用好導(dǎo)數(shù)“三招”破解不等式恒成立問題

用好導(dǎo)數(shù)，“三招”破解不等式恒成立問題一.方法綜述不等式恒成立問題一直是高考命題的熱點(diǎn)，把函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)問題和不等式恒成立問題交匯命制壓軸題成為一個(gè)新的熱點(diǎn)命題方向.由不等式恒成立確定參數(shù)范圍問題，常見處理方法有：①分離參數(shù)。27'(力恒成立(42/()|”可)或4^/(》)恒成立(aW/(x)min即可)；②數(shù)形結(jié)合(卜=/(犬)圖象在y=g(x)上方即可)；③最值法：討論最值"X鼠n20或/(力maxW0恒成立；④討論參數(shù)在諸多方法中，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，是必須要考慮的解題門徑.本專題舉例說明《用好導(dǎo)數(shù)，“三招”破解不等式恒成立問題》.二.解題策略類型一構(gòu)造函數(shù)求最值【例1】【2020?重慶南開中學(xué)期末】已知函數(shù)，(x)=ae'-xlnx,其中aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若/(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)“的取值范圍；2(2)若ay,證明：/(x)>0.【分析】⑴由“X)是(0,+8)上的增函數(shù)等價(jià)于r(X)20恒成立，得。2上手，求8(6=匕坐&>0)的最大值，即可得到本題答案；enex 2 nex(2)由/(x)〉0<=> lnx>0,證明當(dāng)。之下時(shí)，F(xiàn)(x)= lnx(x>0)的最小值大于0,即可X X得到本題答案.【解析】⑴f'(x)=aex-(l+\nx),〃力是(。,+。)上的增函數(shù)等價(jià)于廣㈤對(duì)恒成立.令/'(x)N0,得a2匕坐，令8(彳)=匕坐(工>0)以下只需求8(司的最大值.e e求導(dǎo)得,院(*)="'。一1-Inx],令Zi(x)=2一l-ln尤，h'(x)=--y--<0,〃(力是(0，+。)上的減函數(shù)，又〃⑴=0,故/是〃(力的唯一零點(diǎn),當(dāng)x?O,l),A(x)>0,g，(x)>0,g(x)遞增；A(x)<0,g,(x)<0,g(x)遞減；故當(dāng)X=1時(shí)，g(x)取得極大值且為最大值g6=L所以azLe ezip' /7AX/(x)>0<=> Inx>0,令F(x)= lnx(x>0),2以下證明當(dāng)a2下時(shí)，/(x)的最小值大于0.e"求導(dǎo)得尸(x)= l)e"—x］.①當(dāng)0<xWl時(shí)，F(xiàn),(x)<0,F(x)>F(l)=ae>0；②當(dāng)g時(shí),卜一扃］,令G3="一七.則G'(x)="+71一百>°,又G(2)=e2-2=QEzo,a(x-l) ')aa取叱。，2)且使小〉匕即】<〃，<左,則G(〃尸因?yàn)镚(〃,)G(2)<。，故G(x)存在唯一零點(diǎn)x°e(l,2),即尸(x)有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)5(1,2),又小。)=今一］叫，且6(/)=1-3)=。，即e'"="3p故F(x0)=一二-lnx°,因?yàn)?(％)=一7-常一;<°，故/(%)是(1,2)上的減函數(shù).七一1 -1)人。所以尸(3)>尸(2)=1-如2>0,所以F(x)>0.2綜上，當(dāng)。2點(diǎn)時(shí)，總有f(x)>0.【指點(diǎn)迷津】.首先要明確導(dǎo)函數(shù)對(duì)原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性.如果所構(gòu)造的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，再想辦法解決其符號(hào)..在考慮函數(shù)最值時(shí)，除了依靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點(diǎn)的出處，即,?只有邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”，所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi).【舉一反三】［2020屆黑龍江哈爾濱三中月考】已知定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)=x-f--ln(x+l).