羅德參數(shù)：

應力的羅德參數(shù)：應變羅德參數(shù)：應變強度用主應變表示：132

3.塑性全量理論—

塑性形變（或塑性變形）理論

在簡單加載（比例加載）條件下，對塑性變形的簡化;應力強度與應變強度一一對應，若無卸載，與非線性彈性相同。Henckyrelation:對于比例加載，塑性形變理論與流動理論結(jié)果相同。

3.塑性全量理論—

塑性形變（或塑性變形）理論

在簡133

塑性增量理論—流動理論流動理論（又稱增量理論）：當彈性應變比塑性應變很小時，加載比與塑性功成比例。

塑性增量理論—流動理論流動理論（又稱增量理論）：134Ⅲ流變學（粘彈性力學）定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時間有關(guān)的變形和流動行為的規(guī)律的力學分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。研究內(nèi)容：蠕變：材料在恒應力作用下變形隨時間增大的過程稱為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。以應力為輸入量而求應變響應者為蠕變。松弛：材料在固定變形下應力隨時間減小的過程稱為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。以應變?yōu)檩斎肓慷髴憫邽樗沙?。Ⅲ流變學（粘彈性力學）定義：研究材料在外載、溫度、濕1351流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：（2）粘性元件（粘壺）,又稱牛頓流體或阻尼器：

或

是粘性系數(shù)，單位是應力乘時間。（3）理想塑性體（圣文南體）：當p＜F時當P＞F時，u位移取決于其它條件。

1流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：1362馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程：特性：①若應力是階躍函數(shù)應變在t=0時，應變發(fā)生突變；當時，表現(xiàn)為流動性質(zhì)。②若應變保持常數(shù)，應力趨于零，為松弛時間。

，

2馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程：，137

3開爾文體（Kelvin）或Voigtsolid:

將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程：性能：①施加

應變輸出：當時，其中，是漸近彈性模量。突出缺點：當時，

。3開爾文體（Kelvin）或Voi138

4標準固體（standardsolid）:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體，由于當時，所以，它最終具有固體性質(zhì)。（7）四元件模型（四參量模型）：將開爾文體與馬克斯威爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。最終具有流體特性。（8）廣義馬克斯威爾體,將多個馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。（9）廣義固體模型：將開爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。4標準固體（standardsolid）139固體力學概論課件1405微分型本構(gòu)關(guān)系更普遍的線性粘彈性模型：以標準固體（standardsolid）模型為例:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體，本構(gòu)方程的標準形式：，

5微分型本構(gòu)關(guān)系更普遍的線性粘彈性模型：，1416三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系：分體量與偏量：是微分算子，例如，有時，可假設體積應變的蠕變分量可忽略。

6三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系：分體量與偏量：1427遺傳積分（蠕變型）又稱記憶積分或卷積積分：疊加原理，Boltzmannsuperpositionprinciple：在作用下，應變服從疊加原理：當一系列應力增量連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應變等于：

是蠕變?nèi)崃俊?/p>

7遺傳積分（蠕變型）又稱記憶積分或卷積積分：1438松弛型遺傳積分當一系列應變增量連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應力等于：是松弛模量。修正的疊加原理：其中是應變的非線性函數(shù)。8松弛型遺傳積分當一系列應變增量連續(xù)作1449拉普拉斯變換：Laplacetransformation拉普拉斯變換對求解線性粘彈性問題至關(guān)重要，通過下式將時域問題變換為S域內(nèi)問題：很多教科書上有變換表。其逆變換式為：

,

9拉普拉斯變換：Laplacetransform14510對應原理對上式進行拉氏變換得：于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進行有限元計算。但是，逆變換相當復雜，這里學問很深。10對應原理對上式進行拉氏變換得：14611復模量

當材料或結(jié)構(gòu)受簡諧變化應力作用時,即輸入，代入本構(gòu)方程：

是復數(shù)柔量。是松弛模量。11復模量當材料或結(jié)構(gòu)受簡諧變化應力作用時,即147第四章基本方程彈性力學有15個基本方程：3個平衡方程；6個協(xié)調(diào)方程；6個本構(gòu)方程；15個基本未知量：3個位移分量；6個應力分量；6個應變分量；*加適當邊界條件。第四章基本方程彈性力學有15個基本方程：1481.平衡或運動方程

平衡方程展開一個方程:運動方程:

指標重復服從加法約定,,1.平衡或運動方程,,1492幾何方程(應力~位移關(guān)系)對于小應變情況，這是哥西應變式，共有六個應變，六個方程。