高中數(shù)學(xué)選擇性必修二等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式講義

4.3.1.1等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí) 課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高GONGTONQJICHUXITONQLUOSHI知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念(1)文字語(yǔ)言：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q#O)表示.(2)符號(hào)語(yǔ)言：^:虱口為常數(shù)，“CN*)【重點(diǎn)總結(jié)】(1)由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列除末項(xiàng)外的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0,因此公比也不為0,由此可知，若數(shù)列中有“0”項(xiàng)存在，則該數(shù)列不可能是等比數(shù)列.(2)“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之比，前后次序不能顛倒.(3)定義中的“同一個(gè)常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略.要點(diǎn)二等比中項(xiàng)如果在a與匕中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,匕成等比數(shù)列，那么G叫做a與6的等比中項(xiàng).【重點(diǎn)總結(jié)】(1)若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，=&，所以G?=ab,G=+>/ab.n—I—h(2)與“任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b都有唯一的等差中項(xiàng)人=號(hào)”不同，只有當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)a、b才有等比中項(xiàng)，并且有兩個(gè)等比中項(xiàng)，分別是麻與一痛；當(dāng)a,b異號(hào)時(shí)沒有等比中項(xiàng).(3)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).要點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4,則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是a“=qg"T(0，gw。且〃gN*).【重點(diǎn)總結(jié)】(1)已知首項(xiàng)由和公比q,可以確定一個(gè)等比數(shù)列.(2)在公式a0=aiqnr中，有a0，ai,q,n四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，可以求得第四個(gè)量，其中川，q為兩個(gè)基本量.(3)對(duì)于等比數(shù)列｛aQ,若q<0,則｛aj中正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn)，如數(shù)列1,-2,4,一8,16,…；若q>0,則數(shù)列｛a/各項(xiàng)同號(hào).從而等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)必同號(hào)；偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào).【基礎(chǔ)自測(cè)】.判斷正誤(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)(1)若一個(gè)數(shù)列為｛?。?且滿足烏-=貝〃22,g為不等于。的常數(shù))，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列.()(2)在等比數(shù)列｛%｝中，若已知任意兩項(xiàng)的值，則可以求出首項(xiàng)、公比和數(shù)列任一項(xiàng)的值.()(3)G為a,b的等比中項(xiàng)0G2=ab.( )(4)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列.()【答案】(1)V(2)V(3)X(4)X.(多選題)下列數(shù)列不是等比數(shù)列的是()A.2,223X22,… bA/，

C.5-1,(5-1)2，(s-l)3,…D.0,0,0，…【答案】ACDl-〃l-〃-la2?23X22 茄=-,B是等比數(shù)列；C中，當(dāng)s=l時(shí)，不是等D顯然不是等比數(shù)列.故選ACD.【解析】A中，學(xué)，A不是等比數(shù)列；=-,B是等比數(shù)列；C中，當(dāng)s=l時(shí)，不是等D顯然不是等比數(shù)列.故選ACD..已知｛m｝是等比數(shù)列，a\=\,a4=2巾則。3=( )A.±2B.2C.-2D.4【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,則有1Xq3=2啦=(6)3,.'.q=y[2,.*.03=-=2,故選B.4.已知等比數(shù)列｛m｝中，“1=—2,“3=—8,則a”【答案】一2"或(一2)"【解析】=-2,。3=-8, =^2=2=^'.■?q=±2，o?=(-2>2"1或許=(-2)-(—2)"1,即an=—2"或?！?(—2)".題型一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用探究1基本量的計(jì)算【例1】在等比數(shù)列｛斯｝中(1)474=2,07=8,求4”；(2)。2+。5=18,。3+恁=9,an=\>求〃.【解析】(1)【解析】(1)因?yàn)樗杂煞Q得爐=4,從而夕=阻,而〃|爐=2,2 1 _ 3于是“尸審=》所以小=。4'?(2)方法一：由已知可得,2+。5=04+。1/=18,①]。3+。6=。142+。聞5=% ②由黑得4=宗從而付=32.又a〃=1,所以32x(；)〃一1=1,即26一〃=2°,所以〃=6.方法二：因?yàn)椤?+。6=432+。5),所以q=\由。聞+〃]/=18,得s=32.由i=得〃=6.