(1)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間(2)當(dāng)時(shí)，存在M>0,使得對(duì)任意xe(0,M)均有/(x)<0,求實(shí)數(shù)M的最大值.r函粽1C」(一)x-(2”1?。劢馕觯?1)J(町- -j ,(X+1)①aw；時(shí)，r(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；②?<a<l時(shí)，令/'(x)>°得.丫>孚土，故增區(qū)間為(號(hào)2 l-a \l-a)令/''(x)>0得0<x(學(xué)二L故減區(qū)間為(。，勺」］；③aNl時(shí)，f'(x)<0,則/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減.“(e23,e2［(\\(2)易知卜了小牙卜匕/}由(1)知：/(“在(0,差，］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則曰＜〃0)=0,故存在小€［口,2〉使得/(x°)=o,且當(dāng)XG(o,/)時(shí)/(x)<0恒成立,故M由/(%)=?？傻胊=也匚"一"Hn(七+1),/ Xq設(shè)(%>o),XXml，/、(x+2)ln(x+l)-2x貝！Ig'(x)=——j~~L——,令〃(x)=(x+2)ln(x+l)-2x(x>0),x+2則h'(x}=\n(x+\]+ 2,x+16"(x)=6"(x)=>0則〃'(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，故/f(x)>/(o)=o,則〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,故/7(X)>〃(0)=0,則g'(x)>0,g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，又a=g(x。)，2 q3g(l)=哈，g(2)十號(hào)故g(1)<g(%)<g(2),又故MW1,即M的最大值為1.類型二參變分離求最值【例2】【2020?河南濮陽油田一中期末】已知函數(shù)/(x)=bex-x2-l的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=x+。.(1)求a+8的值；⑵若/(x)-乙>0對(duì)任意的x>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)/*)的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=x+。，則攵=加°-0=1,再求解即可;—r2—1 —r2—1(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為---^(x>0)恒成立，再設(shè)g(x)=^―---(x>0),然后利用導(dǎo)數(shù)求X X函數(shù)g(x)的最小值即可.【解析】((由已知可得/'(X)=be*-2x.函數(shù)/(x)=be'-x2-\的圖象在點(diǎn)x=0處的切線的斜率k=he°-O=\,所以。=1.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),代入切線方程y=x+。，可得a=0.所以a+b=1.(2)由⑴知/(幻=d-/-1.所以/(x)一履>0對(duì)任意的x>0恒成立，即,一/一1一依>0(x>0)3立，即)<e'r2T(x>o)3立XX二］令g(X)=e_XT(x>0),所以々(且口口而即可.X，/、xex-ev-x2+1ex(x-1)-(x-l)(x+1)(x-l)(er-x-1)S(x)= 2 = 2 = y -X X 丁設(shè)〃(x)=e*-x-1(x>0),貝此'(x)=e'-l>0,所以"(外在(0,+oo)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x>0時(shí)，〃(x)單調(diào)遞增，所以/i(x)>〃(0)=e°-0-1=0.所以在(0,1)上g'(x)<0,在(1,衿)上g'(x)>0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,口)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)X=1時(shí)，月。)取得最小值g(l)=e-2,所以A<e-2.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(f,e-2).