病毒擴(kuò)散及傳播的控制模型

.z病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型摘要本文基于傳統(tǒng)的傳染病模型，以微分方程的方法作為理論根底，結(jié)合采取的措施不同的情況，用MATLAB軟件擬合出患者人數(shù)與時(shí)間的曲線關(guān)系，從中得出應(yīng)采取的相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施。在考慮地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，人群被分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，再將這幾類分為可傳染性和不可傳染性兩種。我們找出單位時(shí)間正常人數(shù)的變化、單位時(shí)間潛伏期病人數(shù)的變化、單位時(shí)間確診患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間退出的人數(shù)的變化、單位時(shí)間疑似患者人數(shù)的變化等關(guān)系建立微分方程模型，得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型。在此根底上，我們將所要求的問(wèn)題帶入模型得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，根據(jù)這圖形得出模型結(jié)果的變化。這樣一來(lái)就可根據(jù)這結(jié)果的變化得出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施。此外對(duì)該傳染病的潛伏期及治愈期進(jìn)展了靈敏度分析，發(fā)現(xiàn)潛伏期的變化會(huì)對(duì)整個(gè)模型的結(jié)果產(chǎn)生較大影響，而治愈期的變化只會(huì)使傳染病的持續(xù)時(shí)間縮短，但對(duì)累積的患病人數(shù)影響不大。應(yīng)盡量防止患者與正常人接觸，減少正常人患病的可能性；加大隔離措施強(qiáng)度；減少拖延患者去住院的時(shí)間，讓患者及時(shí)住院治療。養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，保證科學(xué)睡眠，適當(dāng)鍛煉，減少壓力，保證營(yíng)養(yǎng)，增強(qiáng)個(gè)人抵抗力，降低被病毒感染的危險(xiǎn)。關(guān)鍵詞：曲線關(guān)系微分方程模型病毒擴(kuò)散與傳播一、問(wèn)題重述*種不完全確知的具有傳染性病毒的潛伏期為天，病患者的治愈時(shí)間為天。該病毒可通過(guò)直接接觸、口腔飛沫進(jìn)展傳播、擴(kuò)散，該人群的人均每天接觸人數(shù)為。為了控制病毒的擴(kuò)散與傳播將該人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制參數(shù)是隔離措施強(qiáng)度〔潛伏期的患者被隔離的百分?jǐn)?shù)〕。要求：1、在合理的假設(shè)下試建立該病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型；2、利用你所建立的模型針對(duì)如下數(shù)據(jù)進(jìn)展模擬條件1：；條件2：已經(jīng)知道的初始發(fā)病人數(shù)為890、疑似患者為2000；條件3：隔離措施強(qiáng)度；條件4：患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離,試給出患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，并明確標(biāo)識(shí)圖中的一些特殊點(diǎn)的具體數(shù)據(jù)，分析結(jié)果的合理性。3、假設(shè)將2中的條件4改為條件：患者1.5天后入院治療，疑似患者1.5天后被隔離,模擬結(jié)果有何變化.4、假設(shè)僅將2中的條件3改為條件：隔離措施強(qiáng)度，模擬結(jié)果有何變化.5、假設(shè)僅將2中的條件1改為條件：，模擬結(jié)果有何變化.6、分析問(wèn)題中的參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的敏感性。7、針對(duì)如上數(shù)據(jù)給政府部門寫一個(gè)不超過(guò)400字的建議報(bào)告。二、問(wèn)題分析在考慮地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，人群被分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，我們可知，治愈者、死亡和正常人不可能傳染病毒，我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何找出正確的關(guān)系表達(dá)式來(lái)表達(dá)出每天病人增加的總數(shù)的問(wèn)題，找出單位時(shí)間正常人數(shù)的變化、單位時(shí)間潛伏期病人數(shù)的變化、單位時(shí)間確診患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間退出的人數(shù)的變化、單位時(shí)間疑似患者人數(shù)的變化等關(guān)系建立微分方程模型，得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型。