【重點(diǎn)小結(jié)】(1)由胃=q3便可求出q,再求出a”則an=a「qn（2）兩個(gè)條件列出關(guān)于ai，q的方程組，求出ai，q后再由an=l求n；也可以直接先由q=-^j—入手.a2~ra5【方法歸納】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（1）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于ai,g的方程組，求出卬，q后再求斯，這是常規(guī)方法.（2）充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求0,最后求出，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算.探究2等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例2】計(jì)算機(jī)的價(jià)格不斷降低，若每臺(tái)計(jì)算機(jī)的價(jià)格每年降低/現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價(jià)格可吃低為（）A.300元B.900元C.2400元D.3600元【答案】C2【解析】降低后的價(jià)格構(gòu)成以年為公比的等比數(shù)列，則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價(jià)格可降低為8100義03=2400（元）.【方法技巧】關(guān)于等比數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用題，先構(gòu)造等比數(shù)列模型，確定0和q,然后用等比數(shù)列的知識(shí)求解.【跟蹤訓(xùn)練1］（1）在等比數(shù)列｛%｝中，G+如=4,汲=2,則公比g等于（）A.—2B.1或一2C.1D.1或2【答案】B【解析】。3+。4=。24+。2/=24+2/=4,即始+夕一2=0,解得q=l或q=-2,故選B.（2）在等比數(shù)列｛〃〃｝中，〃〃>0,已知0=6,。］+。2+的=78,則公等于（ ）A.12B.18C.24D.36【答案】B【解析】設(shè)公比為q,由已知得6+6q+6q2=78,即爐+夕-12=0解得q=3或q=-4（舍去）.,a2=6q=6X3=18.故選B.（3）某林場(chǎng)的樹木每年以25%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，則第10年末的樹木總量是今年的倍.【答案】1.259【解析】設(shè)這個(gè)林場(chǎng)今年的樹木總量是山，第〃年末的樹木總量為小，則?！?i=a〃+a〃X25%=L25a“.則誓=1.25,則數(shù)列｛的｝是公比q=1.25的等比數(shù)列.C*n則。］。=049=1.259m.所以誓=1.259.41題型二等比中項(xiàng)【例3】已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168,6—45=42,求小，47的等比中項(xiàng).【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為g,首項(xiàng)為a”因?yàn)椤?—。5=42,所以由已知，得a\+aq+aig2=168a\q-a\(f=42由已知，得所以TOC\o"1-5"\h\zai(l+q+q2)=168 ①所以aq(l—而=42 ②因?yàn)?—g3=(i—q)(l+g+g2),所以由②除以①，得g(l—4)=：.所以q=g.- 42所以ai="j1=96.2~\2)4若G是“5,。7的等比中項(xiàng)，則應(yīng)有62=。5。7=。14*,。1/>=。衿|°=962義&)|°=9.所以45,47的等比中項(xiàng)是±3.【方法歸納】(1)首項(xiàng)ai和g是構(gòu)成等比數(shù)列的基本量，從基本量入手解決相關(guān)問題是研究等比數(shù)列的基本方法.(2)解題時(shí)應(yīng)注意同號(hào)的兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，而異號(hào)的兩個(gè)數(shù)沒有等比中項(xiàng).【跟蹤訓(xùn)練2】如果一1,a,b,c,一9成等比數(shù)列，那么()A.b=3,ac=9 B.b=—3>ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9【答案】B【解析】—1,a,b,c,一9成等比數(shù)列，???/=(一l)Xb,抉=(一l)X(-9)=9：.b<0,：.b=-3.又〃=ac,??.ac=9.故選B.題型三等比數(shù)列的判定與證明【例4】已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”Sn=1(an-l)(neN,)(1)求。2；(2)求證：數(shù)列｛④｝是等比數(shù)列.【解析】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，Si=1(ai—l)=ai,解得：?i=—當(dāng)篦=2時(shí),$2=^42—1)=0+。2,解得。2=1(2)證明：當(dāng)〃22時(shí)，一S“Sn—1- 1)&(a”-1-1),得公=6又0=+所以｛斯｝是首項(xiàng)為一/公比為一g的等比數(shù)歹工【變式探究1】將本例中條件換為“數(shù)列｛m｝滿足ai=l,a“+i=2%+1"，求證：(斯+1｝成等比數(shù)列，并求小.【解析】由冊(cè)+i=2n“+l,/.an+1+1=2(?！?1),???｛%+1)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.a〃+l=2X2"-i=2",**??！?2"-1.【變式探究2】將本例中的條件換為“數(shù)列⑹中，ai=l，,求所【解析】令。"一則。"+1=；。"+與&)A由已知條件知§=1,得A=3,所以01+i—3X(§"+i=ga“-3X(§"]又“L3xR1=—|胃0,所以｛斯一3X(｝)"｝是首項(xiàng)為一|,公比為(的等比數(shù)列.于是3X(g｝=—故出=3><(9"-2X&.【方法歸納】判定數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：如2■二虱^是常數(shù))或?yàn)?=虱4是常數(shù)，〃22)臺(tái)｛m｝為等比數(shù)列.a,i Qn-\(2)等比中項(xiàng)法：足+|=。"?！?2(出力0,〃GN*)臺(tái)｛%｝為等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法：a“=ai/r(其中ai,g為非零常數(shù)，“CN*)㈡｛”“｝為等比數(shù)列.