【指點(diǎn)迷津】1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)(一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù))，可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式.然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母(一般為所求)視為參數(shù).3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則：(1)已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無法分離的情形，此時(shí)要考慮其他方法.例如：(x-l)2<log?x,上等1-x(2)要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值(或臨界值)，若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值(或臨界值)，則也無法用參變分離法解決問題.【舉一反三】【2020河北滄州期末】)已知函數(shù)f(x)=蛆+nxlnxJ'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且⑴=2J(：)=0.(1)求“X)的解析式，并判斷“X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若kgN",且/(x)>&(x-2)對(duì)任意的、>2恒成立，求K的最大值.(參考數(shù)據(jù)：In2Ho.69,ln3?1.10)【解析】(1)因?yàn)?(x)=mx+nxlnx,所以(x)=m+〃(lnx+1).因?yàn)閞(D=2,(1imn所以/(1)=m+〃=2,/I-l=---=0.解得m=n=\,故/(x)=x+/nxf[x}=/nx+2,令/'(x)=0,解得x=e?故當(dāng)Xe(o,e-)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)X?e”,+8)函數(shù)單調(diào)遞增;又/卜<)<o,/(1)>0,故函數(shù)在(e-2,+oo)存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x<e-2時(shí)，Inx<-2,Six+Inx<e-2-2<0,故函數(shù)在區(qū)間(o,"2)上不存在零點(diǎn)；綜上所述：函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).(2)因?yàn)閤>2,所以“為〉J(x—2)狙介于k<Zl^=x+xlnx.x—2 x—2“/、x+xlnx設(shè)g(M= —/X-Zf/、X-2InX-4則g(止二一丁,(1-2)令=x-21nx-4,2x—2則〃'(x)=1--= ,故〃(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增.XX因?yàn)椤á?4-21118=4-61n2<0,/z(9)=5-41n3>0,所以存在/w(8,9),使得M/)=。,即21nx0=/-4,則g(x)在(2,%)上單調(diào)遞減，在(%,+<?)上單調(diào)遞增,故g(x故g(x)Ng(x0)=^^/一2x0—4為一2員.

2因?yàn)?(x)〉A(chǔ)(x-2)對(duì)任意的x>2恒成立,所以女吟.2因?yàn)閤°g(8,9),且kwN*,所以人的最大值是4.類型三討論參數(shù)定范圍【例3】【2020重慶八中月考】已知函數(shù)〃x)=/lnx-f+or.(1)若。=-1時(shí)，求/("的極值；(2)若/(x)<0,求。的取值范圍.【分析】⑴將。=-1代入函數(shù)y=〃x)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù).v=〃x)的極值；(2)由題意可得出/(x)m”<0,分。>0、a=0、。<0三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)在定義域上的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，然后解不等式/(HmaxVO,綜合可得出實(shí)數(shù)。的取值范國TOC\o"1-5"\h\z【解析】(1)當(dāng)a=T時(shí)，f(x)=\nx-x2-x,則/(力=1—21=一2/…1.X Xqy2_ .1 1令r(x)=0,即-X…1=0,得2/+彳一1=0,解得x=7.x 2當(dāng)o<x<；時(shí)，r(x)>o,當(dāng)x>；時(shí)，r(x)<o.所以，函數(shù)y=/(x)有極大值= 無極小值；(2)因?yàn)?x)<0恒成立,所以/(x)max<°，