在問(wèn)題一的已求出得到病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型的根底上，我們將后幾問(wèn)所要求的問(wèn)題帶入模型就可得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，我們可以根據(jù)這些圖得出模型結(jié)果的變化。這樣一來(lái)就可根據(jù)這些模型結(jié)果的變化得出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施。三、模型假設(shè)1、將病毒所有傳播途徑都視為與病原的接觸；2、在疾病傳播期間所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N視為常數(shù)，即認(rèn)為本地區(qū)流入的人數(shù)與流出的人數(shù)相等，時(shí)間以天為計(jì)時(shí)單位；3、該病毒處于潛伏期的病毒不具有傳染性；4、治愈者二度感染的概率為0，他們以退出傳染體系，因此將他們歸為“退出者〞；5、不考慮這段時(shí)間人口出生率和自然死亡率，而對(duì)于由病毒引起的死亡人數(shù)，也將其歸為“退出者〞；6、被隔離的人群完全斷絕與外界的接觸，不再具有傳染性；7、不考慮被隔離而實(shí)際又未被感染者，因?yàn)檫@局部人沒(méi)有自由活動(dòng)，對(duì)疾病的傳播〔感染和被感染〕根本不造成任何影響；8、將人群分為以下四類：正常人：易感染者確診患者：傳染者退出者：“治愈者〞和“死亡者〞統(tǒng)稱；疑似患者：被隔離但還沒(méi)有確診或者排除的人員；四、符號(hào)約定：確診病人；：潛伏期病人〔感染了但處于潛伏期沒(méi)有傳染性的人)；：類似病人〔病癥類似感染但其實(shí)沒(méi)有感染的人)；：退出者〔痊愈和死亡確實(shí)診病人)；：普通易感者；：病人的傳染系數(shù)；：潛伏期病人的傳染系數(shù)〔假設(shè)潛伏期病人也有傳染性，但小于〕；：傳染性病毒的潛伏期；：病患者的治愈時(shí)間；：該人群的人均每天接觸人數(shù)；：可控制參數(shù)是隔離措施強(qiáng)度〔潛伏期的患者被隔離的百分?jǐn)?shù)〕；五、模型的建立與求解5．1模型一5.1.1模型準(zhǔn)備根據(jù)人口守恒原理,可建立如下模型：模型將疫區(qū)的總?cè)丝跀?shù)看成不變(不考慮流動(dòng)人口),將疫區(qū)所有的人(假設(shè)人口的自然出生率和死亡率在疫期相等)分為:：確診病人：潛伏期病人〔感染了但處于潛伏期沒(méi)有傳染性的人)：類似病人〔病癥類似感染但其實(shí)沒(méi)有感染的人)：退出者〔痊愈和死亡確實(shí)診病人)：普通易感者5.1.1.1單位時(shí)間正常人數(shù)的變化：……………⑴5.1.1.2單位時(shí)間潛伏期病人數(shù)的變化：…………⑵5.1.1.3單位時(shí)間確診患者人數(shù)的變化：………⑶5.1.1.4單位時(shí)間退出的人數(shù)的變化：……⑷5.1.1.5單位時(shí)間疑似患者人數(shù)的變化：……⑸其中，，，，為初值(1)、傳染病毒的平均潛伏期為，即單位時(shí)間潛伏期病人以比例常數(shù)，轉(zhuǎn)為感染者；(2)、確診病人平均死亡或痊愈的療程為,即單位時(shí)間感染者的恢復(fù)率為；(3)、疑似患者平均療程為，即單位時(shí)間疑似患者的恢復(fù)率為；(4)、單位時(shí)間每個(gè)易感者與病人的接觸率參數(shù)為；(5)、易感者與疑似患者的接觸率參數(shù)；(6)、考慮疑似患者感染病菌轉(zhuǎn)為潛伏期病人,但潛伏期病人不會(huì)轉(zhuǎn)為疑似患者；(7)、為隔離措施強(qiáng)度；(8)、為痊愈的被解除隔離的疑似患者；(9)、、和均為被隔離對(duì)象；(10)、為疑似患者；初值的設(shè)定:〔這些數(shù)據(jù)是一個(gè)根據(jù)人口總數(shù)和醫(yī)學(xué)常識(shí)的估計(jì)值。〕，千萬(wàn),不考慮流動(dòng)人口;；；；參數(shù)的設(shè)定:，設(shè)傳染病平均潛伏期為5;，設(shè)確診病人平均死亡或痊愈的療程為20;，設(shè)疑似病人平均療程為20;，疑似病人與易感者的接觸率參數(shù)也假設(shè)固定。5.1.2模型的建立，千萬(wàn),不考慮流動(dòng)人口，，，。5.2模型二5.2.1模型建立當(dāng)，患者兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：〔如下〕5.2.2結(jié)果分析從圖中我們可以看出患者人數(shù)隨時(shí)間變化先是急劇升高，這說(shuō)明這是病毒傳播初期的開展趨勢(shì)，然后可以看到最高點(diǎn)(第12.37天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6803000人，通過(guò)采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢(shì)，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。