【易錯(cuò)辨析】忽略等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律致錯(cuò)【例5】在等比數(shù)列｛?。?，45=1，09=81,則47=()A.9或一9B.9C.27或一27D.-27【答案】B【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得同=。5。9=81,.?.卬=±9,由于等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以m=9,故選B.【易錯(cuò)警示】.出錯(cuò)原因沒有弄清等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律，直接由等比中項(xiàng)得。7=±9,錯(cuò)選A..糾錯(cuò)心得在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同.解此類題時(shí)要小心謹(jǐn)慎，以防上當(dāng).【分析】首先根據(jù)題意得到％=4+%，從而得到再解方程即可.【解析】由題知：〃3=4+4，所以為2=1+4，即2/_q_l=0,解得g=_Q或4=1.故選：ATOC\o"1-5"\h\z2.已知等比數(shù)列｛q｝滿足%=2,%=十，則公比4=( )A.-- B.； C.-2 D.22 ，【答案】B【分析】由4二生。,即可求出.【解析】?：a5=a2q\即(=2",解得q=；.故選：B.3.已知｛4｝為等比數(shù)列，5“是它的前”項(xiàng)和.若%%=2%,且應(yīng)與2%的等差中項(xiàng)為(，則臬=( )A.29 B.31 C.33 D.35【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由已知可得0和q,代入等比數(shù)列的求和公式即可【解析】因?yàn)閍2a3=2ax= =44,%=2,,/4+2%=2x—=%+2%/? 故選：B.4.《萊茵德紙草書》(RhMdPapyws)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是()個(gè).A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4>。，公比0>1,根據(jù)題意，由q(i_q5)求解.|1-q【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為6>。，公比4>1,3由題意得：/,q+4+/+%+%=933所以％=aq"=48,故選：D5.在等比數(shù)列｛《,｝中，若?！福?為定值，7.為數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)積，則下列各數(shù)為定值的是( )A.T” B.Tl2 C.' D.7M【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用4,4表示出44%，然后再分別表示出各選項(xiàng)中的積進(jìn)行判斷.【解析】設(shè)公比為4,則的6aM =("4)3為定值，即為定值，1=。|,。闖…4尸=心2，L-U,不是定值，7]2=a,V=Ll^'|,不是定值，看3=/什8=(“q6嚴(yán),是定值，14x13 13兀=4%h=(4/式，不是定值?故選：C.6.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛《,｝中，首項(xiàng)q=2,5.為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且(S“—52)2一4?3=0(〃22),則$=()A.1022 B.1024 C.2046 D.2048【答案】C【分析】當(dāng)〃22時(shí)，q=S“一S"t,故可以得到(4+2an_t)(an-2az)=0,因?yàn)閍“+2al>。，進(jìn)而得到4-2al=。，所以｛《,｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出九=2046【解析】由(S,-Siy-4a3=0(n>2),得a：-4“,,/=。，得(4+2an_,)(a?-2a?_,)=0,又?jǐn)?shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且4=2,0a?+2an.l>0,團(tuán)外一241T=0,即2~=2an-\TOC\o"1-5"\h\z團(tuán)數(shù)列｛4,｝是首項(xiàng)4=2,公比q=2的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和s=2(J2")=2"+-2,得兒=2046," 1-2故選：C.5 +17,已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S”=2a”-l,則譚一=( )〃2022TOC\o"1-5"\h\z1 1A.2 B. 1 C. - D.-4 J【答案】B【分析】由S“=2見-1,根據(jù)?！芭cS?的關(guān)系，得出也｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,即可求解.【解析】由數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“= -1,當(dāng)”=1時(shí),可得q=51=2q,所以q=l；當(dāng)"22時(shí)，an=Sn-Sn_i=2an-1-（2??_1-1）,所以a“=2%,所以也“｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，所以5的=與學(xué)=22必-1，?2022=22021,所以乎口=1.故選：B..在等比數(shù)列｛凡｝中，生+6=2（0,+%）,則數(shù)列｛4｝的公比4=（ ）A.2 B.1 C.-1或1 D.-1或2【答案】D【分析】用4,q表示出已知等式后可得結(jié)論.【解析】由題意知q（g+42）-2q（l+g）=0,所以（1+/（4-2）=0,所以9=一1或4=2.故選：D.二、多選題.（多選題）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S“，則下列說(shuō)法一定成立的是（ ）A.若例>°，則%小>0 B,若4>°，則。2O2O>0C.若%>0，貝”的>0 D.若4>°，貝！【答案】ABC【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)式，前〃項(xiàng)和5“代入即可得出答案.