/，3=必_2"八一2/+心+。2=(21+項(xiàng)—+4)X X X①當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0,則x=a,當(dāng)0<x<”時(shí)，r(x)>0,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>。時(shí)，尸(耳<0,此時(shí)，函數(shù)y=F(x)單調(diào)遞減.f(^)m,ix=f^a)=a1\na-a2+a2=a2\na<0, 0<a<1;②當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-x2<0,成立;③當(dāng)a<0時(shí)，令F'(x)=0,則無=4,當(dāng)0<x<-￡時(shí)，/(%)>0,此時(shí)，函數(shù)y=〃x)單調(diào)遞增;當(dāng)》>一］時(shí)，ra)<o,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減.得得/7 - 30<~2<e4,解得-2e4<a<(r綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為-2",1.【指點(diǎn)迷津】本題(2)只要通過分類討論研究清楚函數(shù)的單調(diào)性，即可求出/(x)的最大值，讓最大值小于。即可求出a的范圍【舉一反三】【2020屆云南保山一中月考】已知函數(shù).f(x)=e'-l—ax—gx2,。為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若X20,都有”x)20,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f\x)=ex-a-x,當(dāng)4=1時(shí)，f'(X)=e'-1--V,令曠=6',則y'=e*,所以函數(shù)>=/在(0,1)處的切線方程為y-1=(犬-0),即y=x+l,所以e'21+x,即f'(x)N0,故〃x)在/?上單調(diào)遞增，即“X)有一個(gè)零點(diǎn)；⑵f"M=ex-l,當(dāng)xNO時(shí),當(dāng)(x)NO,即尸(x)在［0,內(nèi))上是增函數(shù)，廣(力"(0)=1-a,當(dāng)aWl時(shí)，f'(x)>0,f(x)在［0,+o。)上是增函數(shù)，故有f(x)"(O),gp/(x)>0；當(dāng)a>l時(shí)，3xoe(O,+x),使得尸(x0)=0,當(dāng)xw(O,Xo)時(shí)，/'(x)<0,1/'(弓在(0,毛)上是減函數(shù)；當(dāng)xe(xo，+oo)時(shí)，r(x)>0,f(x)在(%,+00)上是增函數(shù)，故有“毛)</(0)=。與"x)NO相矛盾，綜上，a<l.=.強(qiáng)化訓(xùn)練1.【2020?哈爾濱市呼蘭一中期末】已知函數(shù)/'(x)=ar2+x-xlnx(aeR).⑴若a=0,討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)/(x)滿足/⑴=2,且在定義域內(nèi)/(x)2加+2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解析】⑴a=0,f(x)=x-x\nx,/'(x)=-lnx,/'(x)=0,x=\,xe(0,l),尸(x)〉0, 在(0,1)上是增函數(shù)，XG(1,+OO),/'(X)<O,f(x)在(1,+8)上是減函數(shù)(2)由題意/⑴=2,<7=1,：.f(x)=x2+x-x\nx,貝！l/(x)2區(qū)？+2x,gpi---->Zj,= ,XX XXg'(x)=號(hào)，故g(x)在(0，l］上遞減，在(I,+8)上遞增，???g(x)min=g(l)=°,即〃4°，2.【2020屆重慶第二外國語學(xué)校期中】已知函數(shù)〃力=(。一(卜+1門，g(x)=/(x)-2ox(aeR)(1)當(dāng)a=0時(shí)，求〃x)在區(qū)間-,e上的最大值和最小值；e(2)若對(duì)Vxe(l,+8),g(x)<0恒成立，求a的取值范圍.【解析】⑴函數(shù)/(力=(*卜+1內(nèi)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=~x2+lnx,TOC\o"1-5"\h\z求導(dǎo)f(x)=r+Lz￡i1l=一(x+l)(x7)a〉。)，令f(x)=o,得\.=i,(負(fù)值舍去)XX X?,?x>0,x、/(X),f(x)的變化如下:X(-,1)e1(1,e)/(X)+0f(X)t極大值1???