5.3模型三5.3.1模型建立當(dāng)，患者1.5天后入院治療、疑似患者1.5天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：〔如下〕5.3.2結(jié)果分析從圖中我們可以看出在最高點(diǎn)(第12.39天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6776000人，通過(guò)采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢(shì)，并且在100天后患者人數(shù)降低到516500人。與問(wèn)題二相比擬我們可以知道提前入院治療可以減少患者的人數(shù)，同時(shí)也可以更好的控制病毒的傳播，更好的預(yù)防正常人患病。5.4模型四5.4.1模型建立當(dāng)，患者兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：〔如下〕5.4.2結(jié)果分析從圖中我們可以看到最高點(diǎn)(第12.12天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6802000人，通過(guò)采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢(shì)，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。與問(wèn)題二相比擬我們可以知道降低隔離措施會(huì)增加患者的人數(shù)，同時(shí)會(huì)對(duì)控制病毒的傳播帶來(lái)負(fù)面影響，會(huì)導(dǎo)致更多的正常人患病。所以我們建議醫(yī)院加大病毒的控制強(qiáng)度。5.5模型五5.5.1模型建立當(dāng)，患者兩天后入院治療、疑似患者兩天后被隔離時(shí)。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖：〔如下〕5.5.2結(jié)果分析從圖中我們可以看到最高點(diǎn)(第12.48天)時(shí)患者人數(shù)到達(dá)最大值6803000人，通過(guò)采取患者入院治療和疑似患者的隔離措施，我們從圖中可以明顯看出患者的人數(shù)呈下降趨勢(shì)，并且在100天后患者人數(shù)降低到540800人。與問(wèn)題二相比擬我們可以知道確診患者的人均接觸人數(shù)增大時(shí)，患病頂峰期會(huì)延遲，同時(shí)會(huì)對(duì)控制病毒的傳播帶來(lái)負(fù)面影響，會(huì)導(dǎo)致更多的正常人患病。所以我們建議這些確診患者減少與外界正常人的接觸，這樣減少正常人患病的可能性。5.6模型五5.6.1模型建立通過(guò)建立的模型，我們對(duì)問(wèn)題二、三、四、五進(jìn)展了定量的計(jì)算，問(wèn)題二、三、四、五是改變模型中的一些參數(shù)的值，得到不同參數(shù)下的結(jié)果，并分析了參數(shù)的改變對(duì)患者數(shù)量最大值，到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間以及疫情得到控制的時(shí)間的變化，通過(guò)對(duì)這些數(shù)據(jù)結(jié)果的分析，可以得到*一參數(shù)的改變對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響，通過(guò)數(shù)據(jù)前后的比照，可以分析參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的敏感性，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)以上幾問(wèn)的求解，可以得到以下表格〔表1〕：表1各個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值問(wèn)題最大值時(shí)間患病人數(shù)最大值隔離措施強(qiáng)度P患者入院前天數(shù)n人均每天接觸人數(shù)R第二問(wèn)12.37468030000.6210第三問(wèn)12.3967760000.61.510第四問(wèn)12.1268020000.4210第五問(wèn)12.4868030000.62250〔1〕、對(duì)患者m天后入院治療的靈敏度分析通過(guò)問(wèn)題二與問(wèn)題三的解答可知，我們通過(guò)改變患者入院治療的時(shí)間，即將m分別取值為2和1.5天，然后得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化曲線〔見圖1和2〕，通過(guò)分析比照可知：當(dāng)m=2時(shí)，患者人數(shù)的最頂峰到達(dá)了6803000人；當(dāng)m=1.5時(shí)，患者人數(shù)的最頂峰到達(dá)了6776000人。因此通過(guò)控制患者發(fā)病后入院治療的時(shí)間就可適當(dāng)?shù)臏p少病情持續(xù)時(shí)間?！?