二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件

第一節(jié)二維隨機(jī)變量第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)條件分布第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)第一節(jié)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.

在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))（X，Y）來(lái)確定的.

飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))（X，Y，Z）來(lái)確定的等等.到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向量叫做維隨機(jī)向量或

維隨機(jī)變量.

以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨

將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),

那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋將二維隨機(jī)變量看成是平

隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,二、二維離散型隨機(jī)變量或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于

稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度的性質(zhì)在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),（X,Y）的概率密度的性質(zhì)在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)(2)求概率.例2設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)積分區(qū)域區(qū)域解(1)積分區(qū)域區(qū)域解(1)二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故當(dāng)(2)(2)四、小結(jié)

在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).四、小結(jié)在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度小結(jié)第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)

二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問(wèn):二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,我們就來(lái)探求這個(gè)問(wèn)題.二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量這一節(jié)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)

關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律

.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{

我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上

對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為事實(shí)上,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.(2)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),暫時(shí)固定例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)c注意取值范圍綜上,當(dāng)時(shí),注意取值范圍綜上,當(dāng)時(shí),例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.暫時(shí)固定例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)綜上,注意取值范圍綜上,注意取值范圍

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限.下面我們介紹兩個(gè)常見(jiàn)的二維分布.在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時(shí)，往1、

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布.1、設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二2、若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().2、若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度例3

試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解因?yàn)樗岳?試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解因?yàn)樗詣t有則有同理可見(jiàn)由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明同理可見(jiàn)由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布,

1.在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2.請(qǐng)注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:四、小結(jié)1.在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量第三節(jié)條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布小結(jié)第三節(jié)條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量

設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下一、離散型隨機(jī)變量的條件分布

實(shí)際上是第一章講過(guò)的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).

定義1

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.

作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.一、離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過(guò)

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切

解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例2一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.{X=m}表解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯(lián)合分布律為

由射擊的獨(dú)立性知，不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP{X=m,Y=n}=？(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為

關(guān)于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下

的條件概率密度.記為若對(duì)于固定的,類似地,可以定義在X=x的條件下Y的條件概率密度為設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為例3：設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為例3：設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解

當(dāng)|x|<1時(shí),有當(dāng)|x|<1時(shí),有即當(dāng)|x|<1時(shí),有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度即當(dāng)|x|<1時(shí),有X作為已知變量這里是y的取值范圍X

例4

設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對(duì)于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為例4設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知

這一節(jié)，我們介紹了條件分布的概念和計(jì)算，并舉例說(shuō)明對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量如何計(jì)算條件分布.三、小結(jié)這一節(jié)，我們介紹了條件分布的概念和計(jì)算，并舉隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義例題選講正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果小結(jié)第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量?jī)墒录嗀,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨(dú)立

.一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X和Y相互獨(dú)立

.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意其中是X和Y的聯(lián)合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨(dú)立

.對(duì)任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.其中是X和Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X和Y

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨(dú)立

例1

設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解x>0

y

>0二、例題例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是即可見(jiàn)對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.即可見(jiàn)對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y

例2

甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來(lái)到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)例2甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率P(X<Y)所求為P(|X-Y|5),甲先到由獨(dú)立性先到的人解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，=P(X>Y)P

在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾.求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率.類似的問(wèn)題如：在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球

例3

兩次.設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(3)若改為無(wú)放回摸球,解上述兩個(gè)問(wèn)題.盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球例3兩解如下表所示:(2)由上表可知解如下表所示:(2)由上表可知表所示:表所示:由上表知:可見(jiàn)故X，Y不相互獨(dú)立。由上表知:可見(jiàn)故X，Y不相互獨(dú)立。三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性由前知X的邊緣分布密度為三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性由前知X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為反之，如時(shí)X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意的x和y有特別地，有反之，如時(shí)X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意的x和y有特別地，有四、一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果

1、2、四、一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果1、2、3、4、3、4、

邊緣分布

如：5、邊緣分布5、

相互獨(dú)立

6、相互獨(dú)立6、定理1：

定理2：定理1：

這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.給出了各種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件。五、小結(jié)這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布小結(jié)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:

當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?引言在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的

例1

若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布離散型情形例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=解依題意

例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為一般情形設(shè)

是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為

則是一維的離散型隨機(jī)變量其分布列為一般情形設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為則例

3設(shè)的聯(lián)合分布列為

YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例3設(shè)的聯(lián)合分布列為Y解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格(0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格(0,-2)解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.2

例4

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.連續(xù)型情形例4設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,

化成累次積分,得

固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ(z)又可寫(xiě)成以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,例5例5例5（續(xù)）例5（續(xù)）

例6

若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

具有相同的分布

N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例6若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變令得可見(jiàn)Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).令得可見(jiàn)Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨(dú)立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論.