〃力在區(qū)間上是增函數(shù)，在［1,4上為減函數(shù)，/(x)最大值為TOC\o"1-5"\h\z又71)=一l— —：,???/］卜/⑻最小值為/(，)=>：?2 1Znin(x)=/(e)=l-彳,/max(^)=/(1)=-5-Z, 乙⑵函數(shù)g(x)=/(x)-2ax=(a-g卜2-2ax+lnx,貝!|g(x)的定義域?yàn)?0,+8),8,3=(2”1).2"1=(2"1*-2公+1=+1)[(2亭)史1]X X X①若。>:，令g'(x)=O,得極值點(diǎn)芯=1,x2=—^--2 2a-1當(dāng)%>百=1,即g<a<l時(shí)，在(1,%)上有g(shù)'(x)<0,在(工2，+°°)上有g(shù)'(x)>0,此時(shí)g(x)在區(qū)間(和+°°)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)(x)e(g(X2)，+°0),不合題意；當(dāng)即時(shí)，在(1,m)上有g(shù)'(x)〉O,此時(shí)g(x)在區(qū)間(l,+oo)上遞增，有g(shù)(x)e(g(l),+oo),也不合題意；②若則有2。-140,此時(shí)在區(qū)間。，+8)上恒有g(shù)'(x)<0,從而g(x)在區(qū)間(1,包)上是減函數(shù);要使g(x)<0在(一)上恒成立，只須滿足8⑴:―agonaN-g,由此求得”的范圍是一1.綜合(D@可知，當(dāng)aw 時(shí)，對(duì)Vxe(l,+oo),g(x)<03立.3.【2020?江蘇徐州二中月考】已知函數(shù)/(外=。1113-%(。€11,。￥0),g(x)=-1x+-)x>0).(1)若函數(shù)/*)與g(x)有相同的極值點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)，求”的值;(2)記F(x)=/(x)-g(x).①若在區(qū)間(0,e](e為自然對(duì)數(shù)底數(shù))上至少存在一點(diǎn).%,使得/(%)<0成立，求。的取值范圍；【解析】(1)因?yàn)間(x)=-(x+」],所以g'(x)=；-]=Tx+].7).令g'(x)=O,解得X1=LX2=-1(舍去).X(0,1)1(1,+00)g'(x)+0-g(x)/極大值所以X=1為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn).因?yàn)?(x)=alnx-x,所以f(x)=q_l=巴上XX令/'3)=0,解得x=a.X(0,a)a(a,+oo)g'(x)+0-g(x)/極大值所以x=。為函數(shù)八幻的極大值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，所以。=1.(2)①F(x)=/(x)-g(x)=alnx+Lx先求產(chǎn)(x)20在(0,0上恒成立，即有6lnx+1卻.令G(x)=arlnx+1,xe(0,e],則G'(x)=alnx+a,令G'(x)=0,得刀=-.e若a>0,則當(dāng)0<x<>!■時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；e當(dāng)1cx<e時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)min=gd)=l-,得。<aWe.e ee若a<()時(shí)，同理得g(x)min=g(e)=l+ae20,得-1(a<0.e綜上，。的取值范圍為｛。|。<--或a>e｝；e/ , 1、c、cix—lTOC\o"1-5"\h\z②咖點(diǎn)(Xo，alnxo+l),x0>0,F(x)=——,X。 Xax0-1/ 、i1則切線方程為y=T-(x-xa)+a\nx0+—t又切線過原點(diǎn)，/飛則0='"。2l(-Xo)+alnx()+2,整理得alnx()+—~a-0XO X。 X。2設(shè)g(幻二。111文+—-4,工>。，題意即為，函數(shù)g(X)在(。,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn).X，/、a2ax-2由于g(x)= 7=——.X X2(i)當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=->0,g(x)無零點(diǎn)；X(ii)當(dāng)。<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,+oo)上遞減，此時(shí)g(x)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件;, 2(Hi)當(dāng)。＞0時(shí)，令g(x)=0,x=一，aX(用2a(I'df\x)-0+/(x)極小值2 2所以極小值g(一)=aln—.a a要使函數(shù)g(x)在(0，y)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須滿足g(2)<0,所以“>2.a因?yàn)間(e)=2>0,e>-,g(x)在(2,+oo]連續(xù)且為增函數(shù)，所以g(x)在(2,+8]唯一零點(diǎn).e a \aJ \aJ因?yàn)閑"-2=4-2<0,g(e-〃)=一。2+2e“一a=(e"一/)+儂，一/>o,而g(外在(o,2]連續(xù)且為