〕、對(duì)隔離強(qiáng)度p的靈敏度分析通過(guò)對(duì)問(wèn)題二與問(wèn)題四的圖象的觀察，我們通過(guò)改變隔離措施強(qiáng)度分析數(shù)據(jù)的變化，當(dāng)P減小后患者人數(shù)最大值相比第二問(wèn)來(lái)說(shuō)增加了，同時(shí)到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間也增大了，我們還可以看出病情消退的時(shí)間也稍稍的增長(zhǎng)了，這說(shuō)明隔離措施P減小時(shí)患者人數(shù)的最頂峰增大了，同時(shí)到達(dá)這個(gè)數(shù)值的時(shí)間也相應(yīng)的增大了，所以我們應(yīng)盡量地增大隔離措施強(qiáng)度P，這樣來(lái)椒使病毒消退時(shí)間減小，所以政府應(yīng)盡量地增大隔離措施P〔3〕、對(duì)人均每天接觸人數(shù)R的靈敏度分析通過(guò)對(duì)問(wèn)題二與問(wèn)題五的圖像觀察，我們通過(guò)改變?nèi)司佑|人數(shù)R分析數(shù)據(jù)的變化，當(dāng)R增大時(shí)患病人數(shù)最大值在增加，同時(shí)到達(dá)這個(gè)最大值的時(shí)間也在增加，病毒的消退時(shí)間也相應(yīng)地增加，所以我們應(yīng)盡量控制患者人均接觸人數(shù)，應(yīng)盡量地讓大家少接觸人，這樣控制了人均接觸人數(shù)，病毒的消退時(shí)間也會(huì)大大減小，疫情容易得到控制5.7病毒擴(kuò)散與傳播控制的建議報(bào)告隨著社會(huì)的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的開展，傳統(tǒng)的傳染病得到了有效的控制，但同時(shí)新發(fā)的傳染病卻不斷出現(xiàn)，對(duì)于新發(fā)的*種不完全確知的具有傳染性的病毒的突襲，我們首先要了解該病毒的傳播方式，做好相應(yīng)的防措施。通過(guò)本模型結(jié)果可知，被感染的人數(shù)有很大的差距，r越大被感染的人就越多，所以我們應(yīng)該盡量防止與病人接觸，因而要盡量少去人多的地方。隔離措施強(qiáng)度相比擬可知，p越小病情很越難控制，所以政府要加強(qiáng)隔離措施強(qiáng)度。且要減少拖延患者去住院的時(shí)間，讓患者及時(shí)住院治療。而且減少患者與外界人的接觸，減少正常人患病的可能性。最根本的實(shí)質(zhì)還是平時(shí)要養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，保證科學(xué)睡眠，適當(dāng)鍛煉，減少壓力，保證營(yíng)養(yǎng)，增強(qiáng)個(gè)人抵抗力，才可以降低被病毒感染的危險(xiǎn)。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)6.1.1模型的優(yōu)點(diǎn)⑴、將醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)領(lǐng)域上進(jìn)展分析和討論，可以定量地得出傳染病的開展趨勢(shì)以及對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)結(jié)果，具有很強(qiáng)的理論性和可靠性。⑵、模型中涉及到的參變量都有相應(yīng)的數(shù)據(jù)來(lái)源，結(jié)合一定的數(shù)據(jù)可以很方便計(jì)算出，而且各變量間關(guān)系明確，易于模型的求解。⑶、由于本文的數(shù)學(xué)模型基于連續(xù)的微分方程，不會(huì)得出準(zhǔn)確的解析解，我們?cè)诤侠韰?shù)確定的前提下，將參數(shù)進(jìn)展擬合，準(zhǔn)確模擬出傳染病開展趨勢(shì)走向的曲線，從宏觀的角度上給社會(huì)一個(gè)明晰的概念，易于被社會(huì)承受，對(duì)政府和人們采取措施起到了指導(dǎo)作用，具有一定的實(shí)用價(jià)值和直觀性。⑷、針對(duì)傳染病對(duì)我們各方面的影響，我們給政府相應(yīng)的政策，在現(xiàn)實(shí)生活中很具有實(shí)用性。6.1.2模型的缺乏⑴、采用微分方程方法建立數(shù)學(xué)模型，易受外界因素變化的影響，其穩(wěn)定性具有相對(duì)性，這就提出了外界干擾對(duì)該模型的影響程度的研究，從而建立傳染病模型的穩(wěn)定性理論，這點(diǎn)需在模型推廣中進(jìn)一步討論。⑵、模型中的參數(shù)變量有其自身的隨機(jī)性，雖然我們采取對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展統(tǒng)計(jì)平均的處理方法，但在計(jì)算結(jié)果上仍存在一定的誤差。⑶、模型中涉及到的參數(shù)較多，在實(shí)際生活當(dāng)中很難確定各參數(shù)。6.2模型的推廣我們建立該傳染病模型的方法和思想對(duì)其他類似的問(wèn)題也很適用，可廣泛應(yīng)用于人口、交通、腫瘤、戰(zhàn)爭(zhēng)、幾何、物理、化學(xué)、體育、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等方面。