機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及答案

-.z機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案1-1.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答：優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計(jì)變量向量使且滿(mǎn)足約束條件2-1.何謂函數(shù)的梯度.梯度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義.答：二元函數(shù)f(*1,*2)在*0點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫(xiě)成下面的形式：令，則稱(chēng)它為函數(shù)f〔*1，*2〕在*0點(diǎn)處的梯度。〔1〕梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值?！?〕梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函數(shù)f〔*1，*2〕=2*12+*22-2*1+*2在處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模。求f〔*1，*2〕在*0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下：=2-3.試求目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)*0=[1,0]T處的最速下降方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)SHAPE則函數(shù)在*0=[1,0]T處的最速下降方向是這個(gè)方向上的單位向量是：新點(diǎn)是新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃.〔要求配圖〕答：一個(gè)點(diǎn)集〔或區(qū)域〕，如果連接其中任意兩點(diǎn)*1、*2的線段都全部包含在該集合，就稱(chēng)該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(*〕為凸集定義域的函數(shù)，假設(shè)對(duì)任何的及凸集域的任意兩點(diǎn)*1、*2，存在如下不等式：稱(chēng)f〔*〕是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題假設(shè)都是凸函數(shù)，則稱(chēng)此問(wèn)題為凸規(guī)劃。3-1.簡(jiǎn)述一維搜索區(qū)間消去法原理?！惨鋱D〕答：搜索區(qū)間〔a，b〕確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間〔a，b〕任取兩點(diǎn)a1，b1，a1?b1，并計(jì)算函數(shù)值f〔a1〕，f〔b1〕。將有以下三種可能情形；1〕f〔a1〕?f〔b1〕由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間〔a，b1〕2〕f〔a1〕?f〔b1〕，同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間〔a1，b〕3〕f〔a1〕=f〔b1〕，這是極小點(diǎn)應(yīng)在〔a1，b1〕3-2.簡(jiǎn)述黃金分割法搜索過(guò)程及程序框圖。其中，為待定常數(shù)。3-3.對(duì)函數(shù)，當(dāng)給定搜索區(qū)間時(shí)，寫(xiě)出用黃金分割法求極小點(diǎn)的前三次搜索過(guò)程。〔要列表〕黃金分割法的搜索過(guò)程序號(hào)aa1a2bY1比擬Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.181.1.686>-0.9672.-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.181.-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(*)=sin(*)在區(qū)間[2,6]的極小點(diǎn)，寫(xiě)出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn)*1=2，*2=4，*3=6，ε=10-4。解：1234*1244.554574.55457*244.554574.736564.72125*36664.73656y10.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708*p4.554574.736564.721254.71236yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次數(shù)K=4，極小點(diǎn)為4.71236，最小值為-1，，收斂的條件：4-1.簡(jiǎn)述無(wú)約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過(guò)程互相垂直，形成“之〞字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降〞的名稱(chēng)矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軛的量都是依賴(lài)于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱(chēng)作共軛梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)展修正。所以共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)展的一種改良，故它又被稱(chēng)作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)的極小化問(wèn)題時(shí)形成的。其根本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞〞，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改良的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次生成共軛方向。4-2.如何確定無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題最速下降法的搜索方向.答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法〔k=0，1,2，…〕由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱(chēng)為梯度法為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-能獲得最大的下降值，其步長(zhǎng)因子應(yīng)取一維搜索的最正確步長(zhǎng)。即有根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得；或?qū)懗捎纱丝芍?，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程。4-3.給定初始值*0=[-7,11]T，使用牛頓法求函數(shù)的極小值點(diǎn)和極小值。解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為〔2分〕〔4分〕假設(shè)初始值*0=[-7,11]T則〔1分〕〔2分〕則〔1分〕*1滿(mǎn)足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)。〔2分〕4-4.以二元函數(shù)為例說(shuō)明單形替換法的根本原理。答：如下圖在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)*1，*2，*3，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f〔*1〕>f〔*2〕>f〔*3〕，這說(shuō)明*3點(diǎn)最好，*1點(diǎn)最差。為了尋找極小點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對(duì)稱(chēng)方向進(jìn)展搜索，即通過(guò)*1并穿過(guò)*2*3的中點(diǎn)*4的方向上進(jìn)展搜索。在此方向上取點(diǎn)*5使*5=*4+〔*4-*1〕*5稱(chēng)作*1點(diǎn)相對(duì)于*4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f〔*5〕，可能出現(xiàn)以下幾種情形；1〕f〔*5〕<f〔*3〕即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說(shuō)明搜索方向正確，可以往前邁一步，也就是擴(kuò)。2〕f〔*3〕<f〔*5〕<f〔*2〕即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說(shuō)明反射可行，一反射點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3〕f〔*2〕<f〔*5〕<f(*1)，即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說(shuō)明*5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。4)f(*5)>f(*1)，反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說(shuō)明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在*1*4之間5)f(*)>f(*1)，說(shuō)明*1*4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)展搜索。5-1.簡(jiǎn)述約束優(yōu)化方法的分類(lèi)?！埠?jiǎn)述約束優(yōu)化問(wèn)題的直接解法、間接解法的原理、特點(diǎn)及主要方法?！炒?直接解法通常適用于僅含不等式約束的問(wèn)題，它的根本思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向d，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿d方向進(jìn)展搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿(mǎn)足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1〕由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域進(jìn)展，因此迭代計(jì)算不管何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2〕假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，中選擇的初始點(diǎn)不一樣時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域選擇幾個(gè)差異較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)展計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3〕要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占丛谟薪缈尚杏虼嬖跐M(mǎn)足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡(jiǎn)約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的根本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn)展特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)展無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解。間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是：1〕由于無(wú)約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，已經(jīng)研究出不少有效的無(wú)約束最優(yōu)化方法和程序，使得間接解法有了可