aea va)減函數(shù)，故g(x)在(o,/)有唯一零點(diǎn).所以當(dāng)a〉2時(shí)，g(x)在(0,~)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足條件.故所求。的取值集合為{。I。>2}.4.【2019?福建福州一中月考】已知函數(shù)〃x)=4e3=3(x-a)4+16,a<\.(1)若函數(shù)y=/(x)的圖象在x=l處的切線與x軸平行，求”的值；(2)當(dāng)xNO時(shí)，f(x)20恒成立，求。的最小值.【解析】⑴r(x)=12[e3，-(x-a)[依題意/⑴=12[/-(1一。)[=0故。=1一6；(2)解法一：r(x)=12(e*-x+a)[e2x+e*(x-a)+(x-a)]=12(e*-x+a) + +-^e2x,顯然>0,令g(x)=e'-x+a,則g，(x)=e*-120,所以g(x)=，-x+a在［0,+8)單調(diào)遞增，且g(x)Ng(O)=l+a,當(dāng)1+aNO即TWa<l時(shí)，f'(x)>0,/(x)在［0,+oo)單調(diào)遞增，故”x)20等價(jià)于/(0)=20-3。、0,此式已成立，從而滿足條件，當(dāng)l+a<。即“<-1時(shí)，由g(x)=e'-x+a在［0,+8)單調(diào)遞增，g(0)=1+〃<0,g(-〃)=e~a+2a>c(-a)+2a=〃(2-c)>0,故叫w(O,-a)使得g(xo)=*-xa+a=0,即*=x0-a,令r(x)20,即g(x)A0,得xN%,又令/'(x)40,即g(x)W0,得OWxWx。，因此"x)在x=%處取得最小值，/(%0)=46-，%-3(x0-a)4+16,又6%=/一4,故—31%+16,設(shè)*=/,r>l,且/1?)=4/-3/+16,法一：〃'“)=12產(chǎn)一⑵3<0,故在(1,內(nèi))單調(diào)遞減，由〃1)？。=〃(2)知Y2,即0<而<ln2,a=/-e*而P(x)=x-e*在(0,ln2］單調(diào)遞減,所以ln2-24x。一<一1,BPln2-2<a<-l;法二：A(/)=(/-2)(-3f-2?-4?-8),由〃力0知力(f)NO,即1<Y2下同法一；綜上可知ln2—24a<l,因此。的最小值為In2-2；解法二：當(dāng)xNO時(shí)，〃x)20恒成立，因求a的最小值，不妨設(shè)〃<0,貝熾研究aNx—(吟辿j,設(shè)M(x)=x—(吟任)4(x20)，下求知").?3M，(x)=l-e3(4/；+16);由W(x)N0,并記，=e3\t>\,即27r4-64r-768/一3072f-4096<0,亦即。一8乂27--152產(chǎn)+448r+5⑵W0,故Y8,因此M(x)在［0［n2］單調(diào)遞增，在［In2,+oo)單調(diào)遞減,所以股(力皿=M(ln2)=ln2-2,即a2ln2—2,因此"的最小值為ln2—2.5.【2017課標(biāo)3,理21】已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx.(1)若/(x)NO,求"的值；(2)設(shè)〃，為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)+ …［1+￡)<加,求，，，的最小值.【解析】試題解析：解：⑴〃力的定義域?yàn)?0,+8).①若a40,因?yàn)?；=-g+a/〃2<0,所以不滿足題意；②若a>0,由/=知，當(dāng)xe(0,a)時(shí)，/r(x)<0j當(dāng)xe(a,+8)時(shí)，/f(x)>0,所XX以“X)在(0,a)單調(diào)遞遍，在(a+8)單調(diào)遞增，故m是“X)在xe(0,+8)的唯一最小值點(diǎn).由于〃1)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)ml時(shí),/(x)>0.4^0=1.(2)由(1)知當(dāng)xw(1,+oc)時(shí)，X—1—Inx>0.令x=l+*得In；1+為<9■.