對(duì)于微分模型受外界因素的干擾情況，我們可以借助一個(gè)稱為雅普諾夫函數(shù)的輔助函數(shù)和擾動(dòng)微分方程所計(jì)算出來(lái)的全導(dǎo)數(shù)的符號(hào)性質(zhì)來(lái)直接推斷方程組的穩(wěn)定性問(wèn)題，亦稱為雅普諾夫直接法。七、參考文獻(xiàn)[1]啟源金星葉俊，?數(shù)學(xué)模型?〔第三版〕，：高等教育，2003。[2]甘筱青，?數(shù)學(xué)建模教育及競(jìng)賽?，：高校，2004。[3]靜但琦，?數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?〔第二版〕，：高等教育，2003。[4]吳建國(guó)，?數(shù)學(xué)模型案例精編?，：中國(guó)水利水電，2005。八、問(wèn)題二程序：function*=ill(t,*)%s1=*(1)e=*(2)i=*(3)r=*(4)a=*(5);m1=10;m2=1*10.^(-11);w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;*=[-m1**(3)*(1-w)**(1)-m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1),m1**(3)*(1-w)*(*(1)+*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)**(2),2/(d1+d2)**(2)-1/d3**(3),1/d3**(3),m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1)-m1**(3)*(1-w)*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)]';s0=[10000000,500,890,0,2000];[t,*]=ode23s(ill,[0,100],s0)plot(t,*(:,3));holdonte*t(0,890,'(0,890)','color','r')te*t(12.37,6.803E+006,'(12.37,6.803E+006)','color','r')te*t(74,5.408E+005,'(100,5.408E+005)','color','r')plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')問(wèn)題三程序：function*=ill(t,*)%s1=*(1)e=*(2)i=*(3)r=*(4)a=*(5);m1=10;m2=1*10.^(-11);w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;*=[-m1**(3)*(1-w)**(1)-m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1),m1**(3)*(1-w)*(*(1)+*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)**(2),2/(d1+d2)**(2)-1/d3**(3),1/d3**(3),m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1)-m1**(3)*(1-w)*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)]';s0=[10000000,500,890,0,2000];[t,*]=ode23s(ill,[0,100],s0)plot(t,*(:,3));holdonte*t(0,890,'(0,890)','color','r')te*t(12.39,6.776E+006,'(12.39,6.776E+006)','color','r')te*t(80,5.165E+005,'(100,5.165E+005)','color','r')plot(0,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')問(wèn)題四程序：function*=ill(t,*)%s1=*(1)e=*(2)i=*(3)r=*(4)a=*(5);m1=10;m2=1*10.^(-11);w=0.4;d3=32;d2=11;d1=1;*=[-m1**(3)*(1-w)**(1)-m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1),m1**(3)*(1-w)*(*(1)+*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)**(2),2/(d1+d2)**(2)-1/d3**(3),1/d3**(3),m2*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)**(1)-m1**(3)*(1-w)*(*(5)*(1-w)+*(5)*w*1/d3)]';s0=[10000000,500,890,0,2000];[t,*]=ode23s(ill,[0,100],s0)plot(t,*(:,3));hold