【解析】設(shè)數(shù)列｛叫的公比為9,當(dāng)4>0,則々。21=%/"8>0,A正確；當(dāng)包>°，則“2020=%/6>°，8正確.又當(dāng)g"時(shí)，S慚產(chǎn)）,i-q當(dāng)q<1時(shí)，l-q>0,1-q202'>0,：.S202l>0,當(dāng)0<q<［時(shí)，\-q>0,\-q2mx>0,.'.S202l>0,當(dāng)g>l時(shí),1-9<O,1-92021<0,.-.SM21>0當(dāng)g=l時(shí)，SM21=2021a,>0,故C正確，。不正確.故選:ABC.（多選題）若數(shù)列｛而｝是等比數(shù)列，則下面四個(gè)數(shù)列中也是等比數(shù)列的有（ ）A.｛ca/c為常數(shù)） B.｛a?+an+i｝C.｛On'On+i） D.｛a；｝【答案】CD【分析】A.由c=0判斷；B.q=-1時(shí)判斷；CD.由等比數(shù)列的定義判斷.【解析】當(dāng)c=0時(shí)，｛c%｝不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；當(dāng)數(shù)列｛〃｝的公比q=-1時(shí)，?！?。1:+1=0, 不是等比數(shù)列,故B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列的定義，選項(xiàng)CD中的數(shù)列是等比數(shù)列，故CD正確.故選：CD.設(shè)數(shù)列｛q｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，T”是血｝的前"項(xiàng)之積，4=27,03Aq二,則當(dāng)7.最大時(shí)，”的值為（ ）

A.4B.5A.4B.5C.6D.7【答案】AB【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,求出q的值，進(jìn)而可求得數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，解不等式421,求出”的取值范圍，即可得解.【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則為?%?%=《=5，可得％=g，"唔=毋9所以，…尸=274「=3”令a.=35-"21,解得〃45,故當(dāng)r.最大時(shí)，〃=4或5.故選：AB.第H卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題.在等比數(shù)列｛叫中，4=1,%=8%,s”是數(shù)列小｝的前"項(xiàng)和，若1=63,則仁【答案】6【分析】由4=1,“5=8/，解得q=2求解.【解析】在等比數(shù)列｛4｝中，設(shè)公比為q,因?yàn)?=1,%=8a2,所以夕■*=8g,q#0,解得g=2,所以S*=｝-g=63,解得k=6,故答案為：6.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，若3%、24成等差數(shù)列，則如產(chǎn)絲=.2 02023-02022【答案】I【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則4>。，根據(jù)已知條件求出q的值，再結(jié)合等比數(shù)列的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則4>。，因?yàn)?、?、2生成等差數(shù)列，則。3=3%+2%,即=34+2死，可得42-24-3=0, >0,解得夕=3,e.. °2021一。2020_ 42021一。2020因此，二~二~ ~~\-Q.。2023一02022 4\fl2O21-^2020/ "故答案為：.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5.，若q,數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.【答案】?！?(；廣2【分析】h當(dāng)〃=1時(shí)，求得4=萬(wàn)>0,再由S“=-a“+8,得到5”|=-a,1+仇"22),相減可得2。,-。1=0,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得6,進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由題意，正項(xiàng)數(shù)列｝滿足。"+S?=b,a2a4=J,4h當(dāng)九=1時(shí)，可得4+￡=q+4=6,則q=—>0,由S〃=-an+b,則S〃_[=-an_x+Z;(h>2,/zgN*),兩式相減可得24-。=0,所以‘￡=；(〃N2,〃eN+),an-i2即數(shù)列｛“"｝為公比為g的等比數(shù)列，所以4所以。必=卬白=9解得。=4,4 16 4164所以4=2=2,所以數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式為4=qg"T=2x(gyi=(；)"-2.故答案為：q=g)”2.四、解答題.已知S.為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，4=2,7s“+2=%,b“= ，為數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)2g2an，1O&2an+\和.(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)若帆＞20227；對(duì)所有〃wN,恒成立，求滿足條件〃，的最小整數(shù)值.【答案】a?=23-2674【分析】(1)利用遞推公式，結(jié)合前〃項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的關(guān)系、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.由題意7s“+2=a”+|,當(dāng)"22時(shí)，7S“_1+2=a.，兩式相減得：7a”=a“*、-a”,即：%=阿(〃22),所以〃22時(shí)，｛4"｝為等比數(shù)列又因?yàn)椤?1時(shí)，a2=7S|+2=7x2+2=16,所以"=8,ai所以，對(duì)所有〃eN*,｛4｝是以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以4=2*8小=23"-2；,11由題知："=log?a,,1鳴*―1嗚237?log223"“1-3U