從而叫l(wèi)+gj+g；1+*J+…+呵l+3j<g+*+…+!=故：1+g+3…」+")<e而(1+；)(1+3)(1+})>2，所以刑的最小值為3.26.【2019.福建廈門雙十中學(xué)月考】已知函數(shù)/(x)=lnx+ax+——3.(1)討論/(x)的單調(diào)性;(2)若/(x)N0,求。的取值范圍.【解析】(1)由題意，f\x)=-+a-^=(，>：'+^~2(x>Q),XX X令h(x)=ax2+x-2,xe(0,-H?),①當(dāng)"0,且A=1+8“WO,即。4一：時(shí)，h(x)w0,所以f'(x)w0在(0,+oo)恒成立,故/(x)在(0,+oo)O上單調(diào)遞減；②當(dāng)-：<a<0時(shí)，4>0,由當(dāng)幻=0得x=.T±,8 2a、[, (八-l+Jl+8a]| + Anri(、n當(dāng)x￡0, U ,+8時(shí)，h(x)<0,/z(x)<0；I2。J( 2。當(dāng)——J ,——J 時(shí)，力(x)>o,r(x)>0.12a 2aJ(—1+Jl+8。、f-l-Vl+8a)故/(X)在0,—T——-和一(——,+00單調(diào)遞減，I2aJ12a.-1+Jl+8a—1—a/1+8a?在 ; ， ; 單調(diào)遞增；TOC\o"1-5"\h\z、 2。 2a>③當(dāng)4=0時(shí)，由/(x)=o得x=2,當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，f'(x)>0.故f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+oo)單調(diào)遞增；④當(dāng)a>0時(shí)，J>0,由〃(x)=0得x=—l+Jl+8a或—1—J1+8十(不合題意，舍去).2a 2a7, (八-1+Jl+8a].jz\八 、八、，’ 1-1+Jl+8a ]」“、八”、八當(dāng)0, 時(shí)，h(x)<0,/(x)<。；當(dāng)xw ,+8時(shí)，h(x)>0,/(x)>0.I2fl) 12al(T+Jl+8a\ f-l+Vl+8a )故/(x)在0,—— 單調(diào)遞減，在—— ,+8單調(diào)遞增.Zaj 12a )(2)因?yàn)榇?=a+2-3?0,所以a1由⑴得/(X)min=/(±^迤1，故只需/士亞電L°，即可滿足/(X)20.TOC\o"1-5"\h\z令3J土區(qū),則2"°=-l+，+8a,整理彳導(dǎo)焉+/_2=0,即ax°=Z_l,2a xo2 4所以/(%)=皿/+"0+——3=ln/+—―4>0,A) X()4 1 4 x-4設(shè)g(x)=lnx+——4,所以g'(x)= ,=——,X XX X當(dāng)xe(0,4)時(shí)，g，(x)<0;當(dāng)xg(4,+oo)時(shí)，g'(x)>0.故g(x)在(0,4)單調(diào)遞減，在(4,a)單調(diào)遞增.又g⑴=0,所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g(x)>0;當(dāng)xe(l,4)時(shí)，g(x)<0,又 土如織，因?yàn)樗訨T7拓23,-1+JI7詬￥0,所以2ax=_4卜1+Vi^)_=4 ],、 2 1所以g(飛)之0,即/(與)20,故/(x)20,又。=—y 工0%)所以。的取值范圍是[1，+8)..【2020.廣東潮州期末】已知函數(shù)/(x)=x2+i_qsinx,xe[0,7r],aeR,/'(x)是函數(shù)/(*)的導(dǎo)函數(shù).⑴當(dāng)a=l時(shí)，證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,可沒有零點(diǎn)；(2)若尸(x)+asinx+a<0在xe[0,句上恒成立，求4的取值范圍.【解析】⑴證明：若a=l,則/(x)=￡+l-sinx,xe[O,;r],Xx2+l>LO<sinx<l,^0>-sinx>-l +l-sinx>0,又“0)=1,/(9=?，/(兀)=乃2+1，當(dāng)xw(0,9U(早乃1時(shí)，-1v-sinxv0,所以V+l-sinx>0恒成立,所以當(dāng)a=1時(shí).函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,可沒有零點(diǎn).(2)解:尸(x)=2x-acosx,xe[0,;r],故2x-acosx+asinx+aV0在XG[0,7]上恒成立,設(shè)g(x)=2x-acosx+asinx+a,xg[0,,所以8(。)=。?。，8(兀)=24+2〃40,即。4一萬，因?yàn)間'(x)=2+asinx+acosx=a0sin由aW—乃，彳導(dǎo)a<0,所以在區(qū)間［of［上g'(x)單調(diào)遞減.