若X和Y獨(dú)立

,

具有相同的分布

N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨(dú)立,結(jié)論又

有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時(shí)完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)

特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分

例7

設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開(kāi)始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫(xiě)出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)XY解(i)串聯(lián)的情況

由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以此時(shí)L的壽命為因?yàn)閄的概率密度為所以X的分布函數(shù)為XY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)

x>0時(shí),當(dāng)

x0時(shí),故類似地,

可求得Y的分布函數(shù)為當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)x0時(shí),故類于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為于是XY(ii)并聯(lián)的情況

由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以此時(shí)L的壽命為故的分布函數(shù)為XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命為

由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)才開(kāi)始工作,XY于是當(dāng)

z0時(shí),當(dāng)

z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),上述積分的被積函數(shù)不等于零.故當(dāng)z0時(shí),當(dāng)z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)于是的概率密度為于是的概率密度為三、小結(jié)在這一節(jié)中,我們討論了兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的求法.三、小結(jié)在這一節(jié)中,我們討論了兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)第一節(jié)二維隨機(jī)變量第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)條件分布第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)第一節(jié)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.

在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))（X，Y）來(lái)確定的.

飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))（X，Y，Z）來(lái)確定的等等.到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向量叫做維隨機(jī)向量或

維隨機(jī)變量.

以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨

將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),

那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋將二維隨機(jī)變量看成是平

隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域內(nèi)的概率為二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì),是離散型隨機(jī)變量.則稱設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,二、二維離散型隨機(jī)變量或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.k=1,2,…離散型一二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于

稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度的性質(zhì)在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),（X,Y）的概率密度的性質(zhì)在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)(2)求概率.例2設(shè)(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(shù)積分區(qū)域區(qū)域解(1)積分區(qū)域區(qū)域解(1)二維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布課件當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故當(dāng)(2)(2)四、小結(jié)

在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).四、小結(jié)在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度小結(jié)第二節(jié)邊緣分布邊緣分布函數(shù)

二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問(wèn):二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,我們就來(lái)探求這個(gè)問(wèn)題.二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量這一節(jié)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)

關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律

.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{

我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上

對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為事實(shí)上,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.(2)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),暫時(shí)固定例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解求(1)c注意取值范圍綜上,當(dāng)時(shí),注意取值范圍綜上,當(dāng)時(shí),例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)

c的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.暫時(shí)固定例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)綜上,注意取值范圍綜上,注意取值范圍

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限.下面我們介紹兩個(gè)常見(jiàn)的二維分布.在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時(shí)，往1、

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布.1、設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二2、若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().2、若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度例3

試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解因?yàn)樗岳?試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解因?yàn)樗詣t有則有同理可見(jiàn)由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明同理可見(jiàn)由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布,

1.在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2.請(qǐng)注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:四、小結(jié)1.在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量第三節(jié)條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布小結(jié)第三節(jié)條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量

設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下一、離散型隨機(jī)變量的條件分布

實(shí)際上是第一章講過(guò)的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).

定義1

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.

作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.一、離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過(guò)

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切

解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例2一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.{X=m}表解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯(lián)合分布律為

由射擊的獨(dú)立性知，不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP{X=m,Y=n}=？(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為

關(guān)于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下

的條件概率密度.記為若對(duì)于固定的,類似地,可以定義在X=x的條件下Y的條件概率密度為設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為例3：設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為例3：設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解

當(dāng)|x|<1時(shí),有當(dāng)|x|<1時(shí),有即當(dāng)|x|<1時(shí),有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度即當(dāng)|x|<1時(shí),有X作為已知變量這里是y的取值范圍X

例4

設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對(duì)于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為例4設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知

這一節(jié)，我們介紹了條件分布的概念和計(jì)算，并舉例說(shuō)明對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量如何計(jì)算條件分布.三、小結(jié)這一節(jié)，我們介紹了條件分布的概念和計(jì)算，并舉隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義例題選講正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果小結(jié)第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量?jī)墒录嗀,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨(dú)立

.一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X和Y相互獨(dú)立

.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意其中是X和Y的聯(lián)合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨(dú)立

.對(duì)任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.其中是X和Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X和Y

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨(dú)立

例1

設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？解x>0

y

>0二、例題例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是即可見(jiàn)對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.即可見(jiàn)對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y

例2

甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來(lái)到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)例2甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率P(X<Y)所求為P(|X-Y|5),甲先到由獨(dú)立性先到的人解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，=P(X>Y)P

在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾.求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率.類似的問(wèn)題如：在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球

例3

兩次.設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(3)若改為無(wú)放回摸球,解上述兩個(gè)問(wèn)題.盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球例3兩解如下表所示:(2)由上表可知解如下表所示:(2)由上表可知表所示:表所示:由上表知:可見(jiàn)故X，Y不相互獨(dú)立。由上表知:可見(jiàn)故X，Y不相互獨(dú)立。三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性由前知X的邊緣分布密度為三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性由前知X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為反之，如時(shí)X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意的x和y有特別地，有反之，如時(shí)X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意的x和y有特別地，有四、一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果

1、2、四、一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果1、2、3、4、3、4、

邊緣分布

如：5、邊緣分布5、

相互獨(dú)立

6、相互獨(dú)立6、定理1：

定理2：定理1：

這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.給出了各種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件。五、小結(jié)這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布小結(jié)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:

當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?引言在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的

例1

若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布離散型情形例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=解依題意

例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為一般情形設(shè)

是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為

則是一維的離散型隨機(jī)變量其分布列為一般情形設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為則例

3設(shè)的聯(lián)合分布列為

YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例3設(shè)的聯(lián)合分布列為Y解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格(0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格(0,-2)解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.2

例4

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.連續(xù)型情形例4設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,

化成累次積分,得

固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ(z)又可