所以2+a=g'(0)2g［x)2g［?卜缶+2;在區(qū)間仁,萬)上g'(x)單調(diào)遞增，應(yīng)a+2=g'《卜g'(x)Vg'5)=2-a,又a4一“，所以g'(0)=2+a<0,g'(?)=五a+2<0,g'(zr)=2-a>0,故g'(x)在區(qū)間,乃［上存在唯一零點(diǎn)區(qū)間廝.由g'(x)的單調(diào)性可知，(4)在區(qū)間［O,xo］±g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(知句上g'(x)?0,g(x)單調(diào)遞增.g(x)4g⑼=0g(x)<g(^)<0.【2019.河北衡水中學(xué)月考】已知函數(shù)/(力=占+。(aeR)(1)若a=2,證明：當(dāng)x>l時(shí)，2lnx>/(x)；(2)若對(duì)于任意的x>0且"1,都有(2a-/(x))/nx>l,求。的取值集合.【解析】(1)當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=J-+2,1-X要證當(dāng)x>l時(shí)，21nx>f(x),即證當(dāng)X>1即證當(dāng)X>1時(shí)，21nx+X—1令g(x)=21nx+2x2—5x+2(2x—l)(x—2)x-1)"x(x-l)x(x-l)x-1)"x(x-l)x(x-l)當(dāng)l<x<2時(shí)，g'(x)<o,g(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)〉O,g(x)在(2,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，故g(x)min=g(2)=2ln2+l=ln4+l>lne+l=2證畢.⑵先分析端值，當(dāng)x->0+時(shí)，Inxf-8,」二要使(7^T+a}nx>l，BW-l+a<0,即a4l;當(dāng)x->+8時(shí)，|nxf+<?,+a-a,x-1要使(M+a)lnx>l,需有aNO;故必須有OSaSL1 a(x-1)+1A.nt+yv-7X--T-由一—\-a= 知其分子恒正,令夕(尤)=Inx-元―1a(x—1)+1于是問題等價(jià)于當(dāng)X〉1時(shí)，e(x)>0；當(dāng)0<x<l時(shí)，*(x)<0.X—1)注意到X—1)*'(*)=X—1①當(dāng)a=0時(shí)*'(x)= ,此時(shí)當(dāng)x>l時(shí)，"(x)<0,0(x)在。，+8)單調(diào)遞減,于是9(同<8(1)=0,這不符合題意;②當(dāng)aW0時(shí)，e'(x)=O,得X］=(—1j,x2=1.(i)當(dāng)a=g時(shí)，X=Z，8'(x)NO,9(x)在(O,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合夕(1)=0可知符合題意；(，］、2、(ii)當(dāng)0<。<5時(shí),xl>x2,此時(shí)當(dāng)xe 時(shí)夕'(")<0,于是在研”在1，］一1)單調(diào)遞減，故在i，［t［內(nèi)夕(x)<e(l)=O,這不符合題意；1〃1丫)/\(iii)當(dāng)。時(shí)，菁<々，此時(shí)當(dāng) J時(shí)。'(“<0,于是在。(X)在,1單調(diào)遞減，故在(^一I」內(nèi)9(力>夕(1)=0,這不符合題意；綜上：符合題意的〃取值集合為9.【2019?浙江省杭州二中月考】已知/(工)=四5-迎+1.a(1)。=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間和最值;⑵①若對(duì)于任意的xe(0,+oo),不等式恒成立,求。的取值范圍；②求證:ex~l-2>/x-lnx+—>02【解析】⑴當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=ex-'-2^+l,則/'(x)=e，T-五,易知y=ra)單調(diào)遞增,又知'⑴=0,當(dāng)ovx<i時(shí)，ra)<。，當(dāng)%>i時(shí),r(x)>o.

所以，函數(shù)y=/(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8),函數(shù)y=/(x)的最小值為/(i)=o,無最大值；(2)①必要性：若"0,則當(dāng)Xf+OQ時(shí)，/(X)f-00,不合乎題意，所以，必有。>0.又/⑴n+l= 則aw[l,+oo)；aa充分性：易知-24+1.故只要證明^-1-277+1>止口L在xe(0